量子力學百年：從微觀量子結構到宏觀量子效應

|作者：孫昌璞

(中國工程物理研究院研究生院）

本文選自《物理》2026年第1期

摘要20世紀理論物理學的發展主題為量子化，它是物理學“縱向層次跨越”與“橫向范式演進”交匯的樞紐：在縱向維度上，量子化是跨越物質層次組元、解構物理規律的基本工具；多體系統量子化打破還原論單一模式，關注量子效應累計的宏觀行為；在橫向維度上，它推動了物理學從(經典)決定論到(量子)概率論的范式革命，確立了自然界隨機性的微觀量子本源。從科學發展邏輯的角度講，量子力學誕生百年間歷經三次量子化階段：第一次(1925—1920年代末)將單粒子自由度量子化為不可對易算符，建立量子力學理論的基礎框架；第二次(1930—1970年代末)將量子化拓展至多體系統與場，結合相對論建立量子場論。它解釋了超導、超流等宏觀量子現象，并引入序參量與自發對稱性破缺的概念；第三次(1980年代后)對宏觀序參量再次量子化，展示了宏觀尺度上的量子相干效應，催生了超導量子計算等新領域。可以說，量子化不僅拓展了人類對世界的認知，而且重塑了現代技術文明根基，目前正在支撐眾多高新技術體系加速演進。

關鍵詞量子化，微觀量子結構，宏觀量子現象，宏觀量子效應(隧穿)，三次(序參量)量子化，自發對稱性破缺

01

引言：20世紀理論物理發展的核心主題——量子化

楊振寧先生在2002年巴黎國際理論物理大會上提出，20世紀理論物理的三大主旋律為量子化、對稱性和相位因子[1，2]，并將量子化列為首要主題。此舉的核心邏輯在于：量子化之所以成為20世紀理論物理的首要主旋律，是因其在物理學“縱向層次跨越”與“橫向范式演進”交織的壯麗科學圖景中扮演著不可替代的樞紐角色(圖1)。物理學發展的縱向維度是指還原論(reductionism)與演生論(emergentism)的思想互動，而其發展橫向維度是從決定論(determinism)到概率論(probabilistic)的演進[3]。

圖1　量子化是物理學縱橫維度發展的關鍵樞紐

在縱向維度上，一方面物理學從還原論出發，將物質世界逐層解構為分子、原子、原子核、電子直至夸克等基本組元，并通過研究底層粒子的相互作用解釋更高層次的現象和規律。而量子化正是縱向層次解構的工具，如量子場論可描述基本粒子的相互作用[4—6]。另一方面，蘊含著P. W. Anderson“多者異也”的思想[7]，物理學也揭示了層次間物理規律的不可還原性——了解個別電子的行為，無法解釋高溫超導的零電阻現象；雪花的千姿百態無法僅由其底層組元水分子的性質直接推導出來。當量子化應用于多體系統，就能夠揭示對稱性自發破缺機制如何產生宏觀序參量的涌現行為。

在橫向維度上，物理學則經歷了從經典決定論到量子概率論的范式革命：牛頓力學的嚴格確定性，被量子化導致的不確定性原理與波函數幾率詮釋顛覆：玻恩幾率詮釋揭示了內稟的微觀隨機性。量子化使得熱力學系統中大量微觀粒子的隨機性找到了不可消除的量子根源。量子化將底層量子漲落與宏觀集體行為統一起來，更打破了還原論“自下而上”的單向思維。可以說，20世紀物理學的發展，本質上是量子化規則在物理學不同層次與兩個發展維度上逐步展開。

自1925年誕生以來，量子力學在物理學發展的兩個維度上已縱橫馳騁百年。然而，這段歷史并未走向終結，而向更廣泛的應用與新的理論正加速邁進。量子力學不僅拓展了人類對世界認知的時空邊界，更直接重塑了現代技術文明的科學根基；它并非是僅關于“微觀世界”的抽象理論，而是支撐幾乎所有現代高技術體系的物理原理，包括核能利用、半導體器件、激光技術、核磁共振成像(MRI)、原子鐘、光纖通信、掃描隧道顯微鏡、精密計時系統，以及當前快速發展的量子計算、量子通信與量子傳感。

然而，與經典力學、熱力學和電磁學不同，量子力學并非在某個單一歷史時刻以完整和完美的終結形態出現。回顧其建立后的百年發展邏輯，可清晰分為三個階段，每個階段均顯著拓展了量子力學的研究對象、完善了數學結構、深化了科學內涵。為突顯這三個階段的科學內涵特征，可將其概括為“三次量子化”(表1)，它們不僅以各自的科學突破為標志，而且催生了量子技術從1.0到3.0的飛躍。

表1 量子力學的百年發展：從微觀量子結構到宏觀量子相干效應

第一次量子化階段(約1925—1920年代末)，核心是將經典力學中單粒子的自由度(如位置、動量、角動量、能量等)轉化為不可對易算符，建立起波函數、算子代數、不確定性原理、能級量子化及幾率詮釋等核心框架，回答了一系列基礎物理問題：原子為何穩定？能譜有時為何離散？電子為何無法用經典軌道描述？測量結果為何呈現內稟幾率特征？

隨著研究范圍從“單粒子或少體系統”向多體系統與光場延伸，量子力學進入第二次量子化階段(約1930年代—1970年代末)。它與狹義相對論有機地結合起來，通過產生/湮滅算符的描述框架，展示場的量子化及其與多粒子的二次量子化形式等價性，從而建立了量子場論，形成了面向凝聚態應用的多體理論體系：多體系統的平均場近似成功描述了固體能帶結構和化學鍵等；場的量子化導致了激光物理和量子光學的誕生。

第二次量子化的重要研究結果是揭示了超導、超流和玻色—愛因斯坦凝聚(BEC)等宏觀量子現象，使得對稱性自發破缺與序參量的概念得以確立：宏觀的序由大量的量子自由度自發形成。在基本物理(如楊—米爾斯規范場論、希格斯機制、基本粒子標準模型)的應用中，對稱性自發破缺解決了楊—米爾斯場零質量的困境，凸顯了“演生”(emergence)在物理學中的基礎性地位。

基于對稱性自發破缺的思想，量子力學的發展于1980年代前后邁入第三次量子化階段。這一階段不再滿足于對宏觀量子穩態的“觀察與解釋”，而是將宏觀序參量(如超導相位差、超導回路中的磁通量、BEC雙阱體系中的相位差與原子數差)視為新的量子自由度，對其進行再次量子化，使其重現量子相干疊加、能級量子化、相干量子隧穿等基本量子效應。從量子場論的角度講，這相當于對戈德斯通模的量子化。人們成功保持并操控了這種可區分的宏觀量子疊加態，并將其作為信息處理的核心單元——即量子比特(qubit)的物理載體，由此催生了超導量子計算、量子測量等量子力學應用的新領域。值得強調的是，2025年諾貝爾物理學獎授予了在超導電路中操控宏觀量子隧穿和觀測宏觀離散能級的實驗工作。因此，三次量子化已不再是概念性拓展，而是可在實驗室驗證、并能轉化為未來量子科技基礎的成熟科學成果。

在量子力學誕生100周年之際，《物理》雜志組織了系列紀念文章，其中曹則賢對量子力學原始文獻的翻譯與解讀尤為亮眼[8]，讓我們得以從更貼近歷史語境的角度，觸摸到這門學科早期發展(第一次量子化)的真實脈絡。他的評述視角獨特，偶有出人意料之處(如關于海森伯和玻恩科學貢獻的評價)，也是以生動鮮活的方式，為這段科學史提供了別樣的理解維度。

