應景趣味數學：1001與7、11、13的整除判定法則

10月1日是中國的國慶節。如果把10月1日記為1001，則國慶節就與趣味數學直接掛鉤了。

先整理一下若干數的整除性判定，簡單且容易記住的法則是：一個數的末尾能被2、5整除的，則原數能被2整除；一個數的數字和能被3、9整除的，原數能被3、9整除；一個數的末兩位或者末三位能夠被4或者8整除，原數能被4或者8整除；一個偶數的數字和能被6整除，原數能被6整除。

現在輪到被7整除的判定法則了，1001這個數將派上用場。

在數論中，1001是一個具有特殊意義的數，其因數分解為 7×11×13。這三個質數兩兩互質，使得1001成為它們的最小公倍數。基于這一特性，數學家總結出一種高效的整除判定法則——三位截斷法，用于快速判斷一個數是否能被7、11或13整除。

一、1001的數論性質

1. 因數分解與質數特性

1001的唯一質因數分解為 7×11×13，這三個質數均為奇質數，且互質。因此，1001是它們的最小公倍數，任何能被1001整除的數必然同時能被7、11、13整除，反之亦然。

2. 模運算中的關鍵性質

由于 103 = 1000 = 1001 - 1，可得：

103 ≡?1(mod7),103 ≡?1(mod11),103 ≡?1(mod13)

這一性質是三位截斷法的核心依據，它表明每三位截斷后的數與原數之間存在特定的同余關系。

二、三位截斷法的原理與推導

1. 法則內容

對于任意正整數 N，將其十進制表示從右向左每三位分一組（不足三位補零），設各組數值從右到左依次為 b?, b?, b?, ..., b?，則：

若該交替和能被7、11或13整除，則原數也能被對應的數整除。

2. 數學證明

以 N = abcdef（六位數）為例，其十進制展開為：

利用 103 ≡ -1 mod 7,11,13，可將高階項化簡：

? 103 ≡ -1, 10? ≡ -10, 10? ≡ -102

代入后得：

即：

這表明，原數可分解為末三位 (def) 與前三位 (abc) 的交替和。

推廣至任意位數，每三位截斷后的交替和即為模運算的簡化形式。

三、應用實例與驗證

1. 基礎驗證

例1：判斷1001的整除性

? 分組：001 | 001 → b?=1, b?=1

? 交替和：1 - 1 = 0

? 結論：0是7、11、13的公倍數，故1001能被三者整除。

例2：判斷123456的整除性

? 分組：456 | 123 → b?=456, b?=123

? 交替和：456 - 123 = 333

? 驗證：

? 333 ÷ 7 = 47余4 → 不被7整除

? 333 ÷ 11 = 30余3 → 不被11整除

? 333 ÷ 13 = 25余8 → 不被13整除

2. 復雜案例

例3：判斷大數9886419543的整除性

? 分組：543 419 886 009

? 交替和：543 - 419 + 886 - 9 = 1001

? 結論：1001是7、11、13的公倍數，故原數能被三者整除。

例4：判斷隨機數1234567890123的整除性

? 分組：123 890 567 234 001

? 交替和：123 - 890 + 567-234 + 1 = -433

? 驗證：

-433 不被7整除 ； -433 不被11整除 ；-433 不被13整除

因此原數不能被7、11和13整除。

四、總結

三位截斷法通過模運算的同余性質，將復雜的大數整除問題轉化為簡單的分組計算。其核心在于利用 103 ≡ -1 mod 7,11,13 的關系，將原數分解為可操作的小組合。該方法不僅適用于7、11、13的判定，還可推廣至其他由質因數組合的數（如77=7×11、91=7×13等），成為數論中兼具理論深度與實用價值的工具。

關鍵要點：

? 1001的質因數分解是三位截斷法的理論基礎。

? 交替和的計算本質是模運算的簡化形式。

? 該方法可快速驗證大數的整除性，避免繁瑣的除法運算。