這些巨人走過的，是數學尚不存在的地方

科學的演進往往通過推倒舊體系來建立新知，這讓數學顯得有些異類：它不斷向前推進，卻幾乎從不否定自己的過去。歐幾里得的公理，至今仍構成數學的基礎。數學的歷史是建立在證明之上的一條延綿的思想脈絡。著名數學家、科普作家伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）試圖追問一個更根本的問題：數學的新領域究竟是如何被“創造”出來的？為此，他選擇了 25 位數學史上的巨人，講述他們非凡的人生與深遠的發現。數學是人類智慧的結晶，而創造這些思想的人，同樣擁有值得講述的故事。通過他們的經歷，我們得以看到：作為一種人類共建的思想體系，數學如何在嚴密的邏輯約束中，孕育出真正的創新。

本文經授權摘自《數學巨人傳傳：思考、創造的奇趣故事》（人民郵電出版社，2025年12月版）前言，標題、小標題為編者所加。

撰文 | 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

翻譯 | 張憬

古老的數學依然鮮活

科學的所有分支都可以穿過歷史迷霧，回溯遙遠的源頭，不過對大多數學科而言，人們在談到過往的時候總要加一句“我們現在知道那是錯誤的”或者“這種想法的方向是正確的，但不符合現代觀點”。舉個例子，古希臘哲學家亞里士多德（Aristotle）認為，奔跑的馬兒永遠不會完全離開地面，然而在 1878 年，埃德沃德 ·邁布里奇（Eadweard Muybridge）用絆線綁定照相設備，拍出一系列照片，證明了前人判斷有誤。亞里士多德的運動理論被伽利略·伽利雷（Galileo Galilei）和艾薩克·牛頓（Isaac Newton）完全推翻，而他關于心靈的理論則同現代神經科學和心理學沒有任何實際的聯系。

數學卻不一樣，古老的數學依然鮮活。大約在公元前 2000 年，古巴比倫人找到了二次方程的解法——不過最早的有形證據來自公元前1500 年前后——他們的成果從未過時。這種方法當年是正確的，古人知道這背后的原因，而今天它依然沒有錯?，F在我們用現代數學符號表示它，但推理過程是相同的。從未來回溯古巴比倫，數學思想是一條連綿不斷的線。當阿基米德（Archimedes）計算出一個球體的體積時，他沒有使用代數符號，也沒有像我們現在這樣將某個特定的數稱為π,而是借助比例，用幾何方式表示結果，這也是古希臘人的常見做法。但他的答案與今天的4/3πr^3，是一回事，后人一看便知。

當然，在數學之外，另一些古代的發現同樣經受住了歷史的考驗。阿基米德曾經提出，一個（懸浮的）物體會排開與自身質量相等的液體，這就是一個例子，他的杠桿定律則是另一個例子。雖然一些來自古希臘的物理學和工程學知識在今天依然有效，但對這些學科來說，永不失效是少數情況；而在數學中，這卻像是一個規律。歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》（Elements）為幾何學奠定了邏輯基礎，直到今天仍然值得仔細研究。它的定理仍然成立，許多仍然實用。在數學中，我們不斷前進，但過往不會被摒棄。

為了防止大家誤以為數學總是埋首于過往，我需要指出兩件事。

第一，一個方法或者定理在人們眼中的重要性是會發生變化的。有些數學領域已經不再那么引人注目，或者說，隨著前沿的轉變和新技術的興起，它們已經不再流行。但它們依然手握真理，如果被發現同其他領域、新興應用和方法論突破之間存在從前不知道的聯系，老舊的領域時不時也能迎來復興。

第二，在發展學科的時候，數學家們所做的不僅僅是延續古人的研究，他們還為數學開拓了大量新鮮、優美、重要且實用的內容。

盡管如此，基本的要點一直是穩固的。一旦一個數學定理被證明是正確的，它就成了可以讓后人添磚加瓦的基礎，永不坍塌。雖然為了消除未聲明的假設，自歐幾里得的時代以來，人們在看待證明的概念時越發嚴格，但我們依然可以在數學中填補眼下的空白，并獲得站得住腳的成果。

