貝葉斯推斷在量子領域的改造

貝葉斯推斷是經典概率論與統計學中最強有力的工具之一。它為我們在獲得新證據時提供了一種系統的方法：在更新信念的過程中，先驗期望應盡量少地被修改，只保留新數據所要求的必要變化。這個思想——最小變化原理(minimal change principle)——可以被視為貝葉斯法則在哲學與數學上的基石。在經典情境中，人們甚至能夠通過最小化某種散度來推導出貝葉斯更新規則。

然而，將這一邏輯轉移到量子領域卻面臨挑戰。量子態并不是單純的概率分布，而是由希爾伯特空間上的密度算符表示；量子動力學也不是普通的條件概率，而是由完全正、跡保持（CPTP）的量子通道來描述。因此，如何在量子場景中定義一種合理的“量子貝葉斯更新規則”，遠比經典情況復雜。盡管已有不少候選方案被提出，但由于缺乏統一的理據，它們并未形成普遍共識。

最近發表在PRL的一篇論文表明，如果在量子背景下合理地重新表述最小變化原則，它將自然地導出Petz 轉置映射。這不僅為 Petz 映射提供了一個清晰的操作學解釋，也為量子貝葉斯更新奠定了統一的框架。

經典與量子語境下的最小變化原理

在經典的概率論中，最小變化原理（也被稱為最大熵或最小信息增益原理）指出，當我們根據新信息更新一個概率分布時，我們應該選擇那個與原始分布“最接近”的新分布。這種“接近度”是用Kullback-Leibler（KL）散度，或稱相對熵，來衡量的。這個原則確保了我們只納入新信息，不多不少，從而避免引入虛假假設或偏見。例如，如果我們得知一個隨機變量的平均值變了，我們就會找到那個既符合新平均值、又與舊分布的KL散度最小的新概率分布。由此得到的結果就是我們更新后的信念。

這篇論文將這一強大的思想推廣到了量子領域。在這里，經典的概率分布被量子態（用密度矩陣表示）取代，而KL散度被量子相對熵取代。量子相對熵 S(ρ∣∣σ)=Tr(ρlogρ)?Tr(ρlogσ) 用來衡量兩個量子態 ρ 和 σ 之間的可區分性。量子語境下的最小變化原理要求：當獲得關于量子系統的新信息時，我們應該通過尋找一個新狀態來更新它，這個新狀態在與舊狀態的量子相對熵最小化的同時，必須與新信息保持一致。這個看似簡單的優化問題成為了揭示量子動力學基本規則的關鍵。

推導量子貝葉斯規則

最小變化原理的第一個也是最直接的應用是推導出量子貝葉斯規則。在經典推斷中，貝葉斯定理告訴我們如何根據新證據更新對一個假設的先驗信念。在量子世界里，這相當于在執行一次測量后更新一個量子態。量子測量是一個從量子系統提取經典信息的過程，結果是系統的狀態“坍縮”或發生改變。

讓我們考慮一個先驗量子態ρ。然后我們進行一次測量，由一組測量算符 {Mk} 表示，其中每個Mk對應一個可能的測量結果k。當觀察到結果k時，量子貝葉斯規則提供了更新后的（后驗）狀態ρk的公式。這篇論文表明，這個公式正是以下受約束優化問題的解：

找到一個新狀態ρnew，使其最小化 S(ρnew∣∣ρ)，同時滿足 ρnew 產生正確的測量結果統計。這個優化的解正是Lüders規則（一種常見的量子貝葉斯規則形式）：

這個優雅的推導意義重大，因為它將Lüders規則的基礎從一個臨時的假設轉變為一個更深層、更直觀的邏輯推斷原則。它表明，Lüders規則是更新量子態最理性的方式，因為它在容納新信息的同時，對我們知識狀態做出了最小可能的改變。

揭示Petz轉置映射

雖然量子貝葉斯規則處理測量后的狀態更新問題，但Petz轉置映射則處理一個不同但相關的問題：量子信道的“逆轉”。一個量子信道，由一個完全正、保跡（CPTP）映射 E 表示，描述了量子態如何隨時間演化，例如由于與環境的相互作用。Petz映射 E? 是一個數學構造，它在某種意義上“反轉”了這個過程。它接收信道的輸出狀態，并將其映射回輸入狀態，這在量子糾錯和狀態恢復等領域是一個至關重要的工具。

這篇論文證明，Petz映射也可以從最小變化原理中推導出來。假設我們有一個量子信道 E，它將輸入態 ρ 映射到輸出態 σ=E(ρ)。現在，如果我們知道了輸出態 σ，我們想找到對原始輸入態 ρ 的最佳猜測。這是一個“反演”問題。最小變化原理建議，我們應該選擇“最可能”的輸入態，當它通過信道 E 后，產生的輸出態與我們觀察到的輸出態“最接近”。

更正式地說，我們尋找一個映射 R（我們的反向信道），當它應用于輸出態 σ 時，能夠最小化恢復態 R(σ) 與真實輸入態 ρ 之間的距離。通過將這個問題框架化為量子相對熵的最小化（特別是涉及輸入和輸出系統的聯合狀態），作者們證明了最優的“反向”映射正是Petz轉置映射。

這個推導將“反演”信道的問題與最小化信息損失的原理聯系起來。因此，Petz映射作為最優的恢復操作而出現，它是在信道輸出的約束下，與原始輸入態“變化最小”的操作。

結論：一次優雅的綜合

這篇論文代表了信息論和量子力學思想的一次深刻綜合。通過證明量子貝葉斯規則和Petz轉置映射都可以從相同的最小變化原理中推導出來，作者們為量子信息中最重要的兩種操作提供了統一且深刻的視角。這項工作不僅為這些規則提供了堅實的理論基礎，也凸顯了使用信息論原理作為理解量子力學定律的指導框架的力量。它將復雜的數學工具從臨時的規則轉變為一個優雅而直觀的原則的自然結果：面對新信息，我們應該總是對我們的知識狀態做出最小可能的改變。這種統一的觀點為探索量子計算和量子信息科學未來的挑戰提供了一個強大的視角。