豆瓣8.7，這才是學好數學的底層能力：思維能力！

當人們談論那些天才數學家時，經常會冠之以“天賦”“神秘的直覺”等美譽。關于數學的討論中也盡是諸如“搞數學的有沒有天分最重要”“做數學研究得有那種感覺才行”等論調。你的身邊應該也有一些悲觀的家長吧，他們總是覺得“我家孩子根本就不是學數學的那塊料……”

但是， 在我看來， 這些都不過只是些宣傳口號罷了。“天分”“感覺”等，說這話的人都是事后諸葛亮。那些被稱為“直覺”的靈光一閃，不過是早已得出答案的當事者的事后說明而已。他們其實早已窺見了解決問題的正確途徑，只不過是換種說法，把解決的過程稱為“直覺”。當你真正面對那些無法解答的問題時，我想這種神乎其神的所謂“直覺”的力量，根本不會有什么幫助吧!

真正的天才，并不是說他有才華就會大放光彩，能夠受人矚目一定是因為他進行了大量的思考和研究工作。在數學的領域里，沒有所謂“直覺”這樣的捷徑。最終能夠通往正確答案的唯一道路，就是要有韌性，要不斷地反復去思考問題之所在，耐心地追尋其中的邏輯。

來源 | 《數學思考法：解析直覺與謊言》

作者 | [日]神永正博

譯者 | 孫慶媛

問題 : 兩人手中分別持有 100 元的本金，兩人進行以下規則的游戲。如果將游戲 A 與游戲 B 結合，那么輸贏情況會如何？

游戲 A

有 48% 的概率獲勝，使本金增加 1 元。

有 52% 的概率輸掉，使本金減少 1 元。

游戲 B

本金數額為 3 的倍數時，獲勝概率為 1%。除此之外，獲

勝的概率為 85%。

獲勝本金增加 1 元，失敗則本金減少 1 元。

很明顯，游戲 A 中輸的概率是很高的。而游戲 B 中，本金的數額有 1/3 的概率是 3 的倍數，此時獲勝概率僅為 1%，幾乎會必定輸掉游戲。本金數字有 2/3 的概率不是 3 的倍數，此時獲勝的概率為 85%。但是一旦贏了，本金增加，幾次過后本金又會變成為 3 的倍數。所以，游戲 B 輸的概率同樣很高。既然游戲 A 和游戲 B 輸的概率都很高，那么將游戲 A 與游戲 B 結合，結果自然也是輸多贏少！

容易輸掉的游戲 + 容易輸掉的游戲 = 容易獲勝的游戲？

兩個不利于獲勝的游戲，無論如何組合，也無法改變不利于獲勝的情況吧。一般人這樣想是非常自然的。

但 是， 馬 德 里 康 普 頓 斯 大 學 物 理 系 的 胡 安· 帕 隆 多（Juan Parrondo）教授卻提出了異議。如果將兩個容易輸掉的游戲 A、B 組合，則可以得到一個容易獲勝的游戲。單獨玩游戲 A 或游戲 B，結果均為輸多贏少，但是如果將游戲 A、B 巧妙組合，在不改變任何其他條件的情況下，就可以將游戲結果變為贏多輸少。真是令人難以置信！

先總結下前文信息，游戲 A 的規則是這樣的：

游戲 A

有 48% 的概率獲勝，使本金增加 1 元。

有 52% 的概率輸掉，使本金減少 1 元。

48% 和 52%，雖然從數字上看來兩個概率相差不大，但是如果一直玩下去，結果就會輸多贏少。因為在這種由偶然性支配的游戲中，概率上的微小差異都會對結果產生巨大影響。

我們來看一下如果將游戲 A 連續進行 400 次，本金會如何變化（圖 132）。在 48% 勝率的支撐下，玩家的本金最初還是有所增加的。但是，隨著游戲次數的增加，本金則越來越少。游戲中獲勝的概率與輸掉的概率相差并不大，但多次進行游戲后，本金最終還是會減少。

這里需要說明一下，圖 132 是我用計算機程序模擬得到的結果。大家也可以用其他方式驗證，比如用一個略微不均衡的硬幣（正反面概率不同）就可以。

下面我們來看游戲 B，游戲 B 的規則有了一些小變化。游戲 B 中，獲勝概率會依據玩家本金的數額（是否為 3 的倍數）而變化。

游戲 B

本金數額為 3 的倍數時，獲勝概率為 1%。除此之外，獲

勝的概率為 85%。

獲勝本金增加 1 元，失敗則本金減少 1 元。

游戲 B 的勝負概率，需要依照當下持有的本金數額，計算上較為繁瑣復雜。這里我還是使用計算機程序來模擬，可以得到大致的結果。圖 133 為游戲 B 進行 400 次后的本金變化結果。