數學領域是開辟出來的

本書探討的是在數學中開拓新領域的過程，這個過程近乎神秘。數學并不是憑空出現的，它是被人創造出來的。有些人頭腦清晰，擁有令人驚嘆的創新能力，我們知道數學領域的巨大突破離不開他們，他們是先驅、巨人、開拓者。歷史學家說得對，偉人的成就之下是許許多多普通人的支持，后者各自貢獻微小的線索，為重大謎題的解答提供幫助。能夠帶來成果的重要問題可能由不那么有名的人提出；缺乏技能的人也許可以模模糊糊地生出某些重要的想法，但無法將它們轉化成強有力的新方法和新觀點。牛頓曾經自稱“站在巨人的肩上”，這在某種程度上帶有諷刺意味。這些巨人中有人——尤其是羅伯特·胡克（Robert Hooke）——抱怨說，與其說牛頓站在他們的肩上，倒不如說他踩在他們的腳指頭上，因為牛頓并沒有公平地分享聲望，或者說，盡管他在著作中提及了別人的貢獻，卻在公眾面前獨享了榮譽。不過牛頓說得沒錯：如果沒有前輩學者留下的大量見解，就沒有他在運動、引力和光方面集大成的研究。而這些前輩并不全都是巨人，普通人也發揮了重要的作用。

巨人是脫穎而出的人，他們走出了一條路，我們其他人跟隨其后。選擇一部分巨人，了解他們的人生和成就，我們可以看到數學的新領域是由誰開辟出來的，怎樣開辟出來的，這些人是怎樣生活的。在我看來，他們不僅僅是為我們指明方向的先驅，還是在數學思想的密林中披荊斬棘，開辟出通行之路的開拓者。他們花費大量的時間艱難地穿越荊棘和沼澤，但時不時又能發現失落的“神象之城”或“黃金國”，找到隱藏在草木中的珍寶。他們走入了人類從前未知的思想秘境。

事實上，他們創造了這些領域。數學叢林不像亞馬孫雨林或剛果盆地的熱帶雨林，數學開拓者不是沿著贊比西河開道或者尋找尼羅河源頭的戴維·利文斯通（David Livingstone）。利文斯通是在“發現”已然存在的事物——當地居民早就知道它們存在了。但在那個年代，歐洲人口中的“發現”就是“歐洲人把某物指給其他歐洲人看”。但數學開拓者的成就遠大于探索已經存在的叢林。在前行的過程中，他們似乎也塑造了叢林，就好像新的植物在他們的足跡中破土而出，飛速生長，然后成為參天大樹。不過，這些植物的種類不是人能選擇的，所以我們感覺數學叢林早已存在。你可以選擇在哪里踩下足跡，但如果長出的是紅樹林沼澤，你就不能“發現”桃花心木林。

我想，依然在流行的柏拉圖主義數學觀的根源就在這里：數學真理“真實”存在，但以理念形式存在于某種平行現實中，不生不滅，直到永遠。這樣看來，在證明一個新定理時，我們只是發現了一直存在的東西。我不認為柏拉圖主義作為一種說法有多大意義，但它準確描述了數學研究的過程。你無法選擇：能做的就是搖晃草木，看會不會有什么東西掉出來。在《數學到底是什么？》（What is Mathematics, Really?）一書中，魯本 ·赫什（Reuben Hersh）給出了更現實的數學觀：它是人類共建共享的思維體系。在這方面，數學很像貨幣。貨幣并不“真的”是金屬塊、紙片，或者計算機里的數字；它是我們用金屬塊、紙片和計算機里的數字做交換時的一套共同約定，無論我們是在換錢，還是在買東西。

赫什激怒了一些數學家，他們盯住“人類共建”不放，聲稱數學絕不是能隨意構建的東西，社會相對主義在這里是行不通的。他們沒說錯，但赫什非常清楚地解釋過，數學并不是人類任意構建的。我們可以選擇證明費馬大定理，但我們無法選擇它本身是真是假。經過人類共建，數學呈現出嚴格的邏輯體系，只有符合約束條件的內容才能加入其中。這些約束條件或許使我們能夠區分真假，但大聲宣稱只有一個答案并不能讓我們找到答案，重點在于答案是什么。我已經記不清多少次有爭議的數學課題因為不討人喜歡而遭受攻擊了，攻擊者總是指出，數學是一種“重言式”（tautology）：一切新東西都是已知事物的邏輯推演產物。沒錯，是這樣的，舊事物里隱藏著新事物。但把新事物挖掘出來，需要巨大的付出。這一點，你可以去問問安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）。你可以告訴他，數學的邏輯體系早就決定了費馬大定理的結論，但這是一句廢話。懷爾斯花了七年時間才搞清楚這個早就決定了的結論是什么。在得出結論之前，知道它是“早就決定的”根本沒用，這就好比你問別人大英圖書館怎么走，對方卻告訴你它在英國。

