優(yōu)雅的設(shè)計(jì)：數(shù)學(xué)與特德姜的科幻小說(shuō)

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

科幻作家特德姜（Ted Chiang）巧妙地將高層次的數(shù)學(xué)概念編織到他的科幻小說(shuō)敘事的結(jié)構(gòu)中：例如實(shí)數(shù)軸的壓縮、集合的線性排序、公鑰加密和費(fèi)馬最小時(shí)間原理等概念在他的故事中發(fā)揮著深刻的作用——不過(guò)并不總是明確的。他獨(dú)特而引人入勝的敘事具有廣泛的情感吸引力：改編自他的小說(shuō)《你一生的故事》的電影《降臨》（2016）在首映周末票房排名第三。除此之外，特德姜的故事還具有啟發(fā)性：他的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在不經(jīng)意間學(xué)習(xí)到了數(shù)學(xué)知識(shí)，以及語(yǔ)言學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和巴比倫宇宙學(xué)。本章將討論特德姜如何利用數(shù)學(xué)來(lái)闡明非數(shù)學(xué)概念；如何利用非數(shù)學(xué)概念來(lái)傳達(dá)數(shù)學(xué)思想；以及如何將兩者聯(lián)系起來(lái)，為科幻讀者（尤其是那些有一定數(shù)學(xué)背景或傾向的讀者）提供文學(xué)上的"啊哈時(shí)刻"。

導(dǎo)言

在二十一世紀(jì)之交，數(shù)學(xué)在大眾文化中變得越來(lái)越引人注目。人們不再認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門深?yuàn)W的學(xué)科，是白胡子哲學(xué)家、奇人和瘋子的專利，現(xiàn)在，電視劇和電影讓觀眾知道了一個(gè)秘密：他們也可以掌握數(shù)學(xué)的秘密。2005-2010 年電視節(jié)目《NUMB3RS》的標(biāo)語(yǔ)是："我們每天都在使用數(shù)學(xué)；預(yù)測(cè)天氣、計(jì)算時(shí)間、處理金錢。數(shù)學(xué)是......用你的頭腦來(lái)解決我們所知的最大謎團(tuán)"——這表明，數(shù)學(xué)實(shí)踐既具有深遠(yuǎn)的意義，又是大眾的事情。《心靈捕手》（1997 年）、《證據(jù)》（2005 年）、《模仿游戲》（2014 年）和《隱藏人物》（2016 年）等電影中的數(shù)學(xué)家都是藍(lán)領(lǐng)、女性、同性戀和黑人。

然而，盡管這些對(duì)數(shù)學(xué)家的不同描述令人耳目一新，但在流行媒體中，數(shù)學(xué)本身往往或多或少地被用作道具（在白板上看起來(lái)很酷的東西）或情節(jié)設(shè)置——它能破案、讓外星人與人交流，或在賭場(chǎng)上為大學(xué)生贏錢。不過(guò)，有些作品，如特德姜的科幻小說(shuō)，則深受數(shù)學(xué)的影響。在小說(shuō)《除以零》的注釋中，特德姜寫道："我們?cè)谛≌f(shuō)中最欣賞的東西之一，就是出人意料卻又不可避免的結(jié)局。這也是優(yōu)雅設(shè)計(jì)的特點(diǎn)：巧妙的發(fā)明卻又顯得完全自然"。也許這種優(yōu)雅最常見(jiàn)的表現(xiàn)形式就是情節(jié)的轉(zhuǎn)折，比如雪莉·杰克遜的《彩票》（1948 年）的結(jié)尾。但它還有另一種更微妙的表現(xiàn)形式，即在作品的暗線中出現(xiàn)第二種敘述，或者更準(zhǔn)確地說(shuō)，是對(duì)所說(shuō)內(nèi)容的第二種解釋，即潛臺(tái)詞。在這種情況下，兩種敘事互為支撐，當(dāng)?shù)诙N敘事最終浮出水面時(shí)，細(xì)心的讀者、觀眾或聽(tīng)眾就能加深理解，甚至頓悟。這種優(yōu)雅不僅體現(xiàn)在詩(shī)歌中，因?yàn)樵?shī)歌中的隱喻和類比經(jīng)常占據(jù)中心位置，而且也體現(xiàn)在電影和散文中；尤其是在特德姜的作品中，我們可以發(fā)現(xiàn)這種優(yōu)雅——帶有數(shù)學(xué)的傾向。在他的《你一生的故事》中，特德姜用數(shù)學(xué)來(lái)闡明非數(shù)學(xué)概念；用非數(shù)學(xué)概念來(lái)傳達(dá)數(shù)學(xué)思想；用兩者之間的聯(lián)系來(lái)為他的讀者——尤其是那些有一定數(shù)學(xué)背景或傾向的讀者——提供文學(xué)上的 "啊哈時(shí)刻"。在本章中，我們將探討這一點(diǎn)如何在這本小說(shuō)集的四個(gè)故事中得到體現(xiàn)。

方向

特德姜的小說(shuō)集以《巴比倫塔》(Tower of Babylon)開(kāi)篇，這是一部類似圣經(jīng)的旅行敘事小說(shuō)，主人公赫拉魯穆不是在地球上旅行，而是向上旅行。赫拉魯穆是一名礦工，他被召喚爬上仍在建造中的巴比倫塔巴別塔塔頂，任務(wù)是“'挖通天穹'"。故事中充斥著測(cè)量數(shù)據(jù)："如果把塔放倒在希拉平原上，從這端到那端，將要走上整整兩天時(shí)間。當(dāng)塔矗立著朝向天空時(shí)，從地面爬上頂端,將花去一個(gè)半月時(shí)間"；"當(dāng)一塊磚從塔頂?shù)粝聛?lái)時(shí)，塔頂上砌磚的人們慟哭不已，還使勁抓扯自己的頭發(fā)，因?yàn)橐^(guò)四個(gè)月才能補(bǔ)充它。"；建塔的工作人員每四天爬一次塔；“塔的底座有兩個(gè)平臺(tái)。第一個(gè)平臺(tái)是巨大的正方形，大約二百腕尺長(zhǎng),四十腕尺高。”特德姜較少關(guān)注塔的建造目的，而更多關(guān)注其建造所需的工程細(xì)節(jié)，然而在背景中，塔存在的理由卻若隱若現(xiàn)：巴比倫人狂妄自大，試圖建造 "一根支撐天宇的巨柱,一道通往天堂的樓梯,人們可以爬上去瞻仰耶和華的杰作,耶和華也可以下到地面來(lái)看看人間的創(chuàng)造。"

當(dāng)然，《圣經(jīng)》中關(guān)于巴比倫塔的故事暗示了建造這座塔的另一個(gè)動(dòng)機(jī)：建造者們?cè)噲D鞏固他們作為一個(gè)民族的團(tuán)結(jié)。他們說(shuō)："來(lái)吧，我們要建造一座城和一座塔，塔頂通天，為要傳揚(yáng)我們的名，免得我們分散在全地上。"（《創(chuàng)世紀(jì)》11：4）。耶和華對(duì)人類獲取知識(shí)的行為十分警惕，因此對(duì)這種行為不屑一顧：

耶和華說(shuō)：“看哪，他們同是一個(gè)民族，有一樣的語(yǔ)言，他們一開(kāi)始就作這事，以后他們所要作的一切，就沒(méi)有可以攔阻他們的了。

來(lái)，我們下去，在那里混亂他們的語(yǔ)言，使他們聽(tīng)不懂對(duì)方的話。”（《創(chuàng)世紀(jì)》11：6–7）

現(xiàn)在，我們不妨來(lái)個(gè)跳躍，喚起電影《接觸》中流行的、由學(xué)者沃勒和弗洛德（2016 年）論證的命題——數(shù)學(xué)是一種通用語(yǔ)言：也許人們對(duì)建筑的集體工程對(duì)上帝的威脅，就像他們的 "一種語(yǔ)言 "和高塔對(duì)天堂的侵犯一樣。一想到要闖入蒼穹，赫拉魯穆就很不舒服，他試圖壓抑自己的擔(dān)憂。他努力學(xué)習(xí)建筑的細(xì)節(jié)，和同事們一起思考天體幾何和降雨科學(xué)；他試圖忽略自己對(duì)天堂的字面理解，即使他獲得的知識(shí)讓他更接近上帝。他上升到月亮、太陽(yáng)和星星的最高處，最后到達(dá)了巴比倫宇宙模型中的天穹，那里阻擋著天堂之水。他深感不安：

赫拉魯穆的所有感官都被拱頂?shù)木跋竺曰罅恕Ｓ袝r(shí)，當(dāng)他看著拱頂時(shí)，他覺(jué)得世界好像在不知不覺(jué)中翻轉(zhuǎn)了過(guò)來(lái)，如果他站不穩(wěn)，就會(huì)掉到拱頂上去……

