為什么矩陣的行秩等于列秩？

“我經常舉的一個例子是，我對一個矩陣的‘行秩’和‘列秩’為什么會相等的好奇。其實在任何基本的線性代數書里，我們都可以找到它們為什么相等的證明。但是從那些邏輯推理的外表，我實在看不出它們為什么會巧合地相等。在我真正了解到它們為什么會一樣的過程中，這個好奇卻幫我了解了許多廣義逆矩陣的幾何意義?！?/p>

——李天巖《回首來時路》

撰文 | 朱慧堅（廣州南方學院數學與統計學院副教授）、丁玖（南密西西比大學數學系退休教授）

在理工科基礎課《高等代數》或《線性代數》中，“矩陣”或許是出現頻率最高的數學詞匯，其重要性不亞于《數學分析》或《高等數學》中的“函數”。對于電子工程或計算機科學等應用學科的學生們而言，矩陣在《線性代數》中的一項基本用途是求解線性方程組，因為線性方程組的所有系數若不變動位置，可以自然地排成一個有幾行幾列的數組，即矩陣的形式，然后利用課本中定義的一系列矩陣運算和性質，同學們便掌握了求解方程組的有力工具。然而在面向數學專業的《高等代數》課程中，矩陣不僅延續了求解線性方程組的傳統功能，還挺身而出，擔當了連接抽象概念和具體模型的橋梁重任，用更專業一點的話來說就是：任何兩個有限維向量空間之間的線性映射，只要在定義域向量空間和值域所屬的向量空間中各自選取了一個基底，那么這個線性映射就有一個唯一確定的、看得見摸得著的“矩陣表示”，這時“矩陣有大用”的威力就充分顯現了。

“打倒行列式！”

筆者分別在中美兩國的大學多次講授《線性代數》，所用的都是暢銷教材。在中國使用的教材是工程名校同濟大學編寫的《工程數學·線性代數》，第一版四十四年前問世，第七版三年前推出；在美國則教過一淺一深的兩門課：《線性代數I》和《線性代數II》。前者本質上只講矩陣的初等理論，與上述同濟大學教材的覆蓋面相仿；后者主要學習有限維向量空間之間的線性映射理論，這時矩陣大致起到“助手”或“工具”的次要作用。

矩陣的歷史源遠流長。早在近兩千年前的中國古代數學典籍《九章算術》中，它便已初現端倪，并被三國時期的偉大數學家劉徽（約225年-約295年）所應用。1850年，英國大數學家西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）正式將其命名為matrix；隨后，比他小七歲的律師兼數學家凱萊（Arthur Cayley，1821-1895）率先引入了矩陣的代數運算。一百五十年來，矩陣一直被代數學家和工程技術家們“玩”個不停，其卓著功勛，不在話下。

因為線性代數入門教程主要討論作為具體代數運算對象的矩陣，中美兩國的傳統教科書一般都沿著數學史發展的足跡，在正式開講矩陣前，第一章先講行列式。然后以它為主要工具，一章又一章、一節又一節地推演出矩陣幾乎數不清的種種性質，比如具有非奇異系數矩陣的線性方程組的著名解公式；它完全依賴于行列式的計算，名為克萊姆法則。還有，可逆矩陣的逆矩陣有個看上去美麗簡潔的逆矩陣公式，其每個元素的計算都少不了行列式幫大忙；可惜這個忙幫得太花時間，以至于后世強調高效實用的計算數學家和工程師早就把這個“中看不中用”的求逆公式棄之不理了。

多年的教學實踐提醒我們，盡管行列式理論曾在歷史上為現代數學的不斷進步立下過汗馬功勞，但如今它對線性代數的影響力已日漸式微。其繁瑣的計算公式，無論是基于排列的和式定義，還是拉普拉斯展開，都難以討得學生歡心，有時甚至會引起他們的恐懼和反感——尤其是在需要化簡一個頗為復雜的行列式時。所以，在線性代數的數學教育中出現了一種質疑的聲音：行列式是否仍有講授的必要？

恰好三十年前，美國數學家阿克斯拉（Sheldon Axler，1949-）教授在讀者如云的數學期刊《美國數學月刊》（第102卷）上，發表了題為Down with Determinants!（《打倒行列式!》）的文章。文章摘要的第一句開宗明義：

“本文展示了在沒有行列式的情況下，如何更好地構建線性代數?！?/p>

第二年，《美國數學月刊》的東家——美國數學協會將1996年度的“萊斯特·R·福特闡述寫作獎”頒給了阿克斯拉，表彰他這篇影響深遠的數學檄文。筆者之一在密歇根州立大學數學系攻讀博士學位時，修過阿克斯拉教授一學年的《高等泛函分析》研究生課程，為他的教學藝術所傾倒，當年提名他評選教學獎，他也當之無愧地將其收進囊中；須知他1975年從加州大學伯克利分校博士畢業后，去麻省理工學院擔任兩年摩爾講師（極富榮譽的一種博士后位置）期間，就獲得過校級教學獎。

