Topos理論首部著作問世，這是當代科技前沿離不開的數學

近日，國際知名數學家黎景輝教授出版了《Topos 理論》一書，該書是高等教育出版社“現代數學基礎叢書”之一。Topos 理論具有宏大的理論框架，由極具開創性和深刻性的法國數學家 Grothendieck 及其學生 Verdier首創，曾長期僅被少數代數幾何學家和幾何邏輯學家使用，但進入 21 世紀后，其應用范圍迅速擴展，涵蓋信息系統控制、網絡管理、神經網絡、計算復雜性、量子理論與量子計算等領域。本書作為專門研究Topos理論的介紹性材料，可以讓讀者了解理論來源和后續發展的同時，又能快速掌握并應用。本書可供數學及相關專業的師生使用，也可供信息科學、量子計算、神經網絡、現代通信等領域的科研人員參考。

下文為黎景輝教授為本書所寫的序言，標題為編者所加。

撰文 | 黎景輝

在 20 世紀 60 年代，法國數學家對代數學進行了全面而深刻的革新，為其構建了全新的語言、觀點、問題與方法。這種大規模的變革在整個數學史中是極為罕見的，這一工程的主要領導者之一便是偉大的數學家 Alexander Grothendieck (1928—2014)。本書的主題 Topos 理論便是這個時期的產物。簡而言之，Topos 理論 (Topos Theory) 是研究平面上連續函數的線性代數結構的理論。然而，當我們將“平面”替換為帶有 Grothendieck 拓撲的位形時，這一理論便開啟了一個龐大的數學宇宙。正因其宏大的理論框架，Topos 理論恰好適用于處理現代信息世界中的復雜結構。該理論由 Grothendieck 及其學生 Verdier (1935—1989) 首創，最早見于 1963 年他們在巴黎郊外 (Bures-sur-Yvette) 舉辦的討論班。長期以來，Topos 理論僅被少數代數幾何學家和幾何邏輯學家使用，但進入 21 世紀后，其應用范圍迅速擴展，涵蓋信息系統控制、網絡管理、神經網絡、計算復雜性、量子理論與量子計算等領域。特別是近年來，華為巴黎研究中心在 6G 技術與人工智能研究中運用 Topos 理論，以及菲爾茲獎得主 Lafforgue 加入華為后的相關工作，使人們更加認識到這一理論的重要價值。 我們相信，其他電子工業發達的國家也在進行類似研究。然而，目前我國的高校和企業尚未系統講授或應用 Topos 理論，亟需突破這一困境。本書的目的，正是幫助讀者理解并掌握 Topos 理論，推動其在國內的發展與應用。

注：目前國內已有 Topos 理論的相關課程

有人認為無需中文書籍，直接閱讀外文原著即可。我們固然支持有時間和能力的人研讀原始文獻，但對大多數讀者而言，他們更希望獲得一份介紹性材料 —— 既能說明理論來源和后續發展，又能快速掌握并應用。本書正是為此而作。例如，Grothendieck 在 [SGA] 4-1, Exp. II 第 4 頁就定義了層，而我們則用 20 頁篇幅來闡釋這一概念。目前，除了少數從邏輯學角度討論 Topos 的教材外，尚未見專門研究 Topos 理論的中外文著作。就此而言，本書應是該領域的首部著作。

以下介紹本書的內容。試想若將人的骨架抽離，剩下的皮肉臟腑將無法自立。范疇就是 Topos 理論的骨架。為便于更多讀者理解，我們從范疇的基本定義入手，循序漸進地展開論述。在正式構建 Topos 之前，每章均以讀者熟悉的數學結構作為切入點。

第一章以集合拓撲為引，逐步引入范疇的 Grothendieck 拓撲。我們將闡明如何從覆蓋過渡到逗號范疇的子范疇，并將賦予拓撲結構的范疇稱為“位形”。這體現了 Grothendieck 的核心

第二章從預層的性質入手。有了拓撲，我們便可以在第二章闡明什么是層。我們還是從拓撲空間上的實值連續函數開始，得到一般拓撲空間的層的定義。和第一章一樣，第二章分為兩部分：先討論預位形的層，再處理位形的層。

疇) 時，盡管不清楚這個層范疇里的層是在什么位形和什么拓撲上，但我們仍可運用合適的有關層范疇的一切工具 (如同調代數、同倫代數)來對其進行分析，這也是華為巴黎研究中心用來研究神經網絡的一個重要方法。

在前四章中，我們主要說明概念、定義和從定義中得到的一些基本結果。第五章系統整理本書 (特別是第六章) 所使用的范疇性質，以方便讀者查閱。部分定理的證明詳見第六章。

第八章以概述 Grothendieck、Verdier 和 Deligne 三代人關于導出函子的構造工作為開篇，并重點介紹了 Deligne 對 Verdier 的補充工作。之后，我們定義 Topos 的模導出函子的構造，并引入處理非交換環張量積的 Berthelot 規則和未發表的 Berthelot 對 Topos 極限的構

數學是一門內容豐富且不斷創新的學科。若不是電子科技工業對 Topos 理論應用的研究，也許就不會有這本書。是否要掌握 Topos 理論取決于個人興趣和數學基礎，畢竟它并非每個人都必須學習的數學內容。學習 Topos 理論需要投入時間加倍努力，反復思考以求認識和適應這個陌生的領域。讀者最初接觸它時往往難以理解，但習慣后它便會成為有用的工具。和所有學問一樣，未懂之前都覺得困難，明白之后便覺得顯而易見了。

本書比較適合已經學習過大學本科數學分析、一般拓撲學和線性代數的讀者。對于書中的術語，我們提供了對應的英文；偶爾，我們也提供了對應的法文。

由于作者水平有限，書中難免存在錯誤，敬請讀者指正。

黎景輝，2025年4月

參考文獻

[1] [SGA] A. Grothendieck, et. al., Séminaire de Géométric Algébrique, Springer Lect. Notes Math., [SGA 1] 224; [SGA 3] 151, 152, 153; [SGA 4] 269, 270, 305; [SGA 5] 569; [SGA 6] 225; [SGA 7] 288, 340. [SGA 2] Cohomologie locale des Faisceaux Cohérents et Théorèmes de Lefschetz locaux et Globaux, North-Holland, Amsterdam, 1968.

[2] [BeB 22] J-C. Belfiore, D. Bennequin, Topos and stacks of deep neural networks, Huawei Advanced Wireless Technology Lab, Paris, 2022.

[3] [LaiDEA 24] 黎景輝, 微分方程和代數, 北京: 高等教育出版社, 2024.

作者簡介

黎景輝，澳大利亞悉尼大學數學系教授，國際知名的數學家。1974 年在美國耶魯大學獲博士學位，曾在世界上若干重要的研究機構和高等學校任職，主要的研究方向是代數學，在現代數論的主要方向 (模形式與自守表示、算術代數幾何) 上都有很深的造詣。

《Topos 理論》（高等教育出版社，2025年11月）

本書的目的是幫助讀者了解并掌握 Topos 理論的相關內容，作者從范疇論的基礎開始，逐步引入 Grothendieck 拓撲、預層與層的概念，并最終定義拓撲及其性質。

全書共分為八章，前四章主要介紹基本概念和定義，第五章總結了范疇論的相關性質，第六章提供了部分定理的證明，第七章和第八章則深入探討了 Topos 的同調代數理論，特別是導出函子的構造及其在非交換環和微分方程中的應用，最后的附錄總結了 Topos 理論的歷史背景及其在現代數學和科學研究中的重要性。

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