還有的時(shí)候，......一瞬間，似乎沒(méi)有上，也沒(méi)有下，他的身體不知道自己被牽引到了哪個(gè)方向。

盡管憂心忡忡，赫拉魯穆還是和他的同伴們?cè)诨◢弾r中挖了好幾年隧道，直到——似乎不可避免地——挖通了一個(gè)水庫(kù)，隧道被洪水淹沒(méi)。赫拉魯穆被大水淹沒(méi)，在洪水中迷失方向，差點(diǎn)淹死。最后，他被噴到一個(gè)洞穴里，爬出一條通道，來(lái)到離塔基不遠(yuǎn)的地面上。

這就是數(shù)學(xué)家的小激動(dòng)：赫拉魯穆遇到了亞歷山德羅夫的實(shí)數(shù)軸單點(diǎn)緊致化。有興趣的讀者可以在James Munkres的《拓?fù)鋵W(xué)》等書(shū)中了解拓?fù)淇臻g和緊致性，但我們可以非正式地將這種緊致性描述如下：取實(shí)數(shù)軸并將其縮小，比如說(shuō)，縮小到開(kāi)放區(qū)間（-1，1）。然后把這個(gè)區(qū)間彎曲成一個(gè)缺一點(diǎn)的圓。最后，將區(qū)間的“兩端”連接在標(biāo)有"∞"的點(diǎn)上。(這種描述忽略了這種緊致化的許多數(shù)學(xué)細(xì)微差別，包括區(qū)間“兩端”的不存在，但有助于闡明這一概念）。赫拉魯穆從 0 點(diǎn)（塔基）出發(fā)，向著無(wú)窮遠(yuǎn)的方向（方向任選）繞了一圈，到達(dá)并穿過(guò)了無(wú)窮遠(yuǎn)（即天堂），基本上完成了繞圓一周的旋轉(zhuǎn)，回到了與出發(fā)點(diǎn)相近的位置（見(jiàn)圖 1）。考慮到他已經(jīng)到達(dá)并穿過(guò)了無(wú)窮遠(yuǎn)，他在接近拱頂時(shí)的迷失方向是可以理解的。完成革命后，赫拉魯穆有了兩次頓悟：一次是數(shù)學(xué)上的，一次是精神上的。首先，他問(wèn)自己，天與地這樣遙遠(yuǎn)的地方怎么會(huì)相接，并推導(dǎo)出一個(gè)數(shù)學(xué)模型：

他覺(jué)得自己一下子就明白過(guò)來(lái)了。一個(gè)圓滾筒，他想，人們用一個(gè)雕刻有符號(hào)的滾筒滾過(guò)一塊柔軟的泥板，滾筒就在泥板上形成了一幅圖畫印。符號(hào)可能出現(xiàn)在泥板相反的兩端，但它們?cè)跐L筒上卻是肩并肩的排列。人們把天堂和地獄看成一張泥板相反的兩頭，中間就是天空和星星。然后，世界以某種奇異的方式卷起來(lái)了，天堂與地球就成了滾筒上兩個(gè)并列的符號(hào)。

圖1：亞歷山德羅夫的實(shí)數(shù)軸單點(diǎn)緊致化

圖2：實(shí)射影平面的基本多邊形。要形成這個(gè)投影面，需要將垂直邊緣和水平邊緣 "粘 "在一起，并標(biāo)出箭頭。請(qǐng)注意，這個(gè)平面無(wú)法嵌入三維空間

圖1中的圓是這個(gè)圓柱體的橫截面。喜歡數(shù)學(xué)的讀者甚至可以考慮赫拉魯穆在真實(shí)的投影面中旅行的可能性（見(jiàn)圖 2）。這個(gè)流形是一個(gè)不可定向的曲面，這可能是赫拉魯穆在接近穹頂和被洪水吞噬時(shí)極度迷失方向的原因："四周全是令人窒息的黑暗，壓力強(qiáng)大的水流，吸附、推動(dòng)著他。他連上下左右都分不清了"。接下來(lái)，他意識(shí)到塔的建造本身就是一種崇拜：

如此一來(lái)，就知道上帝為什么沒(méi)有毀掉那塔了，為什么沒(méi)有因?yàn)槿藗兣υ匠鰹樗麄冊(cè)O(shè)定的界限而懲罰他們，因?yàn)樵匍L(zhǎng)的旅程也僅僅只能讓他們回到原來(lái)出發(fā)的地方。他們幾個(gè)世紀(jì)的辛勤勞作不會(huì)揭示出比他們所知道的更多的創(chuàng)造，他們最后所看到的只是上帝無(wú)比杰出的藝術(shù)才能。通過(guò)這種才能，上帝的存在才被指明，而又被隱藏起來(lái)。而人們就知道了他們應(yīng)該呆在應(yīng)該呆的地方。

赫拉魯穆走近無(wú)限之塔，迷失方向地穿過(guò)它，然后返回去傳播福音："他會(huì)向塔上的人傳話。告訴他們他所知道的世界的模樣。"赫拉魯穆的洞察力既是虔誠(chéng)的，也是拓?fù)鋵W(xué)的：就像埃德溫·艾勃特（Edwin·A.·Abbott）的長(zhǎng)篇小說(shuō)《平面國(guó)》（Flatland，1884 年）中的正方形一樣，他被一個(gè)球體帶出了他的平面宇宙，進(jìn)入了神奇的三維世界。伽利略被迫放棄了他的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，正方形也因?yàn)樘岢龅谌S度——甚至第四維度——的存在而入獄！人們不禁要問(wèn)，赫拉魯穆和他的天方夜譚般的拓?fù)鋵W(xué)證詞會(huì)變成什么樣子。

解密

中篇小說(shuō)《七十二個(gè)字母》（72 Letters）是特德姜最令人困惑的故事之一，故事發(fā)生在另一個(gè)維多利亞時(shí)代的英國(guó)。在那里，獨(dú)角獸的角與駝鹿的鹿角一起被陳列在博物館里，自動(dòng)裝置通過(guò)使用euonyms（由72個(gè)希伯來(lái)字母組成的字符串）來(lái)制作動(dòng)畫，這使得“（名稱和對(duì)象）的潛在能力得以實(shí)現(xiàn)”。真正的維多利亞時(shí)代是科學(xué)家與靈性主義者合作與對(duì)決的熔爐；特德姜改變了那個(gè)時(shí)代的科學(xué)和精神運(yùn)動(dòng)，并在這部杰作中將它們與卡巴拉主義傳統(tǒng)結(jié)合起來(lái)。這部杰作涵蓋了從熱力學(xué)到階級(jí)政治再到自我復(fù)制機(jī)器概念的方方面面。

讀者見(jiàn)到故事主人公羅伯特時(shí)，他還是個(gè)小男孩，正在試驗(yàn)玩具的自動(dòng)化：他的泥娃娃和瓷馬和羅伯特世界里的其他物品一樣，都是通過(guò)刻在羊皮紙碎片上的"euonyms"來(lái)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化的。工業(yè)和個(gè)人保護(hù)都依賴于euonyms：

很久以來(lái)，名字一直被分為兩類：一類用于激活對(duì)象，另一類的功能相當(dāng)于護(hù)身符。健康護(hù)身符保護(hù)人們免遭傷害和疾病，其他護(hù)身符則可以防火或者保護(hù)海船不致沉沒(méi)等等。

工業(yè)自動(dòng)機(jī)在礦井中推動(dòng)礦石手推車，充當(dāng)信使，并啟動(dòng)制造驅(qū)動(dòng)輪。因此，技術(shù)的進(jìn)步以及人類生命的保存都依賴于對(duì)euonyms的發(fā)現(xiàn)和分析。

在羅伯特時(shí)代之前，對(duì)euonyms的研究歷來(lái)是神秘主義者和卡巴拉學(xué)者的領(lǐng)域。事實(shí)上，每個(gè)euonyms 都是一個(gè)神的名字（其中一個(gè)版本包含 72 個(gè)字母），用來(lái)復(fù)活一個(gè)假人。在猶太民間傳說(shuō)中，假人是一種無(wú)生命的生物，通常由粘土或泥土制成，像特德姜的自動(dòng)機(jī)一樣，通過(guò)在其身體上或插入其中的紙片上銘刻神的名字來(lái)激活它。特德姜直接將他的自動(dòng)機(jī)與假人聯(lián)系在一起，他指出"[自動(dòng)機(jī)的特定組件]最早出現(xiàn)在圣經(jīng)時(shí)代。據(jù)說(shuō)，約瑟夫的兄弟們?cè)炝艘粋€(gè)有生命的女性假人，這樣他們就可以和她做愛(ài)而不違反禁令。"

