數學是怎么進步的？數學這門學問的深邃之處在哪？

2012年的一天，日本數學家望月新一（Shinichi Mochizuki）將4篇論文掛到了他的網站上。這些論文的總篇幅超過了600頁，望月新一在論文中宣稱，他解決了ABC猜想——當今數學界最大的難題之一。然而，論文公開后，在很長一段時間內，能讀懂這篇論文的數學家寥寥無幾。望月新一的證明，也成了數學界的一樁懸案。

2017年，《用數學的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》的作者、望月新一的深交摯友、日本數學家加藤文元的一場演講引發了熱議，也帶來了這本書的出版。

這本書雖然是解讀望月新一“跨視宇Teichmüller理論（IUT理論）”的通俗讀本，但閱讀難度不高，通過展現望月新一的數學研究歷程，主要傳遞的還是數學家在做什么？數學家是如何思考的？數學的底層邏輯與深度思考方法等問題。適合眾多對數學感興趣，以及希望學習數學思維的人。

《用數學的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》

作者 | [日]加藤文元

譯者 | 周健

01

為什么在數學里可以不斷

做出新的事情？

在數學工作者的世界里，怎樣才能使自己的理論和想法在世界范圍內被大家所知道，被大家所理解，被大家所認可？數學工作者的世界到底是個怎樣的世界？

對于這樣一些十分基本的情況，我們好像說得還不夠清楚，所以在這里，讓我們來轉換一下心情，先來談一談數學中的一個新理論從它出現到被數學工作者圈子所接受一般要經歷一個怎樣的過程。

那么，在數學的世界里，所謂“做出新的事情”到底是指什么樣的事情呢？對于任何一個數學工作者來說，這樣一個問題大概都會被問到過一次，抱有這個疑問的人應該是很多的。我自己在和普通人談論數學方面的話題時，常常也會被問到這種類型的問題。我們將在后面的章節中看到關于“學校里教的數學”和“研究中的數學”這兩者之間的區別。愛德華·弗倫克爾通過拼圖板的比喻對此做了很巧妙的說明，對于在數學中“做出新的事情”到底是怎么一件事這個問題，從這個比喻性說明來看的話，也能大概得到某種感覺。

但是，在此之前，我們還必須先來回答一個更為根本性的問題，那就是“為什么在數學上做出新的事情是可能的？”。實際上，許多人在向數學工作者提出前面那類問題的時候，他們心里的真實感覺其實是，“在今天這個時代，在數學里還能做出什么新的東西嗎？”

很多人在初中和高中階段就已經被數學折磨得夠嗆，而到了大學階段，對于某些人來說，數學簡直就是個讓人痛不欲生的學科。不過另一方面，有些人卻十分喜愛數學，并且能夠在數學的學習中體會到很多樂趣，這樣的人也不在少數。

不管是哪種情況，對于大多數人來說，數學給人的感覺通常就是“已經完全成熟了”。就拿三角函數、向量、微積分等來說吧，古代的人知不知道這些東西，我們暫且不去深究，但對于我們這些現代人來說，它們是為了闡明自然和宇宙的真理而發現或發明的。

也就是說，它們被刻在自然和宇宙的真理中，它們就像自然和宇宙本身一樣已經建成了，正因如此，才有了它們就是無可非議、無可挑剔、完美無暇的知識的感覺。甚至那些不喜歡數學的人也會有這樣的感覺。

要說數學其實還很不完善，是一門具有很大發展空間的學問，恐怕很多人絕對不會這么想。

但數學確實不是一門“已經完成了的學問”。當然，數學是一門已經存在了幾千年的古老學問，因而可以說，它作為一門學問的成熟度是非常高的。

比如說，在古代巴比倫的黏土板上，我們就發現了一套非常先進和精確的數學知識，那些可都是距今約4000年前的東西了，看到這些材料，不僅是普通人，就連作為數學工作者的我們都會非常吃驚。從數學的漫長歷史來看，可以明確的是，這些知識并不是直線式地連續發展起來的，其中有許多部分都曾經一度衰落或者被遺忘，然后被重新發現，它們走過了一條曲折而復雜的道路。

不過總的來說，數學在人類各種各樣的文明發展史當中，仍然可以算是一門不斷更新、不斷進步的學問。從這個意義上來說，毋庸置疑，數學就是一門歷史悠久、深邃、成熟的學問。

然而，即便是這樣，數學也一直不是完美的。就拿現代數學來說，盡管已經發展到了如此的高度，內容極其精深，我們也絕對不能說，它達到了盡善盡美的程度。實際上，它一直是對新的發展保持開放的。

數學永遠不會有所謂的“完成”或“結束”的時刻，它始終以不完美的狀態而存在著。而且（這么說可能有點兒讓人驚訝）它也是一門可以通過人類的努力而獲得進步的學問。應該說，這反而是數學這門學問的深邃之處。

02

所謂的數學進步

到底是怎么一回事？

數學和其他眾多學科一樣，也是一點一滴從基礎開始慢慢積累，逐漸形成一個學術體系的。所以說，在數學上，所謂的學術進步與發展，也是在其過往的積累之上，進一步構筑新事物的一項事業。就像牛頓曾經說過的那樣，如果說“我”看得比別人更遠些，那是因為“我”站在巨人的肩膀上。