本文不只是依據這些歷史文獻對量子力學發展歷程的簡要梳理，也不是對理論原理的概述，而是試圖循著量子力學發展的歷程，以邏輯重現歷史的方法展開敘事，對于量子力學歷史發展的重要問題(正則量子化和薛定諤方程的由來、矩陣力學和波動力學的等價性等)[9]，力爭給出忠實原著的現代解讀。文章也著力于一次量子化和三次量子化的討論，對于以量子場論為核心的二次量子化的討論只強調幾個相關的關鍵問題。對理論物理思想發展的闡述，要講清楚問題，不可能沒有數學公式，因此，我們把當前教科書忽視的、但對于理解量子力學不可或缺的內容放在Box里面進行邏輯自洽的簡述(部分是文獻[9]中論述的概括)，讓量子力學科學演進的歷程更清晰準確地呈現在讀者面前。

02

第一次量子化：微觀結構的量子描述

19世紀末，經典物理學已構建起看似完備的理論體系：牛頓力學精準刻畫宏觀運動與天體演化，麥克斯韋電磁理論統一電、磁、光現象，熱力學與統計物理則成功解釋溫度、壓強及熱輻射等宏觀熱效應。當時主流觀點甚至認為“物理學基本框架已完成”，剩余工作僅是“填補細節”。然而，物理學天空還存在兩朵烏云，正是這“兩朵烏云”對應的實驗矛盾，從根基上動搖了經典物理的統治地位。其中與量子力學建立相關的有黑體輻射的“紫外災難”(經典理論預言高頻段射能量趨于無窮，與實驗結果完全相悖)、低溫固體比熱異常(經典統計物理無法解釋低溫下比熱隨溫度下降的現象)，以及原子穩定性問題(按經典電磁理論，繞核運動的電子會因輻射能量而坍縮，與原子長期穩定的事實矛盾)。這些問題并非“技術細節缺陷”，而是直接沖擊經典物理的核心假設——物理量的連續性、運動的確定性、粒子軌道的可跟蹤性，它們共同預示著：經典的連續描述在微觀尺度下有可能完全失效。

為應對實驗與理論的沖突，“舊量子論”應運而生。1900年，“量子之父”馬克斯·普朗克首次提出量子假說：物體吸收或發射電磁輻射時，能量并非連續傳遞，而是以“量子”為基本單位，即能量只能是基本量子能量的整數倍，數學表達為

E

n

(其中?≡

h

/2π，

h

為普朗克常數，

n

=1, 2, 3, …為正整數)。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦進一步將量子從“能量傳遞單元”升華為“實體粒子”，提出光量子假說——輻射場本質是光量子(后稱光子)的集合，單個光子的能量滿足

E

=?

，動量則與波矢

k

(定義為

k

=2π/

為波長)關聯，即

p

=?

k

1913年，尼爾斯·玻爾在光量子假設的基礎上，結合歐內斯特·盧瑟福的原子有核模型，提出“玻爾原子模型”，標志著舊量子論體系的最后成型。玻爾的核心貢獻是引入兩條量子化原則：一是“定態假設”——氫原子核外電子的軌道并非連續分布，而是分立的“定態軌道”，電子在定態中運動時不輻射能量，且軌道角動量滿足量子化條件

L

nh

/(2π)=

n

? (

n

為主量子數)；二是“躍遷假設”——僅當電子從能量較高的定態

E

m

躍遷到能量較低的定態

E

n

時，才會發射單色光，光的頻率由能級差決定，即

mn

E

m

-E

n

)/?。這一模型成功解釋了氫原子光譜的分立特征，但局限性同樣顯著：很難推廣到多電子原子(如氦原子)，無法嚴謹計算譜線強度，且仍保留“電子沿經典軌道運動”的核心圖像，本質是“經典框架+量子條件”的過渡性“二元理論”。

正是舊量子論的這些局限性，推動了現代量子力學的誕生[10]。1925年，維爾納·海森伯在尚未了解“矩陣”這一數學工具的情況下，首先提出了矩陣力學的核心思想——這一理論后來被公認為現代量子力學的起點[11]。海森伯繼承和發揚了愛因斯坦的思想：物理理論應僅描述可直接觀測的物理量。因此，描述原子不能依賴無法測量的“經典軌道”。在原子系統中，“電子軌道”無法直接觀測，可以測量的是能級躍遷產生的譜線頻率與強度；傳統電磁理論認為輻射頻率與電子振動頻率相關，而玻爾模型則指出譜線頻率與能級差相關——為調合這一矛盾，海森伯提出：描述系統狀態的“坐標”不再是經典的關于時間的函數

t

)，而是一組矩陣元

X

nm

，代表系統在能級

m

n

之間的躍遷幅度。

隨后，馬克斯·玻恩與帕斯庫爾·約當將這一思想數學化[12]，給出了基本力學量的矩陣對易關系；幾乎同時，保羅·狄拉克根據海森伯的論文，認識到不可對易量的運算規則與經典力學的泊松括號的相似性，獨立得到了正則量子化[13]；而后，海森伯、約當和玻恩的“三個人文章”將理論進行系統性綜合和應用推廣，矩陣力學正式建立[14]：所有物理可觀測量(位置、動量、能量等)均用“矩陣”表示(后來保羅·狄拉克稱之為“

q

數” [15] ，約翰·馮·諾依曼進一步明確為希爾伯特空間中的“算符” [16] )，其運算規則與經典物理量截然不同——最核心的差異是“非交換性”，即兩個算符的乘積不滿足交換律()。若要求算符的運動方程形式與經典力學一致，則需滿足“海森伯—玻恩—約當對易關系”，即位置算符 與動量算符有對易關于(見Box 1)。矩陣力學的革命性意義在于：徹底摒棄“電子軌道”的圖像化假設，以算符代數及其本征值(對應可觀測的物理量取值)作為理論核心，使系統描述聚焦于離散能級與躍遷規則，而非時空軌道。很快，沃爾夫岡·泡利用這一理論，以高度的代數技巧精準推導出氫原子能譜的細節 [17] ，進一步展示了矩陣力學的預測能力和計算有效性。

Box 1

海森伯—玻恩—約當對易關系與正則量子化[9,12]

遵循海森伯的精神，按玻恩和約當的原始文章推導和滿足基本的對易關系。考慮一個動量為，坐標為，質量為

M

的質點在勢場 中運動。假設 和 是矩陣或算子，現在分析。為了能夠形式上回到經典力學， 和 隨時間的變化仍然滿足與經典情況形式一樣的運動方程：

其中是粒子所受外勢。由此，滿足如下的時間演化方程：

帶入運動方程(1.1)，可證明對易關系不隨時間改變，等于某個常數

C

。又因為

C

? =-

C

C

應當是一個純虛數，即

C

=i?。由此證明了 和 滿足基本對易關系：

利用上述基本對易關系，計算能量可以得到振子能量量子化：

與普朗克假定的諧振子能量表達式相比較，證明?就是普朗克常數。

幾乎與矩陣力學同時，埃爾溫·薛定諤于1926年從另一角度構建了量子力學的等價形式——波動力學[18]。其靈感源自路易·德布羅意1924年的“物質波假說”：微觀粒子(如電子)兼具粒子性與波動性，即“物質波”，其波長

與動量

p

滿足

h

p

，其中

h

=2π ?。1927年的電子衍射實驗(戴維孫—革末實驗)直接證實了這一假說——電子穿過晶體時呈現出與光波類似的干涉、衍射圖案。

基于物質波思想，薛定諤寫下描述非相對論微觀粒子運動的基本方程——薛定諤方程，其時間演化形式為：

其中為哈密頓算符(代表系統總能量)，

r

t

)為“波函數”，描述量子系統的狀態。對于不隨時間變化的“定態”問題，方程可簡化為本征值方程，此時

E

為系統的定態能量(即能級)。波動力學的關鍵突破在于：離散能級不再是“人為施加的量子條件”，而是求解方程時(結合原子邊界條件，如電子被束縛在原子核周圍)自然的數學結果。氫原子能譜、諧振子能級、分子束縛態乃至固體能帶結構，均可通過求解薛定諤方程統一得到。