繞道而行：數(shù)學(xué)與假人

特德姜的《七十二個(gè)字母》并不是唯一一部將數(shù)學(xué)與假人傳說(shuō)聯(lián)系在一起的作品。在《數(shù)字中的真理：Laurie A. Finke 和 Martin B. Shichtman 在《數(shù)字的真相：達(dá)倫·阿羅諾夫斯基的π中的神秘主義與瘋狂》一文中討論了《π》中卡巴拉、用"神圣詞匯"創(chuàng)造出的假人與股票市場(chǎng)行為預(yù)測(cè)之間的聯(lián)系。在《π》中，主人公馬克斯（肖恩·古萊特 Sean Gullette 飾）試圖揭開(kāi)數(shù)學(xué)的秘密；在《七十二個(gè)字母》中，羅伯特試圖揭開(kāi)語(yǔ)言的秘密。但從根本上說(shuō)，兩人都試圖通過(guò)哲學(xué)家雅克·德里達(dá)（Jacques Derrida）所說(shuō)的符號(hào)來(lái)理解現(xiàn)象。畢竟，數(shù)學(xué)研究又何嘗不是如此呢？

繞道結(jié)束

然而，時(shí)代正在發(fā)生變化：命名學(xué)，即對(duì)這些euonyms的研究，正越來(lái)越多地由世俗研究者進(jìn)行——羅伯特和他的童年好友購(gòu)買了一本《命名法少兒指南》，"上面的說(shuō)法和學(xué)校里教的很不一樣。書(shū)上說(shuō)命名師再也不根據(jù)上帝或者神的名字來(lái)給對(duì)象定名了。流行的看法是,同時(shí)存在著詞的世界和物理的世界。"

“羅伯特·斯特雷頓在劍橋三一學(xué)院的時(shí)候仍然在繼續(xù)研讀命名法。他研究了幾個(gè)世紀(jì)以前猶太教神秘哲學(xué)的一些文本。那時(shí)候，命名師被稱作“美名大師”，自動(dòng)機(jī)被叫做‘有生命的假人’。接下來(lái)，他鉆研以更加廣闊的哲學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域?yàn)楸尘胺治鲎帜概帕屑夹g(shù)的論文。”特德姜詳細(xì)闡述了羅伯特的euonymic 研究，這當(dāng)然是語(yǔ)言學(xué)研究，但其核心也是數(shù)學(xué)研究。甚至特德姜使用的語(yǔ)言也具有數(shù)學(xué)性質(zhì)：

“他了解到，每一個(gè)名字都是由幾個(gè)種名綜合而成的，每個(gè)種名具體描述了對(duì)象所具備的一種特定的特征或能力。為了得到描述某種特征的種名，必須對(duì)形容這種特征的全部語(yǔ)詞進(jìn)行綜合匯編：同源詞或詞源，正在使用的語(yǔ)言，已經(jīng)滅絕的語(yǔ)言，等等。將所有這些字詞進(jìn)行篩選、替代和重新排列，從中提取出最本質(zhì)的東西，那就是種名。種名還可以作為引申定義的基礎(chǔ)：有些特征在任何語(yǔ)言中都沒(méi)有適當(dāng)?shù)拿枋鲈~，這種情況下，使用引申定義的技術(shù)，人們就可能推導(dǎo)出描述這些特征的種名。語(yǔ)詞匯編的整個(gè)過(guò)程既要依賴規(guī)則，也要依靠命名師的直覺(jué)。選擇最佳字母排列的能力是一種無(wú)法言傳的高超技巧。

他還研究了現(xiàn)代的名字組合及分解技術(shù)。組合技術(shù)是把一系列種名——既簡(jiǎn)練，又能激活對(duì)象的潛能，這是對(duì)種名的要求——融合在一起，組成一串似乎是隨意排列的字母，這些字母構(gòu)成了對(duì)象的名字。分解技術(shù)就是把一個(gè)名字分解成各個(gè)種名。并不是每一個(gè)形成整體的名字都只能分解成固定的種名：一個(gè)威力強(qiáng)大的名字完全可能有多種拆分方法，可以被再次分解成好幾套迥然不同的種名。有些名字極難分解，命名師必須費(fèi)盡心機(jī)，開(kāi)發(fā)出新的拆分方法，以揭示這個(gè)名字的奧秘。”

雖然這些強(qiáng)調(diào)的詞語(yǔ)當(dāng)然出現(xiàn)在非數(shù)學(xué)語(yǔ)境中，但它們共同為這段文字注入了代數(shù)學(xué)和數(shù)論的韻味。故事的其他部分也包含數(shù)學(xué)語(yǔ)言：例如，羅伯特的研究重點(diǎn)是"排列和組合的細(xì)節(jié)"——這顯然是對(duì)組合學(xué)詞匯的暗示——有一次羅伯特意識(shí)到，卡巴拉優(yōu)尼卡研究者的成就就像一個(gè)巧妙的證明一樣，是 "優(yōu)雅的"。此外，對(duì)優(yōu)美詞法研究的描述，例如下面的描述，很容易就會(huì)變成對(duì)數(shù)學(xué)研究的描述：

羅伯特與小組中的其他命名者合作，在他們之間，他們瓜分了巨大的命名可能性之樹(shù)，分配樹(shù)枝進(jìn)行研究，修剪掉那些被證明沒(méi)有結(jié)果的樹(shù)枝，栽培那些似乎最有結(jié)果的樹(shù)枝。

事實(shí)上，羅伯特從事的是解密和加密研究，其工作類似于現(xiàn)代密碼學(xué)家的工作。(特別是，我們可以將命名者的工作與數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家的工作聯(lián)系起來(lái)，他們?cè)噲D淘汰公鑰加密——一種常用的信息加密系統(tǒng)，只有目標(biāo)接收者才能解密。

數(shù)學(xué)探索

公鑰加密涉及使用兩把"鑰匙"，一把公鑰和一把私鑰。例如，假設(shè)羅伯塔的朋友利昂娜想用RSA（Rivest-Shamir-Adleman）加密法為羅伯塔加密一條秘密信息。首先，請(qǐng)回顧以下內(nèi)容：

? 整數(shù)是實(shí)數(shù)1、2、3、…、它們的負(fù)數(shù)和0。正整數(shù)是1，2，3，...。

? 如果存在使n=km的整數(shù)k，則整數(shù)m是整數(shù)n的因子。

? 素?cái)?shù)是p>1的整數(shù)，其唯一正因子是1及其本身。

? 如果沒(méi)有大于 1 的整數(shù)同時(shí)是 a 和 b 的因數(shù)，則稱整數(shù) a 相對(duì)于整數(shù) b 是互質(zhì)數(shù)。

? 給定一個(gè)正整數(shù)n，如果n是a-b的一個(gè)因子，則稱兩個(gè)整數(shù)a和b是模n的同余整數(shù)。如果a和b是模n的同余整數(shù)，我們可以寫為a ≡n b。

? 給定一個(gè)正整數(shù)n，φ（n）表示小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)量。

在 RSA 密碼術(shù)的一種實(shí)現(xiàn)中，信息加密和解密過(guò)程如下。(有關(guān) RSA 密碼學(xué)的更詳細(xì)描述，請(qǐng)參閱《Judson 2018》第 7.2 節(jié)）。

1. 羅伯塔選擇兩個(gè)不同的大質(zhì)數(shù) p 和 q，讓 n 作為它們的乘積：即 n = pq。

2. 由于 p 和 q 都是大質(zhì)數(shù)，因此存在某個(gè)整數(shù) e，且 1 < e < φ(n)，使得 e 和 φ(n) 為互質(zhì)數(shù)。

這對(duì)數(shù)字 (n,e) 是密碼系統(tǒng)的公開(kāi)密鑰；該密鑰用于加密，并與利昂娜共享。請(qǐng)注意，利昂娜只知道 n 和 e：她不知道 p、q 或 φ(n)。

3. 由于 e 和 φ(n) 是相對(duì)素?cái)?shù)，因此根據(jù)貝祖特特性（見(jiàn) Judson 2018 中的定理 2.10），存在一個(gè)使ed ≡φ(n) 1 的正整數(shù) d。數(shù)字 d 是密碼系統(tǒng)的私人密鑰，用于解密。只有羅伯塔知道這個(gè)私人密鑰。

4. 為了給羅伯塔發(fā)送信息，利昂娜使用一種與羅伯塔達(dá)成一致的可逆方法，將明文信息轉(zhuǎn)換成一個(gè)相對(duì)于 n 的質(zhì)數(shù)的正整數(shù) m

5.為了將c解密成原始消息m，羅伯塔計(jì)算唯一的正整數(shù)m‘，使得m’

注意，由于 ed ≡φ(n) 1，存在一個(gè)整數(shù) k，使得 ed -1 = kφ(n)，即 ed = kφ(n) + 1。因?yàn)?c ≡n m^e，所以 c^d ≡n (m^e)^d（參見(jiàn)尼文等人 1991 年的定理 2.1）。因此