在“討伐”行列式的同一年年底，阿克斯拉教授出版了教科書《線性代數應該這樣學》（Linear Algebra Done Right），其寫作風格繼承了他的師祖、美國數學寫作與演講高手哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）的名著《有限維向量空間》（Finite-Dimensional Vector Spaces），即用基于集合論的函數語言撰寫代數課本。正如阿克斯拉教授在前述文章中所宣稱的，他沒有拿起行列式這把榔頭來捶打出線性代數的各種零件，不過還是給予行列式足夠的禮遇——將它放進了全書十章的最后，與矩陣跡共享一章，畢竟它是矩陣之子（西爾維斯特給矩陣所取的英文名字matrix來自拉丁語matrix，原意為“子宮”，隱喻行列式為矩陣所生）。

阿克斯拉教授精心寫作的這部教材在美國高校極受歡迎。2009年，人民郵電出版社翻譯出版了該書，此后一直跟隨英文新版更新譯本，目前已出版至第四版。積極從事數學普及的西北農林科技大學林開亮博士，還在《數學文化》雜志上發表了熱情洋溢的書評。

《線性代數應該這樣學》的譯者在序中寫道：“描述線性算子的結構是線性代數的中心任務之一，傳統的方法多以行列式為工具。作者認為行列式既難懂又不直觀，還缺少動機，并且導致思路曲折，從而掩蓋了線性代數的本質。因此，本書完全拋開行列式，采用更直接的方法闡述了線性算子的基本理論，作者認為這種方法可使學生更加直觀、深刻地理解線性算子的結構，線性代數就應該這樣教與學?！?/p>

這本書起點較低，不需要太多預備知識，而特色鮮明，是公認的闡述線性代數的經典佳作。原書自出版以來，迅速風靡世界，其中包括斯坦福大學和加州大學伯克利分校等著名學府。根據阿克斯拉教授不斷更新的統計數據，到目前為止全球共有超過四百二十所大學和學院采用這本書作為教材。筆者之一任教的大學數學系也慧眼識珠，及時用它替換了舊教材。當筆者再次講授這門課時，書中清晰易懂的語言表述與滴水不漏的邏輯推理，令筆者馬上想起八十年代末那個學年，自己坐在教室里，看阿克斯拉教授演繹泛函分析之美的生動場景。到了2020年，阿克斯拉教授出版新書Measure, Integration & Real Analysis（《測度、積分和實分析》），并告訴筆者他一如既往地將電子版免費上線。筆者毫不猶豫地選擇了這本書來講授《實分析》課程，再一次滿懷喜悅地品味了他的寫作風格。

重新定義“秩”的基石

與矩陣形影不離的一個數學概念是“矩陣的秩”，它在線性代數中的地位，堪比微積分中的“導數”。在通常的教科書中，由于行列式最早登臺亮相，自然它必須身兼數職，不僅要服務好之后登場的逆矩陣計算，也要充當矩陣秩的“解說員”。它向學生們這樣介紹矩陣秩的概念：矩陣的秩是其非零子式的最大階數。這句簡潔的定義更通俗地說就是：從矩陣中任取k行k列元素而不改變相對位置，組成一個k階方陣，其對應的行列式稱為原矩陣的k階子式。如果所給的矩陣有一個k階子式不等于0，但所有更高階的子式都等于0，那么我們就說這個矩陣的秩為k。

看來，按照這個定義，要找到一個矩陣的秩，我們必須耐心地計算不同階數的子式，直到算出一個子式不為0，但又要確保更高階數的子式統統等于0，才算大功告成。對學生而言，即便將這個定義背得滾瓜爛熟，也很難理解“秩”的意義到底是什么，可能知其然而不知其所以然。為了做習題應付考試，只好硬著頭皮死算一通，以期熟能生巧。

現在，讓我們暫時忘掉行列式，或者干脆假設它只是小說家杜撰出的一個莫名其妙的概念，以此來重新定義矩陣的秩。當然到了最后，為了讓讀者信服新定義其實與基于行列式計算的舊定義殊途同歸，我們將再請行列式“復活回歸”，舉杯共賀對“秩”的新解釋。

在進入下面的數學討論之前，我們先做兩點說明。首先，為了與筆者此前文章保持一致，本文將繼續采用泛函分析中的通用術語“線性算子”（linear operator），而不用常見的“線性映射”（linear map，如前述阿克斯拉教授的著作）或“線性變換”（linear transformation，見多數線性代數教科書）。其次，和以前一樣，我們只在實數范圍內談論矩陣，當然文中的結果對復矩陣甚至一般數域上的矩陣也成立。照常，符號R代表實數集。

既然矩陣是上下左右排列整齊、有幾行幾列的一組數，它免不了要和只有一行的數組（稱為行向量）和只有一列的數組（稱為列向量）發生聯系。某個向量中的分量個數如果是n，

線性相關與基底

有了上面的預備知識，我們現在著手建立矩陣秩的概念。不過在此之前，必須先掌握線性代數中另一個關鍵概念。先看一個示例，給出三個向量

x=(1, 2, 3), y=(1, 1, 1), z=(0, 1, 2).