Box 2

薛定諤方程的“推導”[9,18]

薛定諤得到微觀粒子的波動方程的物理圖像十分清晰：找到物質波的一個波動方程，它的波陣面的法線移動方程就是質點的牛頓方程或保守位勢

V

r)中質量為m的粒子的哈密頓—雅可比方程：

其中作用量

S

確定了波陣面 ，“波函數” 滿足非線性方程：

薛定諤當年的原始論文是對方程(2.2)左邊積分再變分，
。由此得到薛定諤方程。但這一闡述方式物理圖像并不清晰。其實，我們需要考慮短波近似。以一維情況為例，對計算：

考慮?很小、物質波波長很短，

從而把一維非線性方程線性化為定態薛定諤方程：

薛定諤構建波動力學時，巧妙運用了“力學—光學類比”：經典力學中的“最小作用量原理”(粒子沿作用量最小的路徑運動)，與光學中的“費馬原理”(光線沿光程最短的路徑傳播)具有數學同構性。既然幾何光學(對應粒子性)是波動光學(對應波動性)的短波近似，也應當有一套物質波的“波動力學”，其短波近似對應“粒子的力學”——經典力學(見Box 2)。1926年底，薛定諤通過數學推導證明：如此得到的波動力學與矩陣力學在物理本質上完全等價[19]——二者僅是描述量子系統的數學語言不同(波動力學用偏微分方程，矩陣力學用線性代數)(見Box 3)。同年，狄拉克提出“符號運算體系”(把經典變量抽象為非對易的

q

數)，建立了變換理論，進一步將兩種理論統一為一套完整的量子力學框架 [15] 。

Box 3

波動力學與矩陣力學等價的一般證明(不依賴玻恩詮釋)[19]

盡管與玻恩提出幾率解釋幾乎同時，但薛定諤卻沒有利用這個詮釋，證明了量子力學兩種表述是等價的。因此，玻爾基于后來的事實——利用幾率詮釋可以證明兩種形式等價，斷言這種證明意味著玻恩幾率詮釋，我們認為由此評價玻恩的工作是不合適的 [20] 。基于玻恩幾率詮釋，通過計算兩種表象中力學量的期望值相等來證明等價性，只是后來文獻中才出現的。

初始時刻

t

0 的態矢|

t

0 )>與

t

時刻的波函數，相差一個時間相關的幺正變換——演化算子。它使得|

t

)>滿足形式化的薛定諤方程，其形式化的哈密頓量是：

海森伯表象的力學量的形式定義為
，滿足海森伯方程：

其中
形式地包含未知的。

若要求海森伯方程給出的運動方程(3.2)形式上給出正則方程：

則必須是經典哈密頓量
的量子化：()，從而說明薛定諤方程和海森伯方程是等價的。以上關于薛定諤方程和海森伯方程等價的證明并沒有應用玻恩對波函數的幾率解釋。

薛定諤在提出波動力學的時候，并不清楚波動方程中出現的波函數

的含義是什么，1926年馬克斯·玻恩應用波動力學討論微觀粒子散射問題 [21] ，才明確了波函數

的物理含義：波函數的模平方|

| 2 代表“概率密度”——即在空間某點r處發現粒子的幾率，而非“電子在空間中被攤開的實在電荷云”(后者會導致電子電荷分散，與實驗觀測的粒子性矛盾)。玻恩“概率詮釋”具有革命性意義：量子力學的隨機性并非“測量技術不完善”的結果，而是理論內稟的屬性；測量會對量子態產生不可避免的影響——測量前系統處于多個本征態的疊加態，測量后會“隨機投影”(即“波包塌縮”)到某一個本征態，且這一過程不可逆。由此，“粒子同時具有確定位置與動量”的經典觀念在原理上不再成立，因為基于波函數的概率詮釋可以推導出“不確定性關系”：

?Δ

p

≥?/2

其中Δ

為位置不確定度，Δ

p

為動量不確定度——這一關系明確了微觀世界“確定性描述”是有限制的。

到1927年的索爾維會議為止，量子力學的基礎框架已經建立，其要素有三：(1)量子系統的狀態由波函數(或態矢)完全描述，其時間演化服從薛定諤方程；(2)基本力學量由算符或矩陣描述，它們滿足基本對易關系和海森伯方程；(3)可觀測量的測量取值只能是對應算符的本征值，取值概率由其在波函數中分量系數的模平方決定。原則上，這些量子力學公理可以解釋此前直至今天的所有實驗，不過到1956年形成的“哥本哈根詮釋”賦予量子力學備受爭議的二元論問題[22，23]，波函數的演化分為兩類：一是“幺正演化”(U過程)，遵循薛定諤方程，可逆且確定性；二是外部經典儀器引起“測量投影”或波包塌縮(R過程)，具有不可逆且概率性。為解決這一哲學困境，后續出現了多種量子力學詮釋，包括多世界詮釋(認為測量未導致塌縮，而是宇宙分裂為多個平行世界)、自洽歷史詮釋(通過“歷史集合”的自洽性定義可觀測量)、量子退相干詮釋(認為波包塌縮是系統與環境相互作用導致的“表觀現象”)，以及量子達爾文主義(強調環境對量子態的“選擇”作用)等。事實上，投影測量假設是為了保證緊接著的重復測量給出相同的結果，而量子退相干理論通過計算表明：系統與環境的相互作用會使波函數的“非對角項”(代表疊加態的干涉效應)快速消逝，量子概率逐漸轉化為經典概率，從而無需“波包塌縮假設”即可解釋重復測量結果的確定性。

總而言之，第一次量子化的理論框架，是以單個粒子的波函數為基本對象：我們寫下一個波函數，求它在外勢或相互作用勢中的能量本征值和時間演化，并據此解釋氫原子光譜、原子中電子層結構、核素衰變機制等。這一框架在20世紀初期取得了巨大成功。例如，矩陣力學和波動力學都給出了氫原子的能級結構，伽莫夫用量子隧穿解釋了原子核的

衰變，布洛赫對周期性勢場中電子行為的量子力學描述，為能帶理論的建立奠定了基礎，從而區分金屬、半導體和絕緣體。這些都是一次量子化從理論到實驗的勝利。

03

第二次量子化：多體系統與場的量子化

3.1　量子糾纏：量子化從“1”到“2”

量子力學描述多粒子時，會出現許多新奇的量子現象。當體系中由兩個粒子組成，在一般情況下這樣的復合系統狀態是不可分離的，其量子態不能寫成因子化形式
，這時我們稱量子態|

>是糾纏(entanglement)的。典型的量子糾纏態是自旋系統的Bell態：

其中|↑(←)>和|↓(→)>分別代表粒子自旋向上(左)和自旋向下(右)態。在這樣的量子糾纏態上，一旦知道自旋1處于向上的態|↑>上，就可以推斷自旋2處在|↓>態上，而不管這兩個粒子分開有多遠。然而，這并不意味著信號傳送可以超光速，正是因為必須首先約定測量的指向，向上還是向下，或向左還是向右，約定指向的操作不能超光速。

在判斷遠隔距離的兩個粒子的自旋狀態時，若因一個粒子自旋向上而推斷另一個粒子自旋向下，這種關聯與經典場景中“盒子里有黑球和白球，拿出一個黑球便知留下的是白球”的約定型關聯類似，并無新奇之處。而量子糾纏的獨特性在于，其關聯內涵遠超這種約定式關聯，貝爾不等式正是用以描述這“多出的部分”的關鍵工具。貝爾不等式是基于局域隱變量假設，用經典統計觀點計算三個事件的關聯。這些關聯會滿足特定的不等式，即貝爾不等式；但量子力學通過期望值平均描述的關聯卻會違背這一不等式。一旦不等式被違背，便表明系統存在量子糾纏，其屬性是真正量子的。這一思想后來被推廣到不同時刻的關聯，用于區分“量子(效應的)宏觀(累積)”與“宏觀(體系的)量子(效應)”，為理解宏觀量子相干效應提供了重要依據。