由于 m 和 n 都是相對(duì)素?cái)?shù)，歐拉定理（Judson 2018 中的定理 6.18）得出 m^φ(n) ≡n 1。所以

因此，cd ≡n m。因此，m'≡n m，所以 m'= m。

6. 羅伯塔已成功計(jì)算出 m'= m，現(xiàn)在她只需將 m 轉(zhuǎn)換成利昂娜的原始明文信息即可。

公鑰加密之所以相對(duì)安全，歸根結(jié)底在于：如果不知道系統(tǒng)的私人密鑰 d，就無(wú)法解密加密信息，而要找到 d，就必須知道 e 和 φ(n)。雖然 n 和 e 這兩個(gè)數(shù)字是公開(kāi)共享的，但如果不知道 p 和 q，就無(wú)法合理地計(jì)算 φ(n)，而當(dāng) p 和 q 非常大時(shí)，這些素?cái)?shù)就幾乎不可能被識(shí)別出來(lái)，因?yàn)槟壳斑€沒(méi)有已知的有效算法可以可靠地對(duì)極大的數(shù)字進(jìn)行因式分解，也就是找到它們的因數(shù)。因此，只有持有系統(tǒng)私人密鑰的人才能解密加密信息。

旅行結(jié)束

如果研究人員發(fā)現(xiàn)了超大型數(shù)字因式分解的有效方法，政府機(jī)構(gòu)和其他組織就能解密加密信息。就像把兩個(gè)大素?cái)?shù)相乘很容易，但要把它們的乘積因式分解，即使不是不可能，也很有挑戰(zhàn)性一樣，在特德姜的世界里：

“并非每種euonym整合方法都有匹配的分解技術(shù). . . 有些名稱拒絕分解，命名者努力開(kāi)發(fā)新的技術(shù)來(lái)破解它們的秘密。”

在我們的世界中，數(shù)字理論家尋求數(shù)字因式分解算法來(lái)破譯加密信息，而在特德姜的世界中，命名者則尋求將 euonyms 分解，以便將他們的機(jī)器賦予生命。

就像在我們的世界中，有一些人強(qiáng)烈認(rèn)為個(gè)人隱私必須得到尊重，因此害怕公鑰加密遭到破壞一樣，在特德姜的世界中，也有人反對(duì)euonymic研究。自動(dòng)機(jī)的人類雕刻師擔(dān)心，如果命名者能夠賦予自動(dòng)機(jī)創(chuàng)造同類的能力，他們就會(huì)失去工作；此外，在特德姜的英國(guó)，人類在未來(lái)幾百年內(nèi)將變得不能生育。研究人員希望能找到讓"'人類通過(guò)命名來(lái)延續(xù)自身'"的euonyms。至少?gòu)娜祟愔行闹髁x的角度來(lái)看，這似乎是一個(gè)崇高的目標(biāo)，但倫敦精英們計(jì)劃，一旦發(fā)現(xiàn)這些euonyms，就限制它們的使用，以促進(jìn)政府和貴族的優(yōu)生議程。euonyms研究的贊助人菲爾德赫斯特勛爵宣稱"......一旦我們控制了人類生產(chǎn)，我們就有辦法防止窮人擁有如此龐大的家庭……'‘通過(guò)在選擇誰(shuí)可以生育或不生育時(shí)做出一些判斷，我們的政府可以保護(hù)國(guó)家的種族血統(tǒng)'"。

在每一種情況下，破解密碼都是對(duì)公民自由的威脅。但矛盾的是，在《七十二個(gè)字母》的結(jié)尾，正是對(duì)公民自由的極端侵犯——即謀殺一名卡巴拉學(xué)者——導(dǎo)致了羅伯特維護(hù)工人階級(jí)生育權(quán)的新方法：他將尋找一種可以讓生物不育的人類自我復(fù)制的euonym，就像數(shù)學(xué)家約翰·馮·諾依曼理論中的自動(dòng)機(jī)一樣。數(shù)學(xué)，自始至終都潛伏在幕后。

除法

今后，也許會(huì)有人證明數(shù)學(xué)其實(shí)并不具備人們一直相信它具備的一致性，所謂數(shù)學(xué)的美只是虛幻。在我看來(lái)，世間再?zèng)]有比這種事更煞風(fēng)景的了。

——特德姜《除以零》

與《巴比倫塔》中的赫拉魯穆一樣，特德姜的故事《除以零》中的反主人公蕾妮也經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)頓悟：然而，她的發(fā)現(xiàn)卻讓她陷入了虛無(wú)主義的絕望之中。故事共分九節(jié)，由兩個(gè)平行的非線性敘事組成，前面是解釋數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)概念的章節(jié)介紹。在以字母 "A "標(biāo)注的小節(jié)中，蕾妮是一位昔日的數(shù)學(xué)天才，如今已步入中年，她發(fā)展出一種革命性的形式主義——一種句法語(yǔ)言——使她能夠證明任意兩個(gè)實(shí)數(shù)彼此相等。正如特德姜在故事第六節(jié)導(dǎo)言中指出的，庫(kù)爾特·哥德?tīng)栕C明了

“作為一種形式系統(tǒng)的算術(shù)無(wú)法保證不會(huì)得出１=２這樣的結(jié)果。這樣的矛盾也許永遠(yuǎn)不會(huì)遇到，但卻無(wú)法證明絕對(duì)不會(huì)遇到。”

然而，通過(guò)在正規(guī)算術(shù)體系之外開(kāi)展工作，蕾妮證明了一些在正規(guī)算術(shù)體系內(nèi)永遠(yuǎn)無(wú)法證明的東西：這一結(jié)果使數(shù)學(xué)變得毫無(wú)意義。她的丈夫卡爾認(rèn)為："數(shù)學(xué)仍然有效。科學(xué)界和經(jīng)濟(jì)界并不會(huì)因?yàn)橐庾R(shí)到這一點(diǎn)而突然崩潰"，""但蕾妮卻認(rèn)為這種數(shù)學(xué)是一種"噱頭"。她從小就相信數(shù)學(xué)的基本正確性：現(xiàn)在她發(fā)現(xiàn)自己的直覺(jué) "背叛了她"。她關(guān)于數(shù)學(xué)不一致的證明對(duì)她來(lái)說(shuō)是有意義的：她 "以自己變態(tài)的方式感覺(jué)它是正確的。她理解它，知道它為什么是真的，相信它"。面對(duì)她一直"知道"是正確的一切被推翻，她失去了清晰的思維和專注力；她夢(mèng)見(jiàn)自己證明了生與死是平等的。她意識(shí)到數(shù)學(xué)一直以來(lái)都是一個(gè)虛假的偶像，這讓她產(chǎn)生了自殺的念頭。她不再知道自己是誰(shuí)：失去了信仰，她必須在荒野中流浪。她想起了一個(gè)"放棄學(xué)術(shù)，賣手工皮具"的熟人。

第二個(gè)故事——包含在標(biāo)有字母 "B "的小節(jié)中——側(cè)重于卡爾，他在讀研究生期間曾試圖自殺，但從那以后再也沒(méi)有絕望過(guò)。蕾妮的敘述主要集中在她與數(shù)學(xué)的關(guān)系以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的自我意識(shí)上，而卡爾的敘述則主要集中在他與蕾妮的關(guān)系上。書(shū)中討論了他們初次見(jiàn)面時(shí)是什么吸引了他，并詳細(xì)描述了當(dāng)蕾妮開(kāi)始表現(xiàn)出對(duì)工作的沮喪時(shí)，他試圖理解她心中所想：當(dāng)她專注于“夾雜著俄語(yǔ)評(píng)論的象形文字方程式”時(shí)，他試圖“解讀（她的）目光”。即使蕾妮與他分享了她的災(zāi)難性啟示，她仍然是一個(gè)密碼：從根本上說(shuō)，他是一個(gè)實(shí)用主義者，他無(wú)法理解她悲傷的深度，并試圖用邏輯論證（無(wú)法與她自己的論證相提并論）和周末出游的建議來(lái)緩解她的生存痛苦。最終，蕾妮自殺未遂，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)她的遺書(shū)并穿過(guò)房子沖向她時(shí)，他頓悟了：他意識(shí)到 "因?yàn)樗麩o(wú)法理解是什么讓她做出這樣的舉動(dòng)，所以他對(duì)她沒(méi)有任何感覺(jué)"。

最后，兩個(gè)平行的故事情節(jié)交織在一起：在她出院后，卡爾決定離婚，她最后一次嘗試解釋自己的情感，但為時(shí)已晚。

“一直縈繞在我腦際的東西絲毫不像我所想像的一切。如果那是常見(jiàn)的抑郁，我知道你會(huì)理解的，而且我們可以對(duì)付……可是，情況是這樣的，我?guī)缀跸褚粋€(gè)在證明并不存在上帝的神學(xué)家。我并不只是存在這種擔(dān)心，而是知道這是事實(shí)。這聽(tīng)起來(lái)很荒唐嗎？……這是一種我無(wú)法向你表達(dá)的情感。這曾經(jīng)是我深信不疑的東西，但現(xiàn)在它卻不是真實(shí)的，而且還是我證明出來(lái)的。”