25位巨人

本書并沒有整理和書寫整個數學史，但我努力以一種連貫的方式呈現數學主題，使各種概念隨著篇章的推進逐步形成體系?？偟膩碚f，這意味著本書要大體上按照時間順序呈現所有內容。然而，同時照顧主題和時間順序會削弱可讀性，因為我們需要不斷地從一位數學家跳到另一位數學家，所以，我按照數學家的生日為章節排序，并偶爾提供交叉參考。

我選擇了 25 位數學巨人，其中有古人也有現代人，有男性也有女性，有東方人也有西方人。以他們為中心的歷史發端于古希臘，始于偉大的幾何學家和工程師、成就斐然的阿基米德，他算出了π的近似值，找到了球體體積和表面積的計算方法，制作了阿基米德螺旋抽水器，設計了可以摧毀敵船的起重裝置。接下來的三位代表生活在遙遠的東方，中世紀數學的主要進展出現在那里。他們是中國學者劉徽、波斯數學家穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米 [Muhammad ibn Musaal-Khwarizmi，他的著作為我們帶來了“算法”（algorithm）和“代數” （algebra）這兩個詞 ]，以及古印度桑加馬格拉馬的瑪大瓦（Madhava of Sangamagrama，他最先研究了展開為無窮級數的三角函數，多年后西方的牛頓才重新發現了這個成果）。

在意大利文藝復興時期，數學研究的主場回到了歐洲，我們將在那里邂逅吉羅拉莫 ·卡爾達諾（Girolamo Cardano），數學神殿中有史以來最大的惡棍之一?？栠_諾嗜賭成性、好勇斗狠，但迄今為止最重要的代數學著作之一正是出自他手。他還行過醫，占過星，簡直是在照著八卦小報過日子。和他形成鮮明對比的是以費馬大定理名揚四海的皮埃爾 ·德 ·費馬（Pierre de Fermat），對數學的熱情常常令這位律政人士顧不上本職工作。他讓數論作為一個數學分支得到承認，還對光學做出了貢獻，并探索了微積分的前身。而微積分的正式誕生則要歸功于艾薩克 · 牛頓，他的經典之作是《自然哲學的數學原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica），通常被簡稱為《原理》（Principia）。牛頓在書中闡述了運動定律和萬有引力定律，并用它們來解釋太陽系的運動。他代表了數學物理學的一個關鍵節點，物理學從此成為一種有組織的數學研究，研究對象則是牛頓口中的“宇宙的體系”（System of the World）。

在牛頓之后的一個世紀里，數學的中心轉移到了歐洲大陸和俄國。萊昂哈德 ·歐拉（Leonhard Euler）是史上最高產的數學家，他發表重要論文的速度堪比記者刊發日常報道。他還通過一系列優雅、清晰的教科書推動了許多數學領域的系統化。沒有一個數學領域能逃過他的審視。歐拉甚至預見了約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）的一些想法，后者對熱的研究帶來了現代工程師最重要的技術之一——傅里葉分析，涉及用基本三角函數正弦和余弦表示周期性波形。傅里葉也是第一個發現大氣對地球熱平衡有重要影響的人。

數學進入近代后，卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）拿出了無與倫比的研究成果，如果要評選有史以來最偉大的數學家，他便是實力強勁的參選者。高斯從數論出發，通過預測新發現的小行星谷神星的再次出現而在天體力學領域聲名鵲起，并且在復數、最小二乘數據擬合和非歐幾何方面取得了重大進展，但他沒有發表過任何關于非歐幾何的研究成果，因為他擔心這太過超前，會招來嘲笑。尼古拉·伊萬諾維奇 ·羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）則不那么畏怯，他發表了大量文章介紹不同于歐氏幾何的另一種幾何，現在被稱為雙曲幾何。如今，他和亞諾什·波爾約（János Bolyai）是公認的非歐幾何創始人，這個領域可以解釋為具有非零恒定曲率的曲面的自然幾何。不過高斯的判斷基本正確，非歐幾何的思想太超前了，羅巴切夫斯基和波爾約在有生之年都沒有得到肯定。革命者埃瓦里斯特 ·伽羅瓦（évariste Galois）的悲劇故事為這個時代畫上了句號，他為了一名年輕女子參加決斗，在年僅 20 歲時去世。伽羅瓦在代數學方面做出了重大貢獻，今天用變換群來描述對稱性的重要概念就可以追溯到他的研究。