當體系不再是由一個、兩個粒子組成，而是包含數量高達阿伏加德羅數量級(1023量級)并彼此存在量子統計關聯的糾纏粒子時，單粒子波函數的描述幾乎無效。原因并不只是計算復雜度，而是邏輯層面的引入新的原理——全同性原理：在量子力學中，許多粒子(例如許多電子，或許多玻色原子)是“全同”的，完全沒有可區分的標簽。你無法說“這是第一號電子，那是第二號電子”，因為這種區分物理上是沒有的意義的。

3.2　多粒子系統的量子化——第二次量子化

多體系統第二次量子化的核心是拋棄對“每個粒子”的執念，轉而描述“每一個可占據的量子態中，有多少粒子在里面”。換句話說，基本對象不再是“粒子”，而是“量子態及其占據數”。對玻色子來說，占據數可以累積到極大甚至無窮；對費米子，由于泡利不相容原理，每個單量子態只能被占據0或1個電子，其結果會形成所謂的費米面。采用這種方式描述多粒子系統時，物理問題會立即簡化：不必再為波函數強行“對稱化”或“反對稱化”，因為玻色子和費米子的統計本性(對稱或反對稱)已經被內建在“將粒子放入態”這一過程的規則之中。我們可以用產生/湮滅算符自然描述粒子的加入、移除甚至成對出現或成對消失。由此構建了所謂的“福克(Fock)空間”，即所有可能占據方式的總體空間(見Box 4)。這種第二次量子化不是“再量子化一次”，而是把量子理論的基本語言從單體轉向集體，數學上表現為從多粒子階化空間到對稱化(反對稱化)空間(粒子數表象)的表象變換。

Box 4

玻色子系統的二次量子化[9,24]

玻色子系統的Fock態|

n

1 ,

n

2 , …>是對稱化的。玻色子整體的態空間是階化空間(graded space)——粒子數不固定時的巨希爾伯特空間其中 代表有

n

個粒子的希爾伯特空間。只有在

V

上才可以定義產生算子和湮滅算子

其中|

u

j

l

)>是第

l

個粒子的單粒子態，

p

N

+1,

l

是交換算子。在巨希爾伯特空間上的矢量|

u

>也可以當成一個算子，。于是有基本對易關系：和基本求和公式：

對于費米子體系也有類似的結論。

從基本求和公式(4.2)出發，可以直接得到單體和多體算符的二次量子化表示。例如，單體算符(singlebody operator)
可以表達為

上述第二次量子化表述變換到坐標表象，產生湮滅算子就是場算子，其基本對易關系是：

其相互作用多體哈密頓量：

對于沒有相互作用的情況(

W

=0)，利用場的基本對易關系，可以給出形式與薛定諤方程一樣的海森伯運動方程：

把二次量子化描述應用到無相互作用的多粒子系統的坐標表象，產生/湮滅算符動力學行為就像單粒子的波函數一樣，形象地說，波函數變成了量子化的場，這就是“二次量子化”名詞的由來。通過二次量子化，相互作用玻色子多粒子系統的準激發的表達形式與電磁場一次正則量子化的形式一樣。因此，當系統粒子數達到熱力學極限，量子理論不再區分粒子與場，二次量子化語言不僅在技術上自動給出多體系統態的對稱化，而且在觀念上實現了一次躍變：承認不在直覺里的自然出現的、新的有效自由度(模式狀態的占據數)。

3.3　狄拉克方程與場的量子化

到目前為止，我們仍主要在非相對論框架下講話，即默認粒子速度遠小于光速。然而，電子這樣的基本粒子有時會以接近光速的速度運動(例如在高能碰撞或強電磁場中)。為了同時滿足量子原理和狹義相對論，保羅·狄拉克在1928年寫下了后來被稱為“狄拉克方程”的電子運動方程[25]。這一步的意義巨大。首先，狄拉克方程正確描述了電子的自旋和氫原子能級的精細結構。這些現象此前雖然被實驗觀察到，但在早期量子理論中缺乏系統解釋。其次，狄拉克方程不僅解釋了自旋和自旋軌道耦合，而且預言了“反物質”的存在[26]：方程的解不僅包含正能量態，也包含負能量態，對應著反物質。這個解讀最終導致對正電子(即電子的反粒子)的預測與發現。換句話說，反物質并非幻想或附加設定，而是從方程的內部邏輯自然導出的。這一點標志著量子理論正在擺脫“依經驗拼裝”的被動階段，轉向自洽預言新物質、新效應的理論結構：大道至簡、從唯美的數學形式推導出真實存在的新的物理實體。

更具深遠意義的是，狄拉克關于“狄拉克方程”反物質的詮釋推動了“把粒子視為場的激發”這一思想：電子不再只是一個孤立的小球，而被理解為電子場的一種局域化激發。要處理這種場，物理學家發展了所謂“場的正則量子化”方法，也就是先把經典場本身當作一個可以被量子化的系統：場的每一個自由度都變成量子對象，不同空間點的場值就像無數相互耦合的量子坐標。這樣一來，“產生一個粒子”就意味著在這個場中激發出一個量子；“湮滅一個粒子”就意味著把這個量子從場的激發譜中移除。在這種框架下，粒子數不再是一個永恒不變的輸入，而是由相互作用來決定的產出。電子與正電子可以在強場中成對出現或成對湮滅，光子可以被發射、吸收。也就是說，量子論不再只描述“給定

N

個粒子，問它們怎么運動”，而是描述本來就存在著可以被激發的各種場，“粒子”是這些場在特定條件下呈現出來的局部量子激發。

20世紀30年代由狄拉克等人推動了關于電磁場量子化的量子電動力學(QED)的建立。在1940年代由費曼、施溫格和朝永振一郎等人提出重正化方案，減掉了微擾等方法帶來的無窮大發散[24，27]，最后加以完善，成為系統自洽的量子場論。它是人類迄今最精確的物理理論之一，對氫原子能級極細微的偏移(著名的“蘭姆移位”)給出了數值預測，而實驗測量幾乎與其完全一致。這種“理論先于實驗到達小數點后多位”的精度，是量子場論被譽為“物理學最成功理論”的原因之一。以后，量子場論一路高歌猛進、通過楊—米爾斯局域規范理論[28]，應用到電磁和強弱相互作用系統，成就了基本粒子的標準模型。

從量子力學思想發展的角度看，這里發生了兩層思想轉換。第一層是從“一次量子化”到“二次量子化”的轉寫。第二層轉寫是從“電子是基本小球”到“電子是一個場模式的激發”的轉寫。正則量子化的形式把這兩層思想轉換合并到了一起，就形成了今天的量子場論。這種對多體系統的量子化處理，也直接挑戰了“實在是什么”的樸素直覺。經典物理中的基本對象是粒子和力；一次量子化中的基本對象是力學量，形成了波函數描述；第二次量子化和量子場論中的基本對象則是場以及場的激發譜，通常由波函數的量子化來表達。因此，多體系統和場的量子化——二次量子化不只是改寫方程，而是在改寫我們認為哪一類存在物才算“基本存在”。這一點也正是量子場論在20世紀科學思想史上被視為巨大的認識飛躍的原因。

3.4　電磁場量子化、量子光學與激光[29]