他張開(kāi)嘴想說(shuō)他完全明白她的意思，他與她有同樣的感受。但他沒(méi)有說(shuō)出來(lái)。因?yàn)檫@種感應(yīng)將使他們分離，而不是凝聚在一起，所以他不能告訴她。

故事以這樣一個(gè)精致的悖論結(jié)尾：因?yàn)榭枱o(wú)法對(duì)她失去信仰（對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)作為數(shù)學(xué)家的自己）感同身受，所以他失去了信仰（對(duì)他們的婚姻、對(duì)他的移情能力），從而完全理解她所經(jīng)歷的一切。這就是特德姜在他關(guān)于這個(gè)故事的注釋中討論的優(yōu)雅設(shè)計(jì)的一個(gè)美麗范例（毫不奇怪）：結(jié)局"巧妙而又顯得完全自然"。特德姜寫道："當(dāng)然，我們知道，出人意料卻又不可避免的結(jié)局并非真的不可避免；是人類的聰明才智讓它們暫時(shí)看起來(lái)如此"。事實(shí)上，特德姜從故事一開(kāi)始就為這個(gè)結(jié)局做了鋪墊，故事的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)直就像一個(gè)數(shù)學(xué)證明。回想一下，也許是為了向哥德?tīng)柧幪?hào)法——一種為形式語(yǔ)言的符號(hào)和公式分配數(shù)字的函數(shù)——致敬，特德姜將故事表面上分為 18 個(gè)敘事小節(jié)：表面上看，特德姜將故事分為 18 個(gè)敘事小節(jié)：9 個(gè)以蕾妮為中心，9 個(gè)以卡爾為中心。但事實(shí)上，正如亞歷克斯·卡斯曼（Alex Kasman）的網(wǎng)站《數(shù)學(xué)小說(shuō)》（Mathematical Fiction）上的一篇匿名評(píng)論所指出的，故事只有一個(gè)：失去信仰的故事。蕾妮和卡爾的敘述在最后一個(gè)小節(jié) "9A = 9B "中發(fā)生了碰撞。把這個(gè)等式的兩邊都除以 9（在數(shù)學(xué)是一致的宇宙中，這是一個(gè)有效的算術(shù)步驟，因?yàn)槌龜?shù)不是零），就得到了相等的 A = B：因此，1A = 1B，2A = 2B，等等。換句話說(shuō)，蕾妮和卡爾的敘事弧線一直是相通的。最后，正如蕾妮必須或多或少地與數(shù)學(xué)決裂一樣，卡爾也必須與蕾妮決裂：具有諷刺意味的是，關(guān)于除法的兩個(gè)敘事一直都是連在一起的。

決心

我曾經(jīng)以為這是你故事的開(kāi)始……這就是結(jié)局……但現(xiàn)在我不太相信開(kāi)始和結(jié)局了。

——露易絲·班克斯《降臨》

與《除以零》一樣，長(zhǎng)篇小說(shuō)《你一生的故事》——2016 年電影《降臨》就是改編自這個(gè)故事——交織著兩個(gè)相關(guān)的敘事：一個(gè)是與外星種族首次接觸的線性紀(jì)事，一個(gè)是對(duì)母女關(guān)系的非線性思考。每段敘述的敘述者都是語(yǔ)言學(xué)家露易絲·班克斯，這兩段敘述共同構(gòu)成了一封寫給女兒的情書(shū)，從她決定懷上孩子的那一刻開(kāi)始，也從她決定懷上孩子的那一刻結(jié)束（如果你相信有開(kāi)始和結(jié)束的話）。

線性敘事的開(kāi)頭非常簡(jiǎn)單：外星人——人類稱之為七肢桶，因?yàn)槊總€(gè)外星人都有七條徑向?qū)ΨQ的肢體——在世界各地放置了112個(gè)雙向通信裝置，使人類和七肢桶能夠互相看到和聽(tīng)到對(duì)方。露易絲和物理學(xué)家加里·唐納利是一個(gè)科學(xué)家小組的成員，他們被帶到其中一個(gè)望遠(yuǎn)鏡前，負(fù)責(zé)與露易絲建立有意義的交流。

像七肢桶一樣寫作:非線性會(huì)意文字

露易絲最終確定，七肢桶的口頭語(yǔ)言和書(shū)面交流系統(tǒng)完全不同：她將它們分別稱為七肢桶A 和七肢桶B：

語(yǔ)言學(xué)家們?cè)诮獯a口語(yǔ)語(yǔ)法方面取得了穩(wěn)步進(jìn)展......它并不像預(yù)想的那樣遵循人類語(yǔ)言的模式，但到目前為止還是可以理解的：詞序自由，甚至在條件語(yǔ)句中的分句沒(méi)有優(yōu)先順序，這與人類語(yǔ)言的"普遍性"背道而馳。奇特，但并非不可理解。

作為一種口語(yǔ)，七肢桶A本身是線性的。事實(shí)上，給定一個(gè)七肢桶A 句子，我們就可以在它的詞集 S 上定義一個(gè)關(guān)系 ≤，即當(dāng)且僅當(dāng) w1 在句子中先于 w2 說(shuō)出時(shí)，w1 ≤ w2。用數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，≤ 是 S 的線性排序。由于詞序在七肢桶A 中是自由的，等價(jià)句子可能對(duì)應(yīng)于它們?cè)~集的不同線性排序，但這并不改變每個(gè)句子的詞集都有唯一的線性排序這一事實(shí)，它是由說(shuō)詞的順序引起的。

另一方面，七肢桶B 是非線性的：書(shū)寫一個(gè)七肢桶B 句子的過(guò)程中，并不會(huì)對(duì)其構(gòu)成部分進(jìn)行線性排序。事實(shí)上，這些部分與七肢桶A的單詞沒(méi)有任何關(guān)系。七肢桶B是一個(gè)復(fù)雜的半書(shū)寫系統(tǒng)：

術(shù)語(yǔ)semasiographic結(jié)合了希臘單詞semasia，意思是“意義”與“圖形”呈現(xiàn)風(fēng)格…semasiographic的交流系統(tǒng)獨(dú)立于語(yǔ)言之外，在與口語(yǔ)相同的邏輯層面上傳達(dá)思想，而不是寄生于口語(yǔ)。它們可以在語(yǔ)言之外發(fā)揮作用. . . .在一種類型的符號(hào)學(xué)系統(tǒng)中，意義是通過(guò)任意編纂的符號(hào)的相互關(guān)系來(lái)表示的。數(shù)學(xué)符號(hào)……是這種傳統(tǒng)系統(tǒng)的一個(gè)例子，在這種系統(tǒng)中，數(shù)字、字母和大量的專門符號(hào)通常被理解為數(shù)字、事物和動(dòng)作。

露易絲將七肢桶B句子的組成成分稱為語(yǔ)標(biāo)。

看來(lái)，一個(gè)語(yǔ)標(biāo)大致相當(dāng)于人類語(yǔ)言中的一個(gè)書(shū)面單詞：它本身有意義，與其他語(yǔ)標(biāo)組合在一起可以形成無(wú)窮無(wú)盡的語(yǔ)句。語(yǔ)言學(xué)家們無(wú)法給它下一個(gè)準(zhǔn)確的定義，但也沒(méi)有人給人類語(yǔ)言中的"詞"下過(guò)令人滿意的定義。

但值得注意的是，在七肢桶B的句子中，語(yǔ)標(biāo)沒(méi)有自然的線性排序。露易斯回憶起觀看七肢桶寫作的情景：

我把錄像帶倒到七肢桶按照上面翻譯的順序逐字書(shū)寫的地方。我放帶子，眼看著語(yǔ)標(biāo)一個(gè)個(gè)成形，組成一團(tuán)黑黑的蛛網(wǎng)。我反復(fù)放了好多次，最后，在第一筆寫完、第二筆還沒(méi)有開(kāi)始的地方停住。現(xiàn)在，屏幕上只有彎彎曲曲的一條線。

我把這最初一筆與完成后的句子互相比對(duì)。我認(rèn)識(shí)到，這一筆參與了這個(gè)句子的好幾個(gè)從句。開(kāi)始時(shí)它是“氧”這個(gè)語(yǔ)標(biāo)的一筆，明確有力，與其他筆畫截然不同；接著它向下一滑，成為描述兩顆衛(wèi)星大小的比較詞的一個(gè)組成要素；最后這一筆向外一展，形成“海洋”這個(gè)語(yǔ)標(biāo)拱起的脊梁。問(wèn)題在于，這一筆是連續(xù)不間斷的一道線條，而且是弗萊帕落筆的第一畫。

