一種推進量子多體模擬的張量網絡方法

研究量子物質的不同相及其相變是凝聚態物理的核心問題。長期以來，人們主要依賴Landau的對稱性破缺范式來理解這些現象。在這一框架下，不同的相由基態中是否存在某種全局對稱性的自發破缺來加以區分。然而，隨著研究的深入，人們逐漸意識到Landau范式雖然強大，卻不足以捕捉量子相的全部豐富性。受對稱性保護的拓撲相、具有拓撲序的相，以及受非可逆對稱性等更為奇特的對稱性支配的相，都要求我們超越傳統的理解。

與此同時，數值方法的發展極大推動了強關聯系統的研究。尤其是密度矩陣重整化群（DMRG）和張量網絡方法，它們能夠高效地表示和求解復雜的多體基態。這些方法之所以有效，關鍵在于它們充分利用了量子態的糾纏結構。糾纏的分布和強度直接決定了數值算法所需的計算資源，也決定了基態能否被忠實地刻畫。

Laurens Lootens、Clément Delcamp 與 Frank Verstraete 在 《自然·物理學》發表的論文 《Entanglement and the density matrix renormalization group in the generalized Landau paradigm》 將這兩條發展脈絡結合在一起。文章提出，應當把糾纏和 DMRG 放置在一個擴展的 Landau 范式中來理解，在這個框架下，廣義對稱性和對偶性成為核心要素。作者進一步指出，在基態的張量網絡表示中，如果選擇那種在對偶圖景里所有對稱性都被自發破缺的表述，糾纏熵可以最小化，計算也最為高效。

從 Landau 到廣義范式

Landau 的相變理論強調序參量的作用，把不同的相區分為保持或破缺某種全局對稱性的狀態。例如，在 Ising 模型中，鐵磁相正是通過自發破缺自旋翻轉對稱性來定義的。然而，許多量子相無法依靠這種思路加以區分。受對稱性保護的拓撲相相就沒有局域序參量，必須通過整體糾纏特征或者邊界態來刻畫；拓撲有序相則擁有長程糾纏，其本質屬性完全超出了傳統對稱性破缺的描述。

近年來，非可逆對稱性、范疇對稱性等概念的出現，更是把相的分類擴展到了群對稱性之外。廣義 Landau 范式正是在這樣的背景下提出的，它試圖把這些更加復雜的對稱性和對偶性也納入到相的分類框架中。

糾纏與張量網絡

量子多體基態最鮮明的特征之一就是糾纏。在一維有能隙體系中，糾纏熵一般遵循面積律，這使得矩陣積態（MPS）等張量網絡成為理想的表示工具。DMRG 正是利用這一性質，通過優化 MPS 來逼近基態。算法的效率完全取決于態的糾纏：糾纏越強，所需的 bond dimension 就越大，變分參數也隨之增多。因此，理解不同相的糾纏模式，尤其是糾纏在對偶變換下的表現，直接關系到數值模擬的可行性。

對偶性與糾纏譜

Lootens 等人提出的核心觀點是，一個模型基態的糾纏譜，其實可以理解為對偶模型中自發對稱性破缺的反映。對于一個一維有能隙的對稱格點模型，如果我們通過“gauging”等方式構造它的對偶模型，那么原本在原模型中未被破缺的對稱性，可能會在對偶模型中表現為自發破缺。這樣，原模型基態中糾纏譜的簡并性，就恰好對應于對偶模型中的對稱性破缺。

這種對應關系說明，只要在對偶圖景中進行分析，就可以系統地解釋原模型的糾纏特征。更重要的是，它暗示我們可以選擇那種在對偶表示中所有對稱性都已經破缺的表述來表示基態。在這種情況下，糾纏被壓縮到最小程度，基態更接近經典態，而張量網絡表示也最為簡潔高效。

廣義 DMRG

基于這一思想，作者提出了一種廣義的 DMRG 算法。這種算法在受約束的 Hilbert 空間中運行，這些約束正是由對偶對稱性破缺所決定的。由于糾纏在這種表述中被極大減少，所需的 bond dimension 和變分參數都顯著降低，因而計算資源得到節省。作者在具體模型的數值實驗中展示了這種優勢。例如，在擾動的 Heisenberg 鏈模型中，廣義 DMRG 相較傳統方法明顯降低了復雜度。這表明抽象的理論思路可以真正轉化為實用的數值改進。

意義與挑戰

這一框架的重要性在于，它把糾纏、對稱性破缺與對偶性有機結合，為理解量子相提供了一個統一的語言，也為數值計算提供了新的指導。通過選擇最大破缺的對偶表示，研究者能夠構造出最簡潔的張量網絡，從而在模擬大體系或強關聯系統時節省大量資源。這不僅擴展了 Landau 范式的適用范圍，使之涵蓋非可逆和范疇對稱性，還在理論與計算之間架起了一座橋梁。

當然，這一思路也面臨著挑戰。目前的分析主要針對一維有能隙系統，如何推廣到二維或者無隙臨界體系仍需探索。對偶模型的構造往往并不唯一，如何系統地找到最優的表述并非易事。至于廣義 DMRG 在更復雜體系中的表現，也有待進一步檢驗。

結論

將糾纏、對偶性與 DMRG 納入廣義 Landau 范式，是我們理解量子相與提升數值模擬效率的重要進展。論文展示了糾纏譜如何對應于對偶模型中的對稱性破缺，并指出在對偶對稱性完全破缺的表示中，基態可以獲得最優的張量網絡描述。這一洞見既擴展了 Landau 理論的內涵，也帶來了實用的算法收益，充分體現了理論與數值方法的深度交融。