光是物理學史上最重要的研究對象之一。它幾乎伴隨了所有重大觀念的誕生：從費馬最小時間原理到最小作用量思想，從麥克斯韋方程到狹義相對論，從普朗克的黑體輻射到愛因斯坦的光電效應，光始終是物理學理論革新的實驗測試臺。關于光場的研究，真正的突破發生在我們把電磁場本身量子化之后，每一個模式的激發就對應一個光子。這樣一來，就建成量子電動力學，使得光的波動性(場的空間分布、相干性、干涉圖樣)和光的粒子性(離散能量子、單光子計數)就不再是互相排斥的，而是同一量子場的兩個側面。

但是，早期的光量子論主要處理單個電子和單個光子的相互作用。到了20世紀中期，人們才開始研究“多光子”體系的統計性質。漢布里—布朗和特威斯在1950年代的實驗發現，光的強度起伏相關性呈現出特定的關聯結構。這是一個純粹的集體量子效應，不能用經典隨機波動來解釋。為此格勞伯(Glauber R J.)在1960年代提出了光學相干的量子理論[30，31]，把光的強度關聯、探測統計、相干態等都統一在量子場框架中，奠定了現代量子光學的基礎。

量子光學認為所謂“真空”本身并非一無所有，而是某種量子場的基態，但仍有漲落。即使在名義上的“真空腔”中，原子也能與這些真空漲落的電磁場相互作用，產生諸如自發輻射抑制和增強、真空拉比振蕩等效應。這些現象告訴我們，“場”并不是抽象數學，而是可以被實驗室直接建構、操控、測量、甚至實用化的實體。這一事實也推動了后來的腔量子電動力學、超導量子比特、量子計算硬件等方向的發展。

作為最重要的應用，激光的出現把光場的研究推到了當代科學技術的最前沿。愛因斯坦早在1917年就區分了自發輻射、受激輻射和受激吸收三種輻射過程，并指出只要能在原子或分子中建立“布居反轉”(高能級上反而堆著更多粒子)，就可能出現受激輻射的連鎖放大，也就是光放大器的原理。二戰后出現的微波激射器和1960年代發明的可見光激光器將這一設想徹底變成現實：產生了強相干、窄線寬、方向性極高的光束。這種光束并非普通熱輻射，而是量子統計高度受控的場態。因此，描述激光，必須用“電磁場是量子場”這套語言，而不能只用經典電磁波或半經典輻射模。其實，量子場的研究起因就是對光本體論(波還是粒子？)的根本追問，但最后演化成對真空漲落、單光子態、相干態、壓縮態等高度工程化的量子態控制。

3.5　平均場與能帶、拓撲量子力學(任意子)和量子霍爾效應

量子多體物理并沒有在“我們可以處理很多粒子”這一步停下。相反，它繼續推進到兩個方向：一是用“平均場”思想理解復雜凝聚態體系的平衡性質和低能行為；二是發現全新的量子態類別，這些態具有拓撲性質，無法用傳統的局域序參量來描述。這方面典型代表就是量子霍爾效應以及與之相關的任意子統計。所謂“平均場”，是試圖把極其復雜的多體相互作用，替換為一個自洽的有效勢場。具體而言，我們不再精確地跟蹤每一個電子如何與所有其他電子互相影響(那會是天文級別的方程組)，而是假設“其余所有電子的行為造成的平均影響”可以用一個有效的場中單粒子來表示。然后，我們只需自洽地求解單個電子在這個有效勢中的行為，并要求這個有效勢和所有電子的分布在邏輯上是自洽的。

這種想法從原子、分子和原子核到固體電子氣都被廣泛使用，包括密度泛函理論、哈特里—福克方法等現代多體近似方法：它承認個體間的強關聯，但通過一個“整體自洽環境”把問題重新表達為“單體在集體背景中運動”。這是二次量子化語言天然支持的做法。能帶理論就是平均場思想在固體中的一個重要應用。電子在具有周期性晶格的固體中運動時，在有效的周期平均場中形成一系列允許能量帶和禁帶。這導致了金屬、半導體與絕緣體的區分，決定了材料的電學、熱學和光學等性質。能帶理論讓我們明白：導電并不是“有無電子”這么簡單，而是要看費米能級(也就是電子填充到何處)與能帶結構的相對位置。這個觀念直接支撐了整個半導體工業、晶體管技術和現代電子設備。

然而，從20世紀末開始，人們逐漸意識到，固體的量子態并不僅僅由能帶“是否填滿”來決定，還可能攜帶某種“拓撲量”——也就是一種不會因局部形變而消失的全局量子特征。這種拓撲特征最經典的體現就是整數和分數量子霍爾效應。實驗上，如果把一個高遷移率的二維電子氣放在極低溫和強磁場中，測量橫向電導(霍爾電導)，會發現它并不是平滑變化的，而是呈現非常精確的分段常值臺階。這些臺階的高度是普適常數的整倍數或分數倍，幾乎與樣品的微觀雜質無關。這意味著電子體系進入了一種由拓撲不變量刻畫的量子態，而不是由傳統的“自發對稱性破缺”(金茲伯格—朗道方案)刻畫的量子態。

圖2　任意子的分數統計：二維不可入點造成的拓撲，使得二維電子附加上有效磁通，形成帶電的“天線寶寶”互相繞行，相對運動相當于電子繞過螺旋管磁通，發生AB效應，即交換位置可獲得分數相位，出現分數統計

量子霍爾效應還帶來了另一個令人震驚的結論：在這些拓撲有序的量子態中，激發出來的準粒子可以表現出“任意子”統計[32—34]，而不再只是玻色子或費米子。尤其在分數量子霍爾態中，交換兩個準粒子，系統的量子態會獲得一個既非0°也非180°的相位——換句話說，二維世界里的準粒子就像一個“天線寶寶”：一個帶著磁通的“電子”(圖2)，由于Aharonov—Bohm(AB)效應，可以“記住”它們如何繞行彼此。這類準粒子被稱為“任意子”。在某些更為復雜的量子霍爾態甚至可能出現“非阿貝爾任意子”：交換兩次的結果不等于原樣返回，而是對系統整體態進行更深層次的重排。這樣的激發為拓撲量子計算提供了可能路徑，因為它們把量子信息“存儲”在拓撲關聯之中，而非存儲在局域自由度上，從而對局部擾動高度穩定。

中國學者對拓撲量子態的研究有重要的貢獻。2008年，清華大學高等研究院、中國科學院物理研究所的理論學家與張首晟合作提出磁性摻雜的HgTe作為實現量子反常霍爾效應(拓撲量子態的典型效應)的候選平臺[35]。然而，由于這種方案中磁性元素未能形成自發磁序，外加磁場的輔助仍然是必須的。2010年，中國科學院的理論學家方忠、戴希等提出，在Bi2Te3家族拓撲絕緣體薄膜中摻入磁性元素可以形成鐵磁基態，從而能夠通過鐵磁交換場實現量子反常霍爾效應[36]。這些工作將量子反常霍爾效應與真實材料體系——磁性拓撲絕緣體聯系起來，為其實驗實現帶來曙光。在此基礎上，清華大學薛其坤、王亞愚等經過多年的努力，逐步實現了對磁性拓撲絕緣體的薄膜生長、電子結構、能帶拓撲以及鐵磁序的精密調控；最終，他們于2013年在國際上首次通過磁性摻雜的(Bi,Sb)2Te3觀測到量子反常霍爾效應[37]，這一成就得到了學術界的高度評價，楊振寧先生稱贊其為“諾貝爾獎級的工作”，彰顯了其重要的科學意義。

04

三次量子化：序參量的涌現及其量子化

4.1　超導、超流、玻色—愛因斯坦凝聚與序參量

當大量的量子粒子(尤其是玻色子，或能成對行為的準費米子)被冷卻到極低溫度時，它們可能進入一種“宏觀量子態”。所謂“宏觀量子態”是指：原本應該只在原子或單電子尺度上出現的量子相干性，突然以肉眼可見的尺度呈現出來，甚至影響到電阻、黏滯系數、熱傳導等宏觀物性。玻色—愛因斯坦凝聚是最直接的例子。常溫時候，原子熱運動速度快，物質波波長(