用七肢桶B 書(shū)寫的句子并不對(duì)應(yīng)于其語(yǔ)標(biāo)的線性排序，因?yàn)槎鄠€(gè)語(yǔ)標(biāo)共享組成部分，因此許多語(yǔ)標(biāo)的部分會(huì)同時(shí)被書(shū)寫。這與七肢桶A 中單詞順序的靈活性不同：雖然七肢桶A 中多個(gè)不同的單詞順序可能會(huì)產(chǎn)生等價(jià)的句子，但每個(gè)句子中的單詞都是以獨(dú)特的、可識(shí)別的順序說(shuō)出的。另一方面，半形句并不是在不連續(xù)的時(shí)間段內(nèi)作為不連續(xù)的單位書(shū)寫的。它們彼此不同，但它們的形式在空間上重疊，它們的產(chǎn)生是同時(shí)進(jìn)行的。(感興趣的讀者可在 Wolfram Research GitHub 存儲(chǔ)庫(kù)的子目錄 https://github.com/ WolframResearch/Arrival-Movie-Live-Coding/tree/master/ScriptLogoJpegs中找到這些語(yǔ)標(biāo)的圖片（電影《降臨》中的語(yǔ)標(biāo)由藝術(shù)家Maxine Bertrand創(chuàng)作，大致呈圓形，突顯了七肢桶B的非線性性質(zhì)）。

露易斯描述了七肢桶B書(shū)寫句子所面臨的挑戰(zhàn)：

這意味著，早在寫下第一筆之前，七肢桶便已經(jīng)知道整個(gè)句子將如何布局。

這個(gè)句子的其它筆畫同樣貫穿了幾個(gè)從句，筆筆勾連交織。抽掉任何一筆，整個(gè)句子的結(jié)構(gòu)將全然不同，只好重新組織。七肢桶并不是一次只寫下一個(gè)語(yǔ)標(biāo)，寫完一個(gè)再寫第二個(gè)。任何一道筆畫都不只與一個(gè)語(yǔ)標(biāo)關(guān)聯(lián)，而是涉及好幾個(gè)語(yǔ)標(biāo)。字符與字符之間融合到這種程序，我以前只在書(shū)法作品中見(jiàn)過(guò)，尤其是以阿拉伯文字寫就的書(shū)法作品。但那些作品是出自書(shū)法家手筆，事先經(jīng)過(guò)精心安排。沒(méi)有人能夠連說(shuō)邊寫，以這么高的速度完成如此復(fù)雜的作品。至少，人類做不到。

但最終，人類可以。隨著時(shí)間的推移，露易絲學(xué)會(huì)了如何閱讀和書(shū)寫七肢桶B，她的感知也開(kāi)始模仿異種對(duì)話伙伴的感知。在《降臨》中，露易絲（艾米·亞當(dāng)斯 Amy Adams 飾）和影片中的加里（杰瑞米·雷納 Jeremy Renner 飾）——莫名其妙地被重新命名為伊恩——向觀眾講解薩皮爾·沃爾夫假說(shuō)（Sapir-Whorf hypothesis），該假說(shuō)在特德姜的小說(shuō)中扮演著重要的角色（盡管未加說(shuō)明）：

伊恩：我讀過(guò)一些關(guān)于這個(gè)觀點(diǎn)的書(shū)，如果你沉浸在一門外語(yǔ)中，你的大腦就會(huì)被重新連接起來(lái)。

露易絲:是的，薩皮爾·沃爾夫假說(shuō)……這是一種理論，即你所說(shuō)的語(yǔ)言決定了你的思維方式。

露易絲在學(xué)習(xí)七肢桶B的過(guò)程中，開(kāi)始像七肢桶一樣思考問(wèn)題，而七肢桶的思維方式與人類截然不同。《降臨》中的一段畫外音說(shuō)：

與語(yǔ)言不同，語(yǔ)標(biāo)沒(méi)有時(shí)間限制......。七肢桶的書(shū)面語(yǔ)言沒(méi)有前進(jìn)或后退的方向。語(yǔ)言學(xué)家稱之為非線性拼寫體系，這就提出了一個(gè)問(wèn)題：它們是這樣思考的嗎？

的確如此。

像七肢桶一樣思考：變分原理

當(dāng)加里和他的科學(xué)界同行發(fā)現(xiàn)七肢桶似乎不理解簡(jiǎn)單的代數(shù)、幾何或人類認(rèn)為是基本的物理原理時(shí)，他們感到困惑。顯然，七肢桶在科學(xué)上要比人類先進(jìn)得多，然而七肢桶對(duì)數(shù)學(xué)和物理的理解似乎是最少的。

原來(lái)，這是因?yàn)槠咧暗牡谝晃锢碓砼c我們的有很大不同。物理學(xué)家終于有了突破，他們向七肢桶提出了費(fèi)馬最小時(shí)間原理。加里向露易絲介紹了這一概念：他解釋說(shuō)，如果一束光線從空氣中的 A 點(diǎn)射向水中的 B 點(diǎn)，那么"光線會(huì)沿著直線傳播，直到射入水中；水的折射率不同，所以光線會(huì)改變方向"。他指出，光線在理論上有許多可能的路徑。(見(jiàn)圖 3）。

圖3：光從 A 處（空氣中）到達(dá) B 處（水中）的四種可能路徑。光線沿著實(shí)線前進(jìn)。更多詳情，請(qǐng)參閱 "斯涅耳定律"

雖然在三維空間中，兩點(diǎn)之間的最短路徑總是一條直線（如圖 3 中最右邊的虛線），但由于光在水中的傳播速度比在空氣中慢，這意味著沿著直線路徑并不是光從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的最快方式。

光線走的不是這條路徑，這是一條理論上的線。它比光實(shí)際走的路線還短些。但是，你要記住，我們的這一束光穿越空氣，進(jìn)入水中。光在水里的速度比在空氣中慢。請(qǐng)看這條理論線，它的距離雖然比實(shí)際線更短，但理論線在水中的部分比實(shí)際線要長(zhǎng)一些。所以，光線如果走這條理論線，雖然它的距離短，但所費(fèi)時(shí)間比實(shí)際路線更長(zhǎng)。

這第二條理論線，與實(shí)際線相比，這條線在水中的部分更少，但它的總長(zhǎng)度比實(shí)際線長(zhǎng)得多。光如果走這條路線，花的時(shí)間也同樣比實(shí)際線長(zhǎng)。

光如果走上任何一條理論線，它在旅途中所費(fèi)的時(shí)間都比實(shí)際線更長(zhǎng)。換句話說(shuō)，一束光實(shí)際所取的路線永遠(yuǎn)是最快的的一條。這就是費(fèi)馬的最少時(shí)間律。

加里承認(rèn)他對(duì)費(fèi)馬原理的第一次解釋過(guò)于簡(jiǎn)單，并補(bǔ)充說(shuō)類似的原理存在于“物理學(xué)的所有分支”：

“‘最少’這個(gè)詞有點(diǎn)誤導(dǎo)性。你瞧，費(fèi)爾馬定律的最少時(shí)間還不夠全面。在某種情況下，光循著一條耗時(shí)最多路線。其實(shí)這種說(shuō)法更準(zhǔn)確：光所取的路徑具有極端性——或者耗時(shí)最少，否則便取耗時(shí)最多的一條。最少，最多，這兩個(gè)概念具有數(shù)學(xué)意義上的共性，兩種情況可以套用一個(gè)數(shù)學(xué)公式。所以準(zhǔn)確地說(shuō)，費(fèi)爾馬定律并不是最少律，只是一項(xiàng)變分原理。”

“物理學(xué)的每一個(gè)分支學(xué)科都有。幾乎每一項(xiàng)物理定律都可以稱作變分原理，區(qū)別僅僅是看某一屬性取的是最大值還是最小值。”他把手一擺，活像物理學(xué)的各個(gè)分支全擺在他面前的桌子上。“在光學(xué)領(lǐng)域，也就是費(fèi)爾馬最少時(shí)間律的應(yīng)用領(lǐng)域上，取極值（是最大值或最小值）的屬性是時(shí)間。如果換了力學(xué)領(lǐng)域，則取另一屬性。電磁學(xué)當(dāng)然又會(huì)取其它屬性。但從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，所有這些定理全都是相似的。”

數(shù)學(xué)之旅

一個(gè)方程可以同時(shí)找到最大值和最小值，這種想法類似于第一學(xué)期微分學(xué)中的一個(gè)概念。連續(xù)函數(shù) f 從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的局部最小值和最大值，只能出現(xiàn)在 f 的導(dǎo)數(shù)為0的c值處。在微積分中，我們的目標(biāo)是最小化或最大化一個(gè)函數(shù)，即從函數(shù)集到所有實(shí)數(shù)集的映射，而不是一個(gè)函數(shù)；我們不是要找出函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的實(shí)數(shù)，而是要找出函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的函數(shù)。函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義超出了本章的范圍，但讀者可以在開(kāi)放大學(xué)的《2016年微積分導(dǎo)論》單元中了解更多有關(guān)變分的知識(shí)。