當本金數額不為 3 的倍數時，獲勝的概率為 85%，我們可以舉例子來說明這一點。假設當前的本金是 4 元，4 不是 3 的倍數，因此玩家此時獲勝的概率高達 85%。此時如果玩家決定參與游戲 B，就有 85% 的概率贏，本金就增加 1 元，變成了 5 元。這時，5 也仍然不是 3 的倍數，因此玩家下一輪再進行游戲 B 的話，仍然會有 85%的概率將本金增加到 6 元。

但是，當本金變為 6 時，因為 6 是 3 的倍數，此時玩家獲勝的概率僅有 1%。這就意味本金基本會減少為 5 元。非常有趣的是，曲線此時呈現出了上下波動的現象，即本金“增加 1 元、減少 1 元”的重復循環。在圖 133 中，我們可以很明顯地觀察到這種現象。

不過，隨著游戲的進行，偶爾也會出現連續獲勝或連續輸掉的情況，這時曲線就會暫時擺脫波動循環。但是，從總體而言，本金減少的概率還是高一些，因此本金會逐漸減少下去。

在具體分析了游戲 A 和游戲 B 之后，下面就是我們本節所要探討的焦點問題：“組合游戲 A 和游戲 B，是否可以改變勝敗概率。”

組合的結果

根據目前的信息，可以將游戲 A 和游戲 B 的規則用圖 134 的樹狀圖來呈現。

在前文的計算機模擬中，不論是游戲 A 還是游戲 B，本金最后都是減少。在這種不利的條件下，帕隆多教授究竟想出什么策略可以扭轉局勢呢？

令人驚訝的是，他的思路非常簡單：“將游戲 A、游戲 B 組合，50% 的概率進行游戲 A，50% 概率進行游戲 B。”也就是說，游戲 A和游戲 B 分別以 50% 交替進行。帕隆多教授認為，只要將游戲如此組合設計，就有可能使本金呈現增加的趨勢。

按照帕隆多教授的思路，下一輪進行哪一個游戲，是由概率決定的。這個概率分別設計為 50%，這就意味著增加游戲次數的情況下，基本都不會出現連續進行游戲 A 或游戲 B 的情況。我們可以再用計算機程序進行 400 次模擬，其中游戲 A 進行 200 次，游戲 B 同樣也是 200 次。

不過，原本輸多贏少的游戲 A、游戲 B，以 50% 的概率交替進行，就可以讓本金增加嗎？怎么想都覺得不太靠譜。

我們馬上用計算機程序模擬來看一看結果。將游戲 A 與游戲 B 以 50% 的概率交替進行的形式組合為游戲 C，模擬運行 400 后，就得到了圖 135 的結果。為了與游戲 A、游戲 B 對比，圖中也加入了單獨運行游戲 A、游戲 B 時的結果。

圖 135 中，最上方的曲線就是游戲 C 的模擬結果。游戲 C 是游戲 A 和 B 的組合，但是游戲 C 的本金變化趨勢卻與 A 和 B 截然不同。游戲 C 中的本金是上漲的，而且不是增加一點點兒，是呈現出了整體增加的趨勢。

僅僅是讓游戲 A、B 交替進行，就導致了顛覆性的結果。這究竟是什么原理？

我們先來用圖 134 確認一下游戲的情況。但是圖 134 的樹狀圖，只用來說明“進行游戲 A、游戲 B 的結果如何”。并不能解釋組合 A和 B 后的顛覆性結果。這是因為，由游戲 A、游戲 B 組合而成的游戲 C 是“動態”的。

因此，隨著游戲次數的增多，我們需要考慮游戲 C 中“趨于固定的結果”（這種狀態稱為穩定狀態）。

圖 136 呈現了游戲 A、B、C 各自的變化。這個狀態圖中涵蓋了游戲 A、B、C 所有可能的狀態，即本金除以 3 后余數為 0、1、2 的情況，以及勝負概率、游戲如何繼續的情況。

下面我來具體說明一下這個狀態轉移圖的解讀方法。因游戲 A、 B 的圖的構成機制是相同的，所以這里只選取運行機制更為復雜的游戲 B 進行說明。

在游戲 B 中，當本金除以 3 的余數為 0 時，游戲的勝率只有1%。若游戲獲勝，則本金增加 1 元，增加后的本金除以 3 的余數變為 1。這就是圖中 0 和 1 之間標有 1% 箭頭代表的意思。

當本金除以 3 余數為 2 時，此時本金不能被 3 整除，所以勝率變為 85%，如果獲勝，則本金增加 1 元，增加后的本金除以 3 的余數又變為 0。這就是圖中 2 和 0 之間標有 85% 箭頭代表的意思。