話又說回來，在過去積累的基礎上再增添新的東西，在理解這樣的表達方式的時候，有些地方是需要特別注意的。把現代數學想象成摩天大樓那樣一層一層構筑起來的樣子，這個想法肯定是不對的。因為“積累”這個詞在這里其實包含著非常多的含義。舉例來說，在數學中有初等幾何學這么一個分支。這是一門使用直線、三角形、圓之類的工具來研究幾何圖形的各種性質的數學分支。讀者中，應該有很多人在初中或高中時就學過與這類圖形有關的數學知識。此分支也是我們學習“證明”這個數學中的特有技術的良好素材，但反過來，“證明”這個東西又像是一個魔鬼，給許多人留下了關于數學的不太好的回憶。

初等幾何學也經常被稱為“歐幾里得幾何學”，它是從古希臘就已經開始研究的幾何學。從這個意義上來說，它是一個非常古老的數學分支。這樣說的話，歐幾里得幾何學應該一直延續到了現代數學之中，并在數學的逐層積累的過程中處于非常基礎的位置，而數學的發展就應該是在它之上一層一層地積累新的發現和新的想法，最終發展到了今天這樣的程度，估計有些人會這么想。當然，這個說法總體上來說是沒有問題的，因為像歐幾里得幾何學這樣基礎性的幾何學，毫無疑問就是后來出現的各種各樣的數學理論的基礎。

但是從另一方面來說，歐幾里得幾何學這門學問本身已經是一個“結束了”的東西，今天已經很少有人再對它進行專門的研究了。需要注意的是，我們這里所說的“結束了”并不意味著，它在歷史上的某個時刻已經被人研究完，因而不再有什么需要進一步研究的東西了。這里的意思簡單來說就是，基于某種合理的原因，人們覺得在這個領域已經不再需要追求進步了，目標已經在相當程度上達成了，主要結果也都出來了，再往前走的話也就是清掃一下邊邊角角之類的事情。與其說這是數學上的問題，倒不如說是人類興趣方面的問題。因此，在這里，我們也絕對不能說，歐幾里得幾何學已經在古代的某個時期結束了。

實際上，在歐幾里得幾何學中也有許多事實是古代人并不知道，直到很久以后才被人發現的，這在歷史長河中已經發生過很多次了。比較著名的事例有，18世紀末，年輕的高斯就發現了正17邊形是可以用直尺和圓規作出的（見方框中的小短文“尺規作圖問題介紹”）。

然而，這些研究并不是在與古代幾何研究相同的背景條件下進行的。也就是說，我們并不能說，從古希臘到18世紀末這段很長的時間里，歐幾里得幾何學一直在同一個范式中不斷發展，并且正是在這種連續的積累下，高斯又加進了他的新發現。實際上，作為一個活躍的研究主題，初等幾何學在古代就已經“結束了”。也因為這樣，如果你僅僅從初等幾何學或者初中和高中學過的其他一些已經結束了的數學分支的角度來觀察數學，進而對整個數學形成自己的想法的話，那就很難了解到數學其實是一直處在進步之中的，而這種想法也不無道理。

那么，“新”的數學會以什么形式產生呢？數學是怎樣“進步”的呢？就像Thomas Kuhn所說的，其產生一般會有兩種形式，一種是在“科學的常規發展”中通過連續地積累而產生新事物，另一種則是通過“范式轉型”而產生新事物。

舉例來說，笛卡兒是以引入了坐標系并創立解析幾何學而聞名于世的，這種新事物就產生于上述第2種情況。也就是說，它是與范式轉型相對應的一種進步。通過笛卡兒所開創的這個新的數學范式，確實也能夠在古典的歐幾里得幾何學中得到很多新的結果，但這已經不能算是古代數學所開創的歐幾里得幾何學了。

更進一步地說，笛卡兒的理論并不是在前代數學家們堅持不懈地建造起來的歐幾里得幾何學這個建筑物之上又繼續建造出來的東西，而是已經超越了歐幾里得幾何學，或者如果把話說得再激進一點兒，這是通過把歐幾里得幾何學這種過往的常識徹底打破以后而取得的進步。同樣的說法也適用于19世紀中期相繼出現的“非歐幾里得幾何學”的發現。這個發現具有非常巨大的“破壞力”，因為它完全摧毀了傳統“幾何學”的范式。

01

《用數學的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》

作者：[日]加藤文元

譯者：周健

1.日本天才數學家望月新一，為解決數學界頂級難題“abc猜想”而自建的IUT理論（即宇宙際Teichmüller理論）的解讀讀物，展現理論思考脈絡及其對現代數學體系的重大意義，同時也展示了數學家的思考方法。

2.深度展現數學家在做什么？數學家是如何思考的？數學的底層邏輯與深度思考方法等問題等，以及數學家如何挑戰人類遺留下的最后一個超級難題--ABC預測！

3.望月新一親自作序推薦，日本數學家加藤文元的嘔心瀝血之作，解鎖被遺留下來的數論難題。

02

《用數學的語言看世界（修訂版）》

作者：大栗博司

加州理工學院理論物理研究所所長、東京大學Kavli 數學物理聯合宇宙研究機構研究主任大栗博司贈給女兒的“私房”數學科普讀本。

全書以用“數學語言”解讀自然為線索，用生動故事和比喻重新講解了數學的核心原理與體系，并且講解了把數學作為一門“語言”的思維方式，是數學入門，重新理解數學的科普佳作。