通過簡單的觀察可以發現，x減去y恰好就是z，即z = x – y。等式的左端只有一個單獨的向量，而右端是另外兩個向量的某種組合。因為這種組合是將一個向量組中的向量乘以常數系數（本例中是1和-1）再求和的結果，所以我們說這是一個線性組合，即向量z是向量x和y的線性組合?，F在，我們將這個線性組合的關系式z = x - y改寫成一邊只剩零向量的形式：

1x+(-1)y+(-1)z=0,

注意到三個向量x,y,z前面的系數不全為0（事實上就此例而言，它們都不為0）。這時我們說給定的向量x,y,z線性相關。

接下來，我們考察這三個向量中的前兩個x和y，看一看它們是否也線性相關——是否存在兩個不全為0的數α和β，滿足等式αx +βy = 0。將x和y的分量代入，簡單的代數運算給出下面關于未知數α和β的一個線性方程組：

α+β=0, 2α+β=0, 3α+β=0.

它只有平凡解，即零解α = 0, β = 0。這說明，使得線性組合αx +βy等于零向量的系數α和β只能全為0。換言之，兩向量x和y不像上面的x,y,z那樣是線性相關的。這個時候我們說向量x和y是線性無關或線性獨立的。

讀懂了上面的例子，下面關于線性相關或線性無關的定義就不難理解了。由于涉及多個向量，我們不再使用x,y,z，而是改用帶下標的字母v表示向量，這里的v是英文單詞vector

可由有限個向量張成，則說它是有限維的，否則稱為無限維的（例如，所有多項式組成的向量空間就是無限維的）。線性代數研究有限維向量空間，而把無限維向量空間留給泛函分析去探討。

從上兩段中的定義，易得下面五個有用的簡單事實：

（1）若一組向量包含零向量，則它們必定線性相關；

（2）若一組向量線性無關，則去掉其中任意一個向量，所剩向量也線性無關；

（3）若一組向量線性相關，則加進任意一個向量后也線性相關；

（4）若一個向量是其他幾個向量的線性組合，則所有這些向量線性相關；

（5）在一個向量空間的張成集中，如果某個向量是集內其他向量的線性組合，那么該張成集去掉此向量后，剩余向量依然張成同一個向量空間。

底，那么l = k。這個結論當然正確，下面對此作出證明。

我們只需論證k≤l就夠了，因為互換這兩個基底便推出l≤k，從而得證l = k。事實上，我們可以證明更一般的命題：

好證明的讀者可以將它們一一證出：

（6）k維向量空間M中的k個線性無關向量構成M的一個基底。

（7）k維向量空間M中，由k個向量組成的M的張成集是M的一個基底。

為什么矩陣的行秩等于列秩？

如上的討論順便回答了文章標題提出的問題：

定理. 矩陣的行秩等于列秩。

定義. 矩陣的行秩或列秩稱為矩陣的秩。

通過行列式學過矩陣秩的讀者自然會問最后一個問題：你們定義的秩等于我們的教科書中定義的秩嗎？回答是，是的，它們是同一個整數。但在這里，我們不打算細致討論行列式與矩陣秩的關系，因為這些關系相當地繁瑣，這里就不贅述了。但是，只要考慮可逆矩陣A這一特殊但并不太失一般性的情形，還是能洞察到用“最大非零子式階數”和用“線性無關張成集向量個數”這兩種方法定義矩陣秩的等價性。

推出detA≠0。因為detA是A的最大階數的非零子式，根據同濟大學《線性代數》中的定義，A的秩等于n。

尾聲

筆者寫作此文的一個動機，來自李天巖教授在《回首來時路》（原載臺灣《數學傳播》雜志，2011年轉載于《數學文化》雜志）中的一段話：

“我經常舉的一個例子是，我對一個矩陣的‘行秩’和‘列秩’為什么會相等的好奇。其實在任何基本的線性代數書里，我們都可以找到它們為什么相等的證明。但是從那些邏輯推理的外表，我實在看不出它們為什么會巧合地相等。在我真正了解到它們為什么會一樣的過程中，這個好奇卻幫我了解了許多廣義逆矩陣的幾何意義?！?/p>

今年是筆者之一的博士論文導師李天巖教授逝世五周年及八十周年誕辰。我們撰寫這篇科普文章，不僅試圖以廣義逆算子的思想解釋為何“行秩等于列秩”，也是為了紀念他追求數學思想、授業解惑帶徒的燦爛一生。

完稿于2025年10月27日星期一

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