保非負性的卷積核：在閉凸域中的隨機Volterra方程及其逼近中的應用

保非負性的卷積核：在閉凸域中的隨機Volterra方程及其逼近中的應用

Nonnegativity preserving convolution kernels. Application to Stochastic Volterra Equations in closed convex domains and their approximation

https://www.sciencedirect.com/journal/stochastic-processes-and-their-applications/vol/181/suppl/C?page-size=100&page=1

摘　要
本文定義并研究了一類保持非負性的一維卷積核。當一個過程的歷史動態通過卷積核進行積分時（如在隨機Volterra方程中，或在Hawkes過程的跳躍強度中），該性質可保證積分結果的非負性。我們給出了這類核的若干刻畫，并特別證明了完全單調核具有非負性保持性質。隨后，我們將這些結果應用于分析閉凸集在隨機Volterra方程下的隨機不變性，并在一維情形下得到了一個比較結果。最后，當核為衰減指數函數的正線性組合時，我們提出了一種弱誤差的二階逼近格式，在適當假設下，該格式始終保持在閉凸域內。我們將這些結果應用于粗糙Heston模型，并給出了數值示例。

關鍵詞：完全單調核 隨機Volterra方程 Volterra方程 具有抑制作用的Hawkes過程
粗糙Heston模型

1. 引言

卷積核被廣泛應用于建模具有隨時間衰減記憶效應的現象。雖然遠非詳盡，我們在此提及在力學 [1,2]、生物學 [3–5]、社會學 [6,7] 或金融 [8–11] 中的應用。相關模型中使用的主要隨機過程家族是Hawkes過程和隨機Volterra方程，其中卷積核用于整合過去動態。對于Hawkes過程，這種對過去的積分產生跳躍強度，因此必須是非負的。對于隨機Volterra方程，在某些應用中了解它們是否為非負或更一般地是否保持在某個區域內也非常重要。

然后我們將該技術應用于提出一種用于Abi Jaber和El Euch [12] 引入的多因子Heston模型的弱二階格式，作為粗糙Heston模型的代理。這是本工作的原始動機。具體而言，結合我們的通用方法與Alfonsi [22] 提出的Cox-Ingersoll-Ross（CIR）和Heston模型的二階格式，我們為這些模型的多因子版本提出了新的逼近方案。數值實驗表明，我們的方案具有二階弱收斂性。我們還將我們的方案與Richard等人 [23] 以及Alfonsi和Kebaier [24] 為粗糙Heston模型期權定價開發的Euler方案進行比較，結果顯示我們的方案在偏差和計算時間方面優于這些方案。

本文結構如下：第2節 專注于保非負性核函數的分析。我們首先給出定義，并獲得一個不假設任何正則性的初步刻畫。接著，我們聚焦于完全單調核，并證明它們保非負性。最后，我們研究第一類非負非增預解算子的存在性與保非負性性質之間的關系。第3節 專用于隨機不變性。第一部分展示SVE的逼近，并利用保非負性性質證明其停留在某凸域內。我們估計強誤差，然后陳述通過取時間步長趨于零所得的主要隨機不變性結果。第4節 開發具有二階弱誤差的SVE逼近格式，并在合適假設下保證其停留在閉凸域內。它首先回顧SDE弱逼近的一般結果，然后提出SVE的二階弱誤差格式。最后，它開發多因子CIR和Heston模型的二階格式，并在此框架下給出一些數值結果。

1. 保非負性卷積核

2.1. 定義與刻畫

蘊含關系（2.4）等價于該下確界的非負性，而這正是我們希望刻畫的性質。我們注意到，約束集是線性的且呈三角形式，其對角線元素非零（因為 G ( 0 ) > 0 ）。因此，我們可以將待優化的線性函數表示為這些約束的線性組合：

2.2 完全單調核保持非負性

2.3 通過第一類預解算子進行刻畫

Abi Jaber 等人 [13, 定理3.6] 最近已證明，具有非增預解算子的性質可用于確保某些隨機Volterra方程的非負性。然而，該性質僅表現為保證非負性的充分條件。根據下一個定理，我們將看到，對于非增核函數而言，這一性質實際上是必要且充分的條件。

1. 閉凸域上的隨機Volterra方程

   
   3.1. 通過分裂法對隨機Volterra方程的逼近