D )較短不能和原子間距(

a

)相比，不能形成整體；當溫度降到足夠低時(

T

T

c )，原子熱運動變慢，物質波波長變長可與原子間距相比，形成相干的整體——“宏觀原子”或玻色—愛因斯坦凝聚(圖3)。此時，玻色子不再各自分散在許多不同的量子態里，而是“心有靈犀地”共同掉入同一個最低能量態。他們不再彼此獨立，而像一整團以同一相位、同一波函數振蕩的“單一超粒子”(見Box 5)。此時，單個粒子的身份在物理上失效，系統只能被理解為一個統一的量子流體。冷原子氣體中的凝聚態、原子“激光”以及超冷原子干涉實驗，都是這種現象的現代實現。它們具體地展示了：量子相干并非只能存在于“顯微鏡”下的孤立波包，而是可以在毫米乃至更大尺度上保持空間相干。

圖3　宏觀量子態——玻色—愛因斯坦凝聚(BEC)的形成

Box 5

玻色—愛因斯坦凝聚和超導的序參量[9]

二次量子化展現了中性玻色子氣體可以發生的玻色—愛因斯坦凝聚(BEC)現象：在極端條件下，大量粒子組成的宏觀系統會呈現出量子相干現象——宏觀量子效應。相互作用玻色子的變分基態通常是因子化的：

其中每一項都是相干態。粒子的振幅形式

和位相

都相同，使得體系的能量極小化。這里

r)滿足Gross—Pitaevskii(GP)方程：

其解給出非零序參量|

r)|，意味著BEC凝聚發生。而對于不同的

值，對應的基態|BEC(

)>是簡并的。給定一個凝聚體，也就給定了一個

，體系不再具有

U

(1)對稱性，因而發生了對稱性自發破缺(圖4) [28] 。

圖4 玻色—愛因斯坦凝聚(BEC)和超導(BCS)態的對稱性自發破缺

同樣超導體也會發生對稱性自發破缺，涌現宏觀序參量。對于給定一塊超導體，其基態存在一個整體相位

，即每一個庫珀對的相位都是一樣的。這樣的變分基態是一個因子化的費米子相干態：

其中作用在真空上產生一個庫珀對，不同的

值對應的超導基態|BCS(

)>是簡并的，因為超導體的哈密頓量明顯具有

U

(1)對稱性。一旦指定了一個

，體系不再具有

U

(1)對稱性，

U

(1)對稱性自發破缺就發生了。

從物理上講，描述對稱性自發破缺形成的玻色—愛因斯坦凝聚(BEC)是因子化的宏觀相干態：

對于超導而言，巴丁—庫珀—施里弗(BCS)態|BCS(

)>也存在這種因子化 的“直積態”結構。從物理圖像上，大體是兩個電子形成庫珀對，相當于一個“玻色子”，大量庫珀對通過類似BEC的“凝聚”過程形成超導，每個庫珀對具有統一的位相

類似的思想也出現在超流現象中。例如，超流氦或超冷玻色氣體的無黏性流動。在這種狀態下，流體可以繞器壁流動而幾乎不耗散能量，不表現出經典流體的黏滯摩擦。它甚至可以在容器中持續流動而不衰減。這類行為之所以可能，是因為整個流體在量子力學意義上處于同一個態。黏滯在經典描述中意味著微觀顆粒亂撞、非彈性碰撞、能量耗散，而在這種宏觀相干狀態中，“亂撞”這一經典圖像被壓制甚至被禁止。

超導現象則是“超流”的電子體系版本。普通金屬里的電子是費米子，按常規不能全部掉進同一個態里。然而，在某些材料的低溫條件下，電子會由于相互作用(例如通過晶格振動導致的間接吸引)而形成所謂的“庫珀對”。每一對電子結合后，可以像玻色子那樣行動，而這些電子對可以進一步形成類似凝聚的相干態(見Box 5)。結果就是：在材料中流動的并不再是“各自獨立的電子”，而是一種統一的量子相干流。這就是為什么超導體在低溫下能顯示零電阻，也能排斥外磁場(邁斯納效應)。這種狀態本質上是宏觀量子相位的凍結和鎖定。

二次量子化圖像在這里發揮著決定性的作用。它允許我們把“電子對”本身當作一種新的、可以被統計算符操控的有效自由度，而不是勉強把體系當成無數彼此獨立的單電子問題來處理。也就是說，超導并不是“很多電子各自跑得很順暢”，而是“某種新的集體實體”(電子對的相干態)在體系中無阻流動。這在一次量子化語言下幾乎無法自然表達。當我們說“基本對象是什么”的時候，這個答案依賴于物理環境和能量尺度：在高溫、低密度的情況下，單個電子當然是“基本對象”；但在極低溫、強關聯的固體中，電子成對后才是“基本對象”。也因此，所謂“還原論式”的回答(所有現象都只是電子在動)在這里并不充分，因為真正與實驗對應的對象，已不是孤立電子，而是它們的集體有序結構。

4.2　序參量的量子化——三次量子化

“第三次量子化”就是對宏觀序參量進行量子化，形成所謂的宏觀量子力學：序參量具有量子力學的不確定性，可用表述為類似位置與動量的正則共軛變量的不可對易性。從二次量子化的微觀角度可以證明，它們在熱力學極限下的確滿足相應的量子對易關系(見Box 6)。“第三次量子化”不同于從經典粒子位置與動量描述到波函數的第一次量子化，也不同于從多粒子體系到場算符的第二次量子化，而是讓“涌現出的宏觀秩序”本身也服從量子力學。序參量的波動、隧穿和相干疊加等行為，可以視為宏觀系統的新自由度具有量子化的基本特征。因此，第三次量子化首先觸及的是量子力學有效性的極限問題。傳統觀點認為，量子力學支配的是微觀世界，宏觀對象則服從經典統計規律。

Box 6

從二次量子化到三次量子化[9]

下面證明，在熱力學極限下，BEC(BCS)態相位

可以被量子化，其與粒子數算符 滿足的對易關系為

根據上面的討論，變分確定BEC系統的基態具有整體的相位

。在粒子數中：

其中|

>是相干態，

a

>。

BEC基態可展開為含不同粒子態的線性組合：

其中含有

m

個玻色子的態為

M

→∞，則可以證明

考慮三次量子化，即相位和粒子數為算符，
。設為總粒子數為

m

的Fock態，即：

根據|{

m

i}>和|

>的定義，容易計算：

因此有
，它自然給出基本對易關系。

然而，超導、超流和玻色—愛因斯坦凝聚等卻成為人們早已觀察到的宏觀量子態(通常叫做宏觀量子現象)，但它們還沒有在宏觀尺度上產生集體的量子力學相干效應。正如萊格特(Leggett)所強調，這些所謂“宏觀量子態”仍只是大量相干微觀粒子的直積態，其核心特征仍然是單粒子波函數的簡單擴展，而非真正意義上的宏觀相干疊加[38，39]。換言之，超導體中庫珀對的凝聚、BEC中原子的相干態，都還只是每一個原子“單一參量”取定同一相位后的確定態；要檢驗量子力學能否上升至宏觀層面，必須觀測到不同宏觀序參量對應的宏觀量子態之間的量子疊加與相干隧穿，即所謂的“薛定諤貓態”——一個宏觀體系同時處于相互排斥的兩個宏觀量子態之中。萊格特和他的合作者提出了類似于Bell不等式[40]的萊格特—加格不等式[41]，能夠通過任意三個不同時間點宏觀物理量演化的兩兩關聯確定貓態是否形成。

4.3　約瑟夫森效應及其宏觀序參量

以約瑟夫森結為例(圖5)，結兩側超導體的相位差

在傳統意義上是確定的經典變量，當系統溫度足夠低，能量耗散受控時，

不再固定，而是在兩個能量極小點之間形成隧穿疊加——這便是宏觀量子隧道效應的起點。超導約瑟夫森結的量子態是兩側超導體的BCS態的直積態：

兩側的位相差

L

-?