此刻，故事迎來了一個新的主題，我們遇到的第一位女數學家開辟了新的道路，也就是計算數學。洛夫萊斯伯爵夫人奧古絲塔·埃達·金（Augusta Ada King, Countess of Lovelace；通常也稱埃達·洛夫萊斯（Ada Lovelace）——編者注）曾經是查爾斯·巴貝奇（Charles Babbage）的重要協助者。潛心于研究的巴貝奇看到了機器計算的巨大潛能。他設想了分析機（Analytical Engine），這是一種由棘輪和齒輪組成的可編程計算機，如今已經成為蒸汽朋克科幻小說的招牌噱頭。盡管存在爭議，但人們普遍認為埃達是第一位計算機程序員。喬治·布爾（George Boole）延續了計算機的主題，他的《思維規律的研究》（An Investigation of the Laws of Thought）為當代計算機的數字邏輯奠定了基本的數學形式體系。

生生不息的數學叢林中不斷出現各不相同的新領域，我們的故事也越發豐富。伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）善于洞察看似復雜的概念，發現其背后簡單而普適的思想。他做出過堪稱幾何學基石的貢獻，尤其是愛因斯坦（Einstein）革命性的引力理論（廣義相對論）所依賴的彎曲流形。他還通過 ζ 函數將數論與復分析聯系起來，大大推進了質數理論的發展。關于這個函數的零點的黎曼猜想，是全數學界最大、最重要的未解之謎之一，解答者可以獲得百萬美元的獎金。

接下來是格奧爾格·康托爾（Georg Cantor），他通過引入集合論改變了數學家思考本學科基礎的方式，他定義了非零自然數 1, 2, 3,…和其他情形下的無窮大，從而在嚴謹、實用、有意義的層面發現，有些無窮大比其他無窮大更大。和很多創新者一樣，康托爾在世的時候也曾遭到誤解和嘲笑。

我們的第二位女數學家，天賦異稟的索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭（Sofia Kovalevskaya）出現了。她的一生相當坎坷，原因關乎俄國革命下的政治以及男性主導的社會對杰出女學者設置的障礙。她能夠在數學領域取得成就，這本身就令人驚嘆。事實上，她在偏微分方程的求解、剛體的運動、土星環的結構，以及晶體對光線的折射等方面都有非凡的發現。

接下來，故事的節奏加快了。在 19 、20 世紀之交，法國的亨利·龐加萊（Henri Poincaré) 位列世界頂級數學家之一。他表面古怪，其實極為敏銳。他看到了拓撲學（一種“橡膠片幾何學”，允許形狀不斷扭曲）這個新興領域的重要性，并且將它從二維擴展到三維甚至更廣。他將拓撲應用于微分方程，研究牛頓的引力模型中的三體問題。這使他發現了確定性混沌，即非隨機系統中明顯隨機的行為存在的可能性。龐加萊還差點兒比愛因斯坦更早提出狹義相對論。

德國數學界也有自己的龐加萊，他就是大衛·希爾伯特（David Hilbert）。希爾伯特的職業生涯分為五個時期。首先，他吸納了布爾關于不變量的思想——坐標發生變化，代數表達式依然保持不變。接著，他為數論的核心領域開發了系統化的處理方式。然后，他重新審視了歐幾里得的幾何公理，發現它們并不完備，于是增加了額外的公理來填補邏輯上的空白。隨后，他轉向數理邏輯和數學基礎，啟動了一項計劃，旨在證明數學大廈可以擁有既一致（任何邏輯推導都不會推出矛盾）又完備（任何一則陳述都可以被證實或證偽）的公理基礎。最后，他轉而研究數學物理學，險些搶先愛因斯坦一步提出廣義相對論，并且提出了對量子力學至關重要的希爾伯特空間。

埃米·諾特（Emmy Noether）是我們講述的第三位，也是最后一位女數學家。在她生活的時代，女性參與學術研究仍然要受到大多數在職男性的排斥。她與希爾伯特一樣，最初從事不變量理論研究，后來兩人成了同事。希爾伯特曾竭力嘗試打破限制女性的阻礙，為她爭取一個長期的學術職位，但只取得了部分成功。諾特開辟了抽象代數的道路，如今我們口中群、環、域這樣的公理結構便得益于她的先行探索。她還證明了一個將物理定律中的對稱性和能量等守恒量關聯起來的重要定理。