以上分析中選取的都是 1%、85% 的獲勝概率，輸掉的情況原理也是同樣的。類似這樣，當前狀態在概率的影響下變為下一種狀態，這種情況在概率論中稱為“馬爾可夫鏈”。

將游戲 A、B 的狀態變化的概率相加，然后除以 2，就可以制作出游戲 C 的狀態轉移圖。

這種狀態轉移圖表示的是進行一次游戲時的狀態變化，當游戲次數增加時，余數分別為 0、1、2 的概率又會有什么變化呢？將 0、1、2 比例為 1∶5∶8 的游戲進行 200 次，其變化情況如圖 137 ～圖 139 所示。

這里需要說明一下，初始狀態中把余數為 0、1、2 的比例設置為 1∶5∶8，并沒有什么特殊的含義。初始狀態選擇差異較為明顯的比例，會使后續的變化更清晰可見。初始狀態設定為其他比例也是完全可以的。

觀察圖 137 ～圖 139 的變化可知，在三個模擬測試中，雖然最初三者的比例有所波動，但最后都分別穩定在了一個固定的比例上。

獲勝的原因

圖 137 ～圖 139 中賭局 A、B、C 各自的狀態變化有一個共同規律，那就是本金除以 3 的余數為 0、1、2 的情況，都是分別逐漸趨向一個固定比例。我們可以用表 8 來總結一下這個固定比例。

可 以 看 到， 在 游 戲 A 中， 余 數 為 0、1、2 的概率都同樣是33.3%（1/3）。而游戲 B 中，余數為 0 的概率是 43.0% ；余數為 1 的概率是 7.8% ；余數為 2 的概率是 49.2%。在游戲 C 中，三者分別為35.4%、22.7%、41.9%，已經非常接近了（穩定狀態）。

這里正是關鍵所在！請注意，游戲 C 的穩定狀態下，三者的比例并不等于 A 和 B 相應數值相加后除以 2 的值。

要判斷游戲的條件是有利還是不利，還需要計算出游戲進入穩定狀態后的期望值。計算結果顯示，游戲 A、B 的期望值均為負數，而游戲 C 的期望值是正的。如圖 140 所示，對于游戲 A、B、C 中的任意一個游戲而言，將本金為 3 的倍數時勝率設為 p1 ，不是 3 的倍數時勝率設為 p2 ，只要將 p1 、 p2 設置為特定的一組值，就可以在游戲中獲勝。

計算 p1 、 p2 各自概率所對應的期望值。將期望值為正的區間（獲勝的區間）與期望值為負的區間（輸掉的區間）用顏色加以區分，就可以得到圖 141。圖中上方（白色區域）為獲勝區間，下方（灰色區域）為輸掉的區間。通過判斷 p1、 p2 組合的值落入上方區域，還是到了下方區域，游戲的勝負情況也就一目了然了。

如圖 141 所示，游戲 A 的結果為 p p 1 2 = = 0.48（48%），同樣游戲 B 中 p1 = 0.01（1%）、 p2 = 0.85（85%），圖中這兩個游戲的對應的小黑點均位于輸掉游戲的區間。

而游戲 C，即將游戲 A 和游戲 B“以特定的比例組合在一起”時，相應的 p1 、 p2 值的組合也應當位于連接這兩點的線段上。

游戲 C 由游戲 A、游戲 B 分別以 50% 的概率組合而成，因此游戲 C p1、 p2 的位置如圖 142 所示，為連接游戲 A 和游戲 B 線段的中點。

很明顯，代表游戲 C 的點落在了白色獲勝區間內。可見，將兩個輸多贏少的游戲組合起來，確實可以得到一個贏多輸少的游戲。實際上，這個意外的反轉，是由圖中游戲 B 灰色區域的凹陷部分導致的。這也正是帕隆多悖論的奧秘所在。

自帕隆多悖論被提出之后，陸續有一些其他的案例被證明適用于該理論，這些案例都是通過將條件不利的游戲進行組合從而構造出條件有利的游戲。看上去條件不利的游戲，其中其實也隱藏著意外的反轉之道。

01

《數學思考法：解析直覺與謊言》

作者： [日]神永正博

譯者：孫慶媛

《簡單微積分》作者神永正博經典著作！

分析信息真正價值 / 拆解轉化復雜問題 / 破除思維定式陷阱。

通過用數學思維解析實際生活案例、公眾認知中的錯誤直覺、數學經典名題等方式，由淺入深地傳授了分析數據信息價值、辨別謊言、拆解轉化復雜問題、抓住事物本質的思考之法，同時講解了相關的數學知識與理論，可以有效提高理性思維、判斷與解決問題能力。

02

《可變思考：數學與創造性思維》

作者：[日]廣中平祐

譯者：佟凡

日本數學大家、菲爾茲獎得主廣中平祐著作！稻盛和夫力薦，呈現數學家觀察事物的獨特視角與思考方式。

1.稻盛和夫力薦，日本累計銷售10萬冊！

2.菲爾茲獎得主理解“復雜”與“變化”的巧妙視角，用數學的智慧探索創造力的本質

3.講述創造性思維的本質與根源傳授學習、研究、教育中的創造性思維的模式與方法