R

是確定的。這個因子化結構的態|JE(

)>表明體系整體并未形成跨系統的量子糾纏，僅體現獨立區域內的宏觀量子特性。在這個宏觀量子態上計算電流

J，我們可得到約瑟夫森方程：

其中

V

為偏置電壓。

圖5　超導約瑟夫森(Josephson)結的量子態是BCS態直積：|JE(

)>=|BCS(

L

)>?|BCS(

R

)>，相對相位

L -

R

而一個真實的約瑟夫森結有電阻

R

和電容

C

。電流偏置為

時，序參量位相差

滿足方程：

以上忽略了外部環境的噪聲與漲落，但有電阻電容引起的耗散

RC

，并且

C =?

C

/(2

e

)。

上述方程等效于在勢

中的阻尼運動。這是一個相對于

的“搓衣板勢”。當

被量子化且隨時間改變，整個約瑟夫森結就從一個宏觀量子態|JE(

)>變為另一個|JE(-

)>。中間必定增加它們的相干疊加——貓態～|JE(

)>+|JE(-

)>(圖6)。

圖6　超導約瑟夫森效應：是量子宏觀(累計)(a)還是宏觀量子(效應)(b)——薛定諤貓態(c)？

約翰·克拉克(John Clarke)、米歇爾·德沃雷特(Michel H. Devoret)與約翰·馬蒂尼斯(John M. Martinis)三人的實驗工作[42，43]，正是這一思想的首次確定性驗證。他們在偏置電流接近臨界值的超導約瑟夫森結中，觀測到了序參量相位差的能級量子化與宏觀量子隧穿。這意味著，一個宏觀電路變量(相位差或磁通量)確實表現出量子態的分立結構，其能級間距可通過微波共振方式激發，從而直接顯示出“宏觀變量的量子化”。宏觀量子隧穿的觀測是“三次量子化”的實驗基石。按照經典圖像，約瑟夫森結中的相位差可視為在“搓衣板勢”

U

)中滾動的粒子。當系統處于局域勢阱的最低點時，其狀態穩定在某一相位；若勢阱足夠深，粒子無法跨越勢壘。然而在量子描述中，這個“粒子”(即序參量

)能以有限概率穿越勢壘，從一個勢阱躍遷至另一勢阱，其對應的宏觀態便從左態轉變為右態。若系統能量低于勢壘高度，這一過程只能通過量子隧穿實現。實驗中，通過精密控制電流偏置與溫度，人們觀察到了逃逸率在低溫下的飽和現象，即熱激發機制無法解釋的“量子逃逸”。這正是宏觀隧穿的直接證據 [42] 。更為重要的是，通過在微波共振下激發不同能級的隧穿，人們首次確認了這些宏觀能級的量子化結構 [43] 。同年，盧肯斯團隊利用射頻超導量子干涉裝置(rf SQUID)首次觀測到“磁通量”這一宏觀物理量的量子隧穿效應 [44] 。由此，“宏觀量子疊加”的存在不再是物理假設，而成為實驗事實。

從上面的討論看到，第三次量子化——“序參量量子化”深深根植于量子場論與統計物理的統一框架之中。序參量在微觀上源于多體關聯，而在宏觀上表現為可觀測的相位或磁通。當這種平均場被再度量子化時，系統內部的量子關聯便重新進入了宏觀舞臺。這種自下而上的層級結構——從微觀粒子到集體序參量，再到宏觀序參量的再量子化——體現了量子理論的“自生性”：量子化不再只是對外在對象的數學操作，而是物理世界結構自身在不同層次上不斷重復涌現的規律。在這一意義上，“三次量子化”的科學意義可視為量子力學的自我擴張：它不僅關乎量子理論在新系統中的適用性，更關乎量子論的本體論邊界。傳統的量子—經典劃分，在這里被重新定義。序參量作為一種“介觀”變量，既具有宏觀的可測性，又具備微觀的相干性。它既不是經典場，也不是微觀波函數，而是一種跨尺度的量子存在。宏觀電路的相位波動，BEC凝聚體的相位差，甚至冷原子晶格中的自俘獲模式，都可在這一框架下得到統一。可以說，第三次量子化為量子力學的誕生百年提供了一個新的形而上轉折：量子化的對象不再是物質，而是“序”本身。

4.4　第三次量子化催生超導量子計算

第二次量子化導致的“序”可以理解為物理系統中通過集體相干性涌現出的低能自由度。序參量進一步量子化(第三次量子化)不僅意味著多體系統秩序的量子性，而且這種量子秩序的波動，直接孕育了新一代信息處理方式——超導量子計算。超導量子計算可以被視為“三次量子化”在應用領域的自然延伸。它以超導回路中相位或磁通量的量子疊加作為邏輯比特(qubit)，通過對這些宏觀序參量的量子操控實現信息的存儲與運算。

與傳統電子計算機不同，超導量子比特的“0”和“1”可以并非二值邏輯的排他狀態，而是宏觀量子疊加的兩個分量。操作這些比特的過程，本質上就是對宏觀量子態的相干控制。正如德沃雷特在早期實驗中所指出的，約瑟夫森結的相位差可以被看作量子“坐標”，而其共軛變量——結上的電荷——則構成“動量”。二者的量子對易關系為構建量子門操作提供了理論基礎。隨著相位量子比特、磁通量子比特、電荷量子比特等不同體系的出現，超導量子計算成為研究“宏觀量子疊加”應用的最佳舞臺。每個超導量子比特，都對應序參量的雙阱結構，其基態與激發態分別代表“左阱”與“右阱”的宏觀態疊加。借助微波脈沖乃至電壓、電流調控隧穿速率與相干時間，人們實現了對宏觀量子態的精確操控。隨著多比特系統的集成與糾纏操作的突破，宏觀量子疊加的規模不斷擴大，最終形成可編程量子處理器。這一過程從根本上印證，“三次量子化”催生的宏觀秩序本身，可成為量子信息的載體和處理單元。

圖7　超導量子比特的進化：從相位量子比特(a)、磁通量子比特(b)、電荷量子比特(c)到電容并聯磁通量子比特(d)[46]和Transmon變形(e)[47，48]

然而，要使這些宏觀量子比特真正可用于計算，最關鍵的挑戰在于相干性的維持。宏觀量子態極易受到環境噪聲的擾動，其退相干時間通常極短。如何延長退相干時間，成為連接基礎物理與應用技術的核心問題。在21世紀初開始的研究首次實現了相位量子比特的微秒級相干時間[45]，證明宏觀量子態可在可控時間內保持穩定，從而使“三次量子化”的物理圖像得以在實驗上長期維持。進一步可以通過設計電容并聯磁通量子比特[46]或電荷量子比特，抑制電荷漲落，這催生了“Transmon”方案[47，48]，使超導比特的相干時間提升至毫秒量級。這一設計思想內核，正是“三次量子化”的層級進化：通過人為調節系統的量子漲落結構，使宏觀變量重新展現量子性、重新服從量子規則(圖7)。

05

結束語：21世紀物理學未來發展的量子旋律

在量子力學誕生百年之際，回望這一科學史上最深刻的理論，不難發現其發展邏輯呈現清晰的層級遞進：三次量子化構成螺旋上升發展投影閉環，拓展了量子觀念的適用邊界，實現了對物理世界層級涌現結構的重新認知。第一次量子化聚焦單粒子正則量子化及其導致的波動規律，揭示微觀世界狀態的離散性；第二次轉向相互作用多粒子系統和場，奠定量子場論的基礎；第三次則以第二次量子化涌現的序參量為量子化對象，突破宏觀與微觀的人為界限，探索“宏觀量能否成為量子化對象”的根本命題，把發端于單粒子量子化的思想提升至對涌現集體變量的正則量子描述(圖8)。

