運用數學抽獎，中獎率真的可以飆升一倍嗎？

圖：三個盒子中，只有一個盒子里面藏有一把汽車鑰匙

運用數學抽獎，中獎率難道真的可以從 1/3 大幅提高至 2/3 嗎？

今天就讓我們聊一聊“蒙提霍爾”問題，一起揭曉問題的答案吧！

“蒙提霍爾（Monty Hall）問題”，或“三門問題”、“山羊問題”，是一個著名的概率游戲。這個問題有很多版本流傳，我們今天討論的版本源于加州大學伯克利分校的前統計學家Steve Selvin于1975年寄給《The American Statistician》的一封信件。

Letters to the Editor. (1975). The American Statistician, 29(1), 67–71. https://doi.org/10.1080/00031305.1975.10479121

問題的敘述大致是下面這樣的，為了避免引起不必要的誤會，對原文部分細節做了適當修改：

這是一個名為“讓我們來做個交易”的經典電視節目，由蒙提霍爾主持。節目中設有三個分別標為 A、B 和 C 的盒子，其中只有一個盒子藏有一把汽車鑰匙。主持人清楚鑰匙在哪個盒子中，而參賽者不知道。游戲開始時，參賽者先選擇一個盒子；接著，主持人會從剩下的兩個盒子中打開一個空盒，然后詢問參賽者是否愿意更換選擇——選另一個未被打開過的盒子。如果參賽者最終選中的是藏有鑰匙的盒子，即可贏得汽車。

讓我們來分析一下這個問題。

（許多作者利用條件概率的計算分析此問題。本文接下來嘗試在不引入任何數學公式的前提下，將這個問題講清楚。）

策略一：不換選

如果參賽者選擇一個盒子后，對主持人的一切行為都無動于衷，堅定不換選，那么贏得汽車的概率是多少？

答案是1/3.

原因如下：

因為初始選擇是完全隨機的，而在三個盒子中有且僅有一個盒子中有汽車鑰匙，所以一開始選對的概率就是 1/3 .在這個策略下，主持人后續的任何動作都與最終結果無關。

策略二：換選

現在，我們來分析參賽者采取一個既定策略：在主持人打開一個空盒子后，總是將手中的盒子換成剩下的另一個盒子。

乍一看，剩下的兩個盒子中，一個有車，一個沒車，中獎的概率難道不是 1/2 嗎？這就是問題的有趣之處！

正確的中獎概率是2/3.

原因如下：

因為有兩個空盒子，無論參賽者選擇三個盒子中的哪個，主持人總是可以打開一個沒被參賽者選中的空盒子，我們發現：如果參賽者總是把手中的盒子換為另一個盒子，最后參賽者是否可以贏得汽車實際上取決于在一開始是否選擇了空盒子。

一開始參賽者無論選擇哪個空盒子，隨著主持人排除另一個空盒子，參賽者總是換選到裝有汽車鑰匙的盒子從而贏得汽車；而唯一無法贏得汽車的情況發生在參賽者一開始就選擇了汽車，那么隨著主持人打開其中一個空盒子，參賽者將換選為另一個空盒子。

在三個盒子中，有兩個是空盒子，只要參賽者在一開始選擇這兩個空盒子中的任意一個，最終都可以贏得汽車。所以參賽者贏得汽車的概率為 2/3 。

策略三：隨機換選

有些觀眾會將上述問題與另一種游戲機制相混淆：假設在主持人打開空盒子后，參賽者被允許隨機拋一枚均勻硬幣來決定是否換選盒子。

在這種情況下，參賽者會獲得怎樣的結果？

假設這位參賽者在主持人打開其中一個空盒子之后會隨機地拋一枚質地均勻的硬幣，如果正面朝上，參賽者選擇換選盒子，反之則保留之前選擇的盒子。那么在這種情況下，結果又會是怎樣的呢？比起上述第二種策略，哪種才是最優的呢？

注意到，最終的兩種結果分別對應以下這兩種情況：

• 第一次選中藏有鑰匙的盒子且不換選或第一次選中空盒子且換選

• 第一次選中藏有鑰匙的盒子且換選或第一次選中空盒子且不換選

在上述這兩種情況中，由于換選與不換選的概率各占 50% ，這兩種情形對應的概率是相等的。所以，參賽者贏得汽車的概率是1/2。

最優策略對比

通過對比可知：

策略

換選

隨機換選

不換選

中獎概率

2/3

1/2

1/3

結論：參賽者應該在主持人打開一個盒子后總是換選另一個盒子。這是最優策略，能將中獎概率從1/3 大幅提高到 2/3 .

這個問題之所以讓初學概率論的讀者感到困惑，是因為我們容易產生一個錯覺：主持人打開一個空盒子之后，在剩下的兩個未開盒子中，任選其一，中獎概率總應該是 1/2 .

然而，換選動作并非無關緊要。關鍵在于，主持人并非隨機打開一個盒子。主持人知道汽車鑰匙在哪個盒子中，且總是排除了一個空盒子。這個動作改變了初始的概率分布，它將參賽者最初沒選中的那 2/3 的概率全部“轉移”給了剩下的那個盒子。因此，參賽者選擇換選，就是主動利用了主持人提供的關鍵信息，而不同的決策策略（不換選、換選、隨機換選）自然會帶來不同的中獎概率。

來源：數學大院

編輯：晨曙

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