到這里，故事進入 20 世紀。數學界的強者并不局限于西方世界的受教育階層，為了展現這一點，我們追尋出身貧寒、自學成才的印度天才斯里尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）的蹤跡，了解他的人生和研究。拉馬努金對怪異但正確的公式有一種奇特的直覺，就算這種直覺不是獨一無二的，也只有歐拉和卡爾 ·雅可比（Carl Jacobi）這樣的巨人才能與他相比。對于證明，拉馬努金缺乏足夠明確的概念，但他能找到別人做夢也想不到的公式。直到今天，人們依然在用他的論文和筆記挖掘新思路。

兩位富有哲學天賦的數學家讓我們回到了數學的基礎，以及它和計算的關系。一位是庫爾特·哥德爾（Kurt G?del），他證明了所有算術公理系統都必定存在不完備和不可判定的問題，從而摧毀了希爾伯特的計劃。另一位是艾倫·圖靈（Alan Turing），他針對可編程計算機功能的研究為這些成果提供了更簡單、更自然的證明。毫無疑問，第二次世界大戰期間在英國布萊奇利園的密碼破譯工作讓他聞名于世。圖靈還為人工智能提出了圖靈測試，并且在戰后研究了動物斑紋的規律。他是一名同性戀者，悲慘而神秘地去世。

我決定不收錄在世的數學家，但會在本書最后介紹兩位最近去世的當代學者，一位是純數學家，另一位是脫離正統的應用數學家。后者是因分形研究而廣為人知的貝努瓦 ·芒德布羅（Benoit Mandelbrot）。分形是一種幾何圖形，在任何尺度上放大都能呈現相同的細節。相比球體、圓柱體等整齊光滑的傳統幾何圖形，分形通?？梢愿玫貙ψ匀贿M行建模。雖然另有幾位數學家也研究過我們現在稱為分形的結構，但芒德布羅發現了它們作為自然界模型的潛力，由此帶來了巨大的進步。他不是活在定理和證明中的數學家，而是對幾何有著強烈的視覺直覺，所以看到了其中的關系并且提出了猜想。芒德布羅還有點兒愛出風頭，是一個精力充沛的思想推廣者。數學界有些人并不喜歡他這一點，但你不可能取悅所有人。

我最后選擇的純數學家則是威廉·瑟斯頓（William Thurston），他稱得上是數學家中的數學家。瑟斯頓也對幾何有著極佳的直覺把握，而且廣度和深度都超過芒德布羅。他研究定理和證明的能力不比任何數學家差，但隨著職業生涯的發展，他更傾向于關注定理本身，而僅僅勾勒出證明思路。尤其是在拓撲學方面，他注意到了這個領域和非歐幾何之間意想不到的聯系。最終，這些想法促使格里戈里 ·佩雷爾曼（Grigori Perelman）證明了龐加萊在拓撲學中提出的一個難以捉摸的猜想。他的方法還證明了瑟斯頓的一個更普遍的猜想，為所有三維流形提供了意想不到的啟示。

在本書最后，我將從這 25 位巨人的故事中拾取一些織就他們探索之路的線索，探討我們該怎樣理解這些數學先驅——他們是誰？他們是怎樣工作的？他們從哪里獲得了那些瘋狂的想法？讓他們成為數學家的最初動力是什么？

不過現在，我只想補充兩則聲明。第一，書中的內容必然是經過選擇的。因為篇幅的限制，我無法全面撰寫數學家的人生，調查這些開拓者研究的一切，或者深入他們思考的具體過程以及他們與同行互動的細節。我所做的是，從他們最重要或最有趣的發現和概念中，努力選取有代表性的部分，并且提供足夠的歷史細節，把他們當作當時社會中的人來描繪。對于一些古代數學家來說，這樣的寫法只能是非常粗略的，因為現存資料中沒有多少關于他們生活的記錄，通常也找不到他們著作的原始版本。

第二，數學發展史上的關鍵人物絕不只有我所選擇的這 25 位。我的選擇依據很多——數學課題的重要性、領域的內在趣味、人物故事的吸引力、歷史時期、多樣性，還有難以言說的“平衡”。如果你最喜歡的數學家被遺漏了，最大的可能是因為篇幅有限。再者，這也是因為我希望綜合地理、歷史和性別三個維度考慮，讓入選代表的分布廣闊一些。我相信書中的每一位數學巨人都完全值得被收錄，盡管有一兩位可能會引起爭議。但毫無疑問，還有許多人分量相當，值得一起出現在書中。

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