圖8　量子力學百年發展歷程的主旋律：從微觀到宏觀的三次量子化

這一由萊格特于20世紀80年代初發端的“第三次量子化”思想，在超導約瑟夫森結體系得到實驗驗證，成為超導量子計算蓬勃發展的物理基礎與方法論起點，以2025年諾貝爾物理學獎的表彰為標志，完成了從思想假說向量子物理工程實踐的跨越。這些研究探索表明，量子理論具有跨層次的普適性，其有效性邊界不在于空間尺度，而在于各個層次涌現的集體屬性是否有量子特征可以被觀察到。對宏觀系統，只要能抑制環境噪聲、維持足夠長的相干時間，宏觀系統便呈現量子疊加與糾纏。近二十年對超導量子電路、玻色—愛因斯坦凝聚和機械諧振器等宏觀體系的實驗探索，以及超導量子計算的實用化實踐，均印證了這一點，讓量子相干疊加特性從微觀世界延伸至人類可調控的宏觀世界并在工程技術發展中得到實際應用。

量子力學經歷三次量子化的演進，每一步都具有顯著的革命性，它們使得量子力學從單純的微觀描述工具，升華為螺旋上升的涌現性理論的認知范式：在物質世界特定層次中通過相互作用涌現出來的序可被量子化，進而產生宏觀量子現象；若此類宏觀量子體系間再發生相互作用，將形成更大尺度的序并可進一步量子化。這個循環往復、螺旋上升的過程既展現了理解自然界的內在統一性，也構筑了物質科學研究的無盡前沿。這一進程破解了量子力學詮釋的困境——量子與經典的界限并非人為劃定的空間邊界，哥本哈根詮釋的核心假設——波函數坍縮可以被較深層次上退相干機制取代；量子力學在宏觀世界中并未失效，只是被基本層次上環境噪聲所掩蓋，實驗手段已能重新揭示宏觀世界的量子本性。因此，量子力學中的三次量子化并非其理論形式的簡單擴展，而是又一場深刻的認知革命。作為量子理論自我進化的三重回響，這一進程正標志著人類即將從“量子(效應)宏觀(累計)”的傳統認知，邁入“宏觀(系統)量子(效應)”的新時代。因此，量子力學的百年歷程，不僅是值得回望的科學慶典，更是量子力學面向物質世界不同層次長足發展的新生期待。

致 謝 感謝中國工程物理研究院研究生院喬國健、岳鑫以及易淼淼在本文撰寫過程中提供的幫助。

參考文獻

[1] 楊振寧. International Conference on Theoretical Physics：TH- 2002，Paris，July 22-27，2002. Birkh?user 出版社，2003

[2] 楊振寧 . 20 世紀理論物理的三個主旋律：量子化、對稱性和相位因子.見：曙光集，生活?讀書?新知三聯書店，2008

[3] 孫昌璞. 物理學報，2022，71(1)：010101

[4] 斯蒂芬·溫伯格 著，李泳 譯 . 終極理論之夢 . 長沙：湖南科學技術出版社，2018

[5] 斯蒂芬·溫伯格 著，黃艷華，江向東 譯 . 仰望蒼穹：科學反擊文化敵手. 上海：上海科技教育出版社，2004

[6] Weisskopf V F. Phys. Today，1967，20：23

[7] Anderson P W. Science，1977，177：393

[8] 曹則賢 . 物理，2024，53(12)：828; 2024，53(11)：761; 2024，53(10)：701; 2024，53(9)：626；2024，53(8)：551; 2024，53(4)：259

[9] 孫昌璞. 量子力學現代教程. 北京：北京大學出版社，2024

[10] 彭桓武. 物理，2001，30(05)：267

[11] Heisenberg W. Z. Physik，1925，33：879

[12] Born W，Jordan P. Z. Physik，1925，34：858

[13] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc. A，1925，109：642

[14] Born M. Heisenberg W，Jordan P. Z. Physik，1926，35：557

[15] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc，A，1927，113：621

[16] von Neumann J. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen，Math.-Phys. Kl. 1927：1

[17] Pauli W. Z. Physik，1926，36：336

[18] Schr?dinger E. Ann. Physik，1926，79：361，489，734; 80：437; 81：109

[19] Schr?dinger E. Ann. D. Physik，1926，387：734

[20] 孫昌璞. 科學文化評論，2013，10(1)：9

[21] Born M. Z. Physik，37，863; 1926b，38，803

[22] 孫昌璞 . 物理 ，2017，46(8)：481 2000，29(08)：457; 2001，30(05)：310

[23] 崔廉相，許康，張芃 等. 物理，2023，52(1)：1

[24] Weinberg S. The Quantum Theory of Fields，Volume II：Modern Applications. Cambridge University Press，2005

[25] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc. A，1928，118：610

[26] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc. A，1931，133：60

[27] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc. A，1927，114：243

[28] 孫昌璞，葛墨林. 經典楊—米爾斯場理論. 北京：高等教育出版社，2022

[29] 于敏. 量子光學講義. 北京：北京大學出版社，2025

[30] Glauber R J. Phys. Rev.，1963，130：2529

[31] Glauber R J. Phys. Rev.，1963，131：2766

[32] Leinaas J M，Myrheim J. Nucl. Phys. B，1977，37：1

[33] Wilczek F. Phys. Rev. Lett.，1982，48：1144

[34] Wu Y S. Phys. Rev. Lett.，1984，53：111

[35] Liu C X，Qi X L，Dai X et al. Phys. Rev. Lett.，2008，101：146802

[36] Yu R，Zhang W，Zhang H J et al. Science，2010，329：61

[37] Chang C Z，Zhang J，Feng X et al. Science，2013，340：167

[38] Leggett A J. Progr. Theor. Phys. (Suppl.)，1980，69：80

[39] Caldeira A O，Leggett A J. Phys. Rev. Lett.，1981，46：211

[40] Bell J S. Physics Physique Fizika，1964，1：195

[41] Leggett A J，Garg A. Phys. Rev. Lett.，1985，54：857

[42] Devoret M H，Martinis J M，Clarke J. Phys. Rev. Lett.，1985，55：1908

[43] Martinis J M，Devoret M H，Clarke J. Phys. Rev. Lett.，1985，55：1543

[44] Schwartz D B，Sen B，Archie C N et al. Phys. Rev. Lett.，1985，55：1547

[45] Yu Y，Han S，Chu X et al. Science，2002，296：889

[46] You J Q，Hu X，Ashhab S et al. Phys. Rev. B，2007，75：140515(R)

[47] Koch J，Yu T M，Gambetta J et al. Phys. Rev. A，2007，76：042319

[48] Barends R，Kelly J，Megrant A et al. Phys. Rev. Lett.，2013，111(8)：080502

（參考文獻可上下滑動查看）

歡迎訂閱2026年《物理》雜志

期刊介紹

01

《物理》是由中國科學院物理研究所和中國物理學會主辦的權威物理類中文科普期刊，注重學科性與科普性相結合，秉承“輕松閱讀，享受物理”的辦刊理念，集學科大家之力，追蹤物理學成果，服務物理學領域，促進學科交叉，讓科學變得通俗易懂。已成為我國眾多物理專業的大學生、研究生、物理學家案頭常讀的刊物之一。

作者：眾多活躍在科研、教學一線的院士、專家。

讀者：物理學及其相關學科(如化學、材料學、生命科學、信息技術、醫學等)的研究人員、教師、技術開發人員、科研管理人員、研究生和大學生，以及關注物理學發展的讀者。