讓物理學(xué)家們感到驚訝的是，除了算術(shù)之外，費(fèi)馬最小時(shí)間原理是他們向七肢桶提出的第一個(gè)數(shù)學(xué)概念，而后者似乎能夠理解。加里和露易絲進(jìn)行了如下交流，首先是加里的觀察：

“一束光實(shí)際選擇的路線永遠(yuǎn)是最快的一條。這就是費(fèi)爾馬的最少時(shí)間律。”

“說(shuō)實(shí)在的，費(fèi)爾馬定律居然會(huì)成為咱們的第一個(gè)突破口，這可真奇怪。這條定律用語(yǔ)言解釋起來(lái)很容易，但要想對(duì)它作出數(shù)學(xué)描述，只有用微積分才行，而且還不是普微積分，得用上變微積分。我們?cè)缦冗€估計(jì)會(huì)首先從代數(shù)或幾何的一些簡(jiǎn)單定理作出突破哩。”

“的確奇怪。你有沒(méi)有這種想法，什么容易什么困難，七肢桶的看法也許跟我們?nèi)祟惒灰粯樱俊?/p>

"沒(méi)錯(cuò)。如果對(duì)他們來(lái)說(shuō)，微積分比代數(shù)更簡(jiǎn)單，那就可以解釋為什么我們?cè)谡務(wù)撐锢韺W(xué)時(shí)遇到了這么多麻煩. "

旅行結(jié)束

后來(lái)，當(dāng)他們?cè)谝患抑胁宛^吃飯時(shí)，露易絲告訴加里，費(fèi)馬原理的某些東西對(duì)她來(lái)說(shuō)似乎很奇怪。加里立即找出了她智力焦慮的原因:

“你習(xí)慣于從因果關(guān)系的角度考慮光的折射：接觸水面是因，產(chǎn)生折射改變方向是果。你之所以覺(jué)得費(fèi)爾馬定律古怪，原因在于它從目的、以及達(dá)成目的的手段這個(gè)角度來(lái)描述光。好像有誰(shuí)向光下了一道圣旨：‘令爾等以最短或最長(zhǎng)時(shí)間完成爾等使命。’……物理學(xué)的一般公理都是因果關(guān)系，為什么費(fèi)爾馬定律這樣的變分原理卻是目的導(dǎo)向？比如這里的光，好像有自己的目的。這已經(jīng)接近于目的論了。”

他們的交流還在繼續(xù)，首先是露易絲提出了一個(gè)問(wèn)題：

“我們假定，一道光束的目的就是取一條耗時(shí)最少的路徑。這道光束怎么才能選出這條路？”

“這個(gè)……好吧，我們?cè)O(shè)想萬(wàn)物皆有靈魂，采用擬人化的說(shuō)法。這束光必須檢查所有可能采取的路徑，計(jì)算出每條路徑將花費(fèi)的時(shí)間，從而選出耗時(shí)最少的一條。”他一筷子叼走盤子里最后一個(gè)鍋貼。

“要做到你說(shuō)的這一點(diǎn)，那道光束必須知道它的目的地是哪里。如果目的地是甲點(diǎn)，最快路徑就與到乙點(diǎn)全然不同。”

加里又點(diǎn)點(diǎn)頭，“一點(diǎn)沒(méi)錯(cuò)。如果沒(méi)有一個(gè)明確的目的地，‘最快路徑’這種說(shuō)法就失去意義了。另外，給定一條路徑，要計(jì)算出這條路徑所費(fèi)時(shí)間，還必須知道這條路上有什么，比如有沒(méi)有水之類。”

我定定地注視著餐巾紙上的簡(jiǎn)圖，“就是說(shuō)，這道光束事先必須什么都知道，早在它出發(fā)之前就知道。對(duì)不對(duì)？”

“我們這么說(shuō)吧。”加里道，“這道光不可能貿(mào)然踏上旅途，走出一段之后再作調(diào)整。需要重作調(diào)整的路絕不會(huì)是耗時(shí)最少的路徑。這道光必須在出發(fā)之初便完成一切所需計(jì)算。”

我在心里自言自語(yǔ)，這道光束，在它選定路徑出發(fā)之前，它必得事先知道自己最終將在何處止步。這一點(diǎn)讓我想起了什么，我很清楚。我抬頭望著加里，“這就是我一直覺(jué)得古怪的地方。我很不安。”

前記憶：非線性拼寫體系和非線性時(shí)間

許多科幻小說(shuō)家都讓他們筆下的人物體驗(yàn)非線性時(shí)間，并探索這種實(shí)驗(yàn)幾乎不可避免地產(chǎn)生的悖論。有些作家嚴(yán)肅認(rèn)真地對(duì)待這一問(wèn)題，而另一些作家，如電視連續(xù)劇《神秘博士》（Doctor Who），則異想天開(kāi)地對(duì)待這一問(wèn)題：

人們認(rèn)為時(shí)間是因果關(guān)系的嚴(yán)格遞進(jìn)，但實(shí)際上，從非線性、非主觀的角度來(lái)看，它更像是一個(gè)搖擺不定的大球。("Blink" 2007)

但在現(xiàn)實(shí)世界中，人類的時(shí)間概念可以說(shuō)是局部線性的，因?yàn)樗麄兛梢杂涀∵^(guò)去發(fā)生的事情，卻記不住未來(lái)會(huì)發(fā)生的事情。而七肢桶的時(shí)間概念是非線性的。露易絲闡述道：

加里頭一次向我解釋費(fèi)爾馬定律那天，他說(shuō)過(guò)，幾乎每一條物理定律都可以闡釋為變分原理，但人類頭腦在思考這些原理時(shí)往往將它們簡(jiǎn)化為表述因果關(guān)系的公式。這我能夠理解：人類憑借直觀手段發(fā)現(xiàn)的物理特性都是某一對(duì)象在某一給定時(shí)刻所表現(xiàn)出來(lái)的屬性，諸如運(yùn)動(dòng)、速度等等概念都是這樣。按先后順序、以因果關(guān)系的方式闡述這些事件最方便：一個(gè)事件引發(fā)另一事件，一個(gè)原因?qū)е乱粋€(gè)結(jié)果，由此引發(fā)連鎖反應(yīng)，事物于是由過(guò)去的狀態(tài)發(fā)展到未來(lái)的狀態(tài)。

與人類相反，七肢桶直覺(jué)到，物理屬性本身是沒(méi)有意義的，只有經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后這些屬性才有意義可言。比如“動(dòng)能”或其他我們?nèi)祟愋枰梅e分公式描述定義的物性。這些屬性用目的論的形式加以解釋最便利：對(duì)事件作一段時(shí)間的觀察，之后便會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些事件本身具有某種要求，某種目的，比如最長(zhǎng)時(shí)間或最短時(shí)間。對(duì)于一個(gè)事件來(lái)說(shuō)，只有當(dāng)它事先便了解自己的初始和終極階段，才能達(dá)成它的目的。事先便知道“果”——先于“因”的啟動(dòng)便知道。

七肢桶的書(shū)寫就像它們徑向?qū)ΨQ的身體一樣，沒(méi)有 "前進(jìn) "或 "后退 "的方向；事實(shí)證明，它們的記憶也是如此。它們經(jīng)歷的時(shí)間并不是一連串向前行進(jìn)的時(shí)刻，在它們的記憶中，后面的時(shí)刻可以進(jìn)入，而前面的時(shí)刻卻無(wú)法進(jìn)入；相反，它們既知道 "過(guò)去 "發(fā)生了什么，也知道 "未來(lái) "會(huì)發(fā)生什么。有人可能會(huì)問(wèn)，一個(gè)人怎么可能知道未來(lái)會(huì)發(fā)生什么，同時(shí)還能保持自由意志呢？

七肢桶的觀念既非我們所想像的自由，也不像某些人所想像的那樣受約束它們既不是怎么想就怎么做，也不是毫無(wú)能動(dòng)性的機(jī)器人。七肢桶意識(shí)模式中最突出的一點(diǎn)不是它們的行動(dòng)與未來(lái)事件相合，而在于它們的動(dòng)機(jī)它們的動(dòng)機(jī)、未來(lái)事件的目的，這兩者是統(tǒng)一的。它們行動(dòng)，使既定的末來(lái)成為現(xiàn)實(shí)，也使事件有了先后順序。

自由并不是一種虛幻的假象，在先后順序模式的意識(shí)中，它的的確確是真實(shí)的存在。在同步并舉式的意識(shí)中，自由這種觀念卻沒(méi)有多大意義，但同時(shí)也不存在“被迫”。兩種意識(shí)不一樣，僅此而已。這就好像在哈哈鏡前，看不見(jiàn)照鏡子的人，只能看到鏡中形象。鏡中出現(xiàn)的也許是個(gè)絕代佳人，也許是個(gè)鼻子上長(zhǎng)著大瘤子的小丑，下巴長(zhǎng)到胸口。兩種形象都是合理的闡釋，沒(méi)有“對(duì)”“錯(cuò)”可言。但是，鏡子中一次只有一個(gè)形象，你無(wú)法同時(shí)看到兩個(gè)。

當(dāng)露易絲開(kāi)始形成類似七肢桶的意識(shí)時(shí)，她就會(huì) "記住"--或許用 "預(yù)記 "這個(gè)詞更好——將要發(fā)生的事情，就像她記住已經(jīng)發(fā)生的事情一樣。就像光線知道必須從哪里入水，才能在最短的時(shí)間內(nèi)從 A 處到達(dá) B 處一樣，露易絲知道自己的一言一行都必須符合 "時(shí)間順序"。她覺(jué)得自己必須達(dá)到這些要求，但又不覺(jué)得這是強(qiáng)制性的。在購(gòu)物時(shí)，她看到一個(gè)沙拉碗，她預(yù)感到碗會(huì)從柜臺(tái)上掉下來(lái)，砸到她尚未出世的女兒的頭部。但她注意到：

這個(gè)動(dòng)作并不像是我被迫做的。相反，當(dāng)碗掉在我女兒身上時(shí)，我急忙去接住碗，這似乎也是一種本能，我覺(jué)得這樣做是對(duì)的。

她的人生故事

雖然線性敘事構(gòu)成了這部長(zhǎng)篇小說(shuō)的主要內(nèi)容，但故事的情感核心在于露易絲交織在一起的關(guān)于她與女兒關(guān)系的小插曲，我們可以根據(jù)她在《降臨》中的角色稱她為"漢娜"（在特德姜的故事中她沒(méi)有名字）。故事從露易絲宣布漢娜未來(lái)的父親加里"即將向我提出問(wèn)題"開(kāi)始，以問(wèn)題本身——"你想生個(gè)孩子嗎？"和露易絲回答"我想"的決定性時(shí)刻結(jié)束。以及露易絲回答 "是的 "這一決定性時(shí)刻。這些小故事都是露易絲寫給尚未出生的漢娜的前塵往事，展現(xiàn)了她們共同生活中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴：十幾歲的漢娜與母親爭(zhēng)論用吸塵器吸地板；6歲的漢娜熱切期待夏威夷之旅；14歲的漢娜在寫學(xué)校報(bào)告；嬰兒漢娜尖叫；25歲的漢娜在一次致命的攀巖事故后被父母認(rèn)出。這些小故事以非時(shí)間順序呈現(xiàn)：當(dāng)加里問(wèn)她是否想要一個(gè)孩子時(shí)，露易絲已經(jīng)能流利地使用七肢桶B，因此在她回答之前就知道了她和漢娜的整個(gè)未來(lái)將如何發(fā)展——事實(shí)上，在問(wèn)題提出之前她就已經(jīng)知道了。

文字上分離的線性敘事和非線性敘事最終在主題上結(jié)合在一起，就像《除以零》中蕾妮和卡爾的故事一樣。特德姜在《你一生的故事》的注釋中寫道：

我對(duì)物理學(xué)中的變分原理的喜愛(ài)催生出了這個(gè)故事。從一開(kāi)始接觸物理，我就覺(jué)得這些原理讓人著迷。但我一直不知道應(yīng)該怎么把這些定律作為故事元素寫進(jìn)小說(shuō)里。有一天，我看了一出由一個(gè)演員表演的話劇，說(shuō)的是他妻子跟癌癥的搏斗。我受到了啟發(fā)，覺(jué)得自己也許能夠用變分原理寫個(gè)故事，描寫一個(gè)人面對(duì)無(wú)法避免的結(jié)果時(shí)的態(tài)度。幾年以后，這個(gè)想法和另一個(gè)朋友所說(shuō)的她新出生的嬰兒結(jié)合在一起，組成了這篇小說(shuō)的核心。

對(duì)于那些喜愛(ài)物理學(xué)的讀者，我應(yīng)該指出：這個(gè)故事中對(duì)費(fèi)爾馬最少時(shí)間律的討論略去了它在量子力學(xué)方面的內(nèi)容，因?yàn)樵摱傻慕?jīng)典解釋更符合小說(shuō)的主旨。

特德姜的這部長(zhǎng)篇小說(shuō)提出了一個(gè)根本性的問(wèn)題：在明知自己的選擇會(huì)導(dǎo)致悲傷的情況下，你會(huì)選擇去愛(ài)嗎？至少對(duì)露易絲來(lái)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題的先驗(yàn)答案是肯定的。她的行為就像七肢桶一樣，"與歷史的事件相吻合"，她的 "動(dòng)機(jī)與歷史的目的相吻合"。她的未來(lái)是注定的：不是因?yàn)樗龥](méi)有自由意志，而是因?yàn)樗倪x擇恰恰決定了她知道會(huì)發(fā)生的未來(lái)——事實(shí)上，未來(lái)的發(fā)生正是因?yàn)樗倪x擇。就像光線從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的時(shí)間最小化一樣，露易絲選擇生一個(gè)她知道會(huì)早死的孩子，也是在優(yōu)化她的經(jīng)歷。但優(yōu)化可以是最大化，也可以是最小化：對(duì)露易絲來(lái)說(shuō)，到底是哪一種呢？連她自己都不知道：

從一開(kāi)始我就知道結(jié)局，我選定了自己要走的路，也就是未來(lái)的必經(jīng)之路。我循路而前，滿懷喜悅，也許是滿懷痛苦？我的未來(lái)，它究竟是最小化，還是最大化？

露易絲很有可能兩者兼得。

結(jié)論

特德姜當(dāng)然不是唯一一個(gè)在作品中探討數(shù)學(xué)主題的作家。許多作品——從《平面國(guó)》，到羅伯特·海因萊茵和伊恩·麥克尤恩各自的故事《他建造了一座彎曲的房子》（1941年）和《立體幾何》（1975年），再到低成本加拿大恐怖電影《異次元?dú)㈥?》（2002年）——都運(yùn)用了數(shù)學(xué)上的時(shí)空概念。此外，破解密碼——無(wú)論是字面上的還是象征性的——吸引了無(wú)數(shù)作者、讀者和觀眾的興趣：《Sneakers》（1992 年）中的數(shù)學(xué)家被謀殺，因?yàn)樗诖髷?shù)因式分解方面取得了突破，這大概會(huì)使公鑰加密技術(shù)過(guò)時(shí)（RSA 密碼學(xué)中的 "A"--Len Adleman 是該片的顧問(wèn)）；《The Bank and π》（1998 年）中的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)行為的方法。

盡管如此，特德姜在他的著作中對(duì)數(shù)學(xué)的運(yùn)用還是比較獨(dú)特的。《除以零》和《你的人生故事》都有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。他的工作對(duì)情感的影響既具有數(shù)學(xué)知識(shí)，又與眾不同。

特德姜的故事建立在深厚的人文主義基礎(chǔ)之上，因此最深?yuàn)W的哲學(xué)猜想也能引起共鳴和情感共鳴。例如，在《除以零》中，我們之所以對(duì)主人公產(chǎn)生痛苦的同情和憐憫，只是因?yàn)槲覀兝斫饬藬?shù)學(xué)悖論給她的生活帶來(lái)的危機(jī)。

這是科學(xué)問(wèn)題，不是有待解決的難題，而是本體論的災(zāi)難，也是人類的災(zāi)難。同樣，特德姜在他的筆記中描述了《你一生的故事》是如何"從對(duì)物理學(xué)變分原理的興趣中成長(zhǎng)起來(lái)的"：也許令人驚訝的是，這個(gè)故事的溫情及其令人震驚的動(dòng)人結(jié)局，并不是在科學(xué)推測(cè)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的，而是科學(xué)推測(cè)的直接作用。

在特德姜的世界里，人文主義與理性主義密不可分。人物和作家的理性主義非但沒(méi)有 "冷 "對(duì)情感的 "暖"，反而使他們變得感性和人性化。

在特德姜的故事中，數(shù)學(xué)并不只是一個(gè)道具，甚至也不是一個(gè)角色：相反，數(shù)學(xué)是故事的框架。與蕾妮的故事一樣，特德姜故事中的智力與情感生活密不可分：在他的作品中，數(shù)學(xué)與情感，就像蕾妮欣賞的大理石瓷磚一樣，在 "令人難以置信的細(xì)線 "上交匯——與蕾妮一樣，我們可能會(huì) "為其精確度而顫抖"。

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