楊振寧的統計物理遺產：相變與臨界現象

導語

一滴水，在沸騰前的那一刻，內部正醞釀著劇烈而無聲的變革。一根樹枝，在被壓斷前的瞬間，承受著即將崩塌的張力。我們的地球，在溫室氣體持續累積的今天，也正悄然逼近某個未知的“引爆點”。

這，就是“臨界點”——一個系統從一種狀態向另一種狀態發生劇變的門檻。它無處不在，既是宇宙中最基本的法則之一，也是我們這個時代最緊迫的挑戰。為了深入理解這一橫跨多個尺度的深刻概念，我們將開啟一段三部分的探索之旅，從物質的微觀世界出發，途經數學的抽象王國，最終抵達我們賴以生存的藍色星球。

第一部分，我們將回歸物理學的基石，探尋《楊振寧的統計物理遺產：相變與臨界現象》。 在這里，我們將了解科學家如何描述物質“集體行為”的突變——從水結冰到磁鐵失磁。我們將理解什么是相變潛熱，什么是連續相變，并領會楊振寧等物理學巨匠如何為我們搭建起理解臨界現象的理論框架。這是我們的“語言”，是我們描述變化的基礎。

第二部分，我們將視角轉向數學的抽象世界，探索《數學分岔與物理相變：不同領域的平行敘事與統一》。 我們會發現，數學家們用一套名為“分岔理論”的工具，描繪出了與物理相變驚人相似的幾何圖景。滯后分岔、對稱破缺分岔……這些數學概念并非空中樓閣，它們為物理現象提供了嚴謹的結構和深刻的洞見。我們將見證，物理的“是什么”與數學的“怎么樣”在此交匯，共同揭示出臨界現象的普適性。

第三部分，我們將這些理論投射到現實世界，聆聽《地球的脈搏：氣候臨界點及其預警》。 冰蓋的消融、亞馬遜雨林的退化、大西洋環流的崩潰……這些不再是遙遠的科學假說，而是可能由人類活動觸發的真實臨界點。我們將運用前兩部分建立的知識，去理解氣候系統為何如此脆弱，并探討科學家們如何尋找臨界點來臨前的早期預警信號，為我們共同的未來爭取寶貴的時間。

通過這段旅程，我們將發現，無論是物質的相變、數學的分叉，還是地球的未來，都在“臨界”和結構失穩這一概念下被統一起來。理解它，就是理解變化本身，也是為我們這個時代最嚴峻的挑戰尋找答案。現在，讓我們從第一部分開始，深入物質世界的核心。后面兩篇會陸續發布。

邱仲普丨作者

樊京芳｜審核

2025年10月18日，一個消息牽動了全球科學界與華人的心：諾貝爾物理學獎得主、中國科學院院士、世紀物理學家楊振寧先生在北京逝世，享年103歲。

當我們回望楊先生波瀾壯闊的科學生涯，宇稱不守恒的顛覆性洞察與楊-米爾斯規范場的宏偉基石，如同兩座最耀眼的燈塔，定義了現代物理學的格局。然而，在這兩座豐碑之外，楊先生的工作中還隱藏著一片同樣深邃、卻較少被公眾所知的學術大陸——統計物理中的相變與臨界現象。它所揭示的，是宇宙萬物從無序到有序的變遷規律，也為解讀我們星球的命運埋下了深刻的伏筆。

楊振寧先生曾坦言：“我一生三分之一的工作在統計物理。” 這看似一句輕描淡寫的自述，其實是這位科學巨匠對自己學術生涯版圖的宣告。楊振寧90歲壽辰時，清華大學送給他一塊4個側面刻滿其13項主要物理學貢獻的黑色大理石立方體作為壽禮。其中一面展示了楊先生在統計物理領域方面的貢獻，第一項便是“相變”，如圖1所示。

圖1：清華大學贈予楊振寧的“科學立方”（來源：施郁. "物理學之美: 楊振寧的 13 項重要科學貢獻." 物理 43.01 (2014): 57-62.）

水在寒冷的冬天會結冰、被加熱后會發生汽化，這是人們日常生活中常見的現象。物質的狀態在物理學中被稱為“相”，比如水有固相、液相和氣相等，而物質從一種相轉變為另一種相的過程就是“相變”。

其實不只是水，自然界中絕大多數物質都存在相變現象。為了更系統地梳理紛繁復雜的相變現象，奧地利物理學家保羅·埃倫費斯特（Paul Ehrenfest）提出了一套基于熱力學勢的分類方案，用熱力學勢在相變點處的導數的階數（隨參數變化的“光滑程度”）來區分不同的相變。如果在相變點，熱力學勢的一階導數（對應著體積、熵等物理量）出現一個明顯的臺階，這就是一級相變。這意味著系統會吸收或放出大量熱量（即相變潛熱），體積也會發生突變。我們熟悉的水結冰或沸騰，就是最典型的一級相變；而如果一階導數本身是連續的，沒有臺階，但其二階導數（對應著比熱容、壓縮率等物理量）出現了一個尖點或趨向無窮，這就是連續相變。這種相變沒有潛熱，體積變化也是平滑的。如水在臨界溫度和臨界壓強之上，會變成超臨界水，這個過程沒有潛熱產生，屬于二級相變。

在現代物理學中，我們更常用連續相變這個更廣義的詞來概括這類沒有潛熱、狀態連續變化的相變，它包含了埃倫費斯特定義的二級相變以及更高階的相變。因此，區分一個相變是一級相變還是連續相變，往往是相變研究中的首要問題。

與水的三態之間的相變相比，還有一些相變更令人著迷：磁鐵在加熱到一定溫度時，會突然失去鐵磁性，即從鐵磁相轉變為順磁相，稱為順磁-鐵磁相變。1895年，居里夫人的先生——皮埃爾·居里在實驗中發現，磁鐵加熱到一定溫度（這后來被稱為“居里溫度”），會突然失去磁性，實驗如圖 2所示。這個發現，為理論物理學家提出了一個深刻的挑戰：如何從微觀的相互作用出發，解釋宏觀上這種磁性的的突變？

圖2：居里溫度實驗動畫，當鎳周圍溫度達到居里溫度，會失去磁性。動畫中來回擺動的為鎳塊，蠟燭的左側為磁鐵。鎳塊在磁鐵磁場作用下產生磁性，向磁鐵運動，當靠近火焰，達到居里溫度后，失去磁性，遠離磁鐵。此過程不斷重復，鎳塊來回擺動。來源：https://rimstar.org/science_electronics_projects/curie_temperature_ferromagnetism_experiment.htm

面對實驗現象提出的挑戰，外斯（P. Weiss）在1907年首先嘗試了一種看似“粗糙”卻極為強大的模型——平均場理論。它的核心思想，好比在分析一場大型選舉時，我們不關心每個選民的具體想法，而是假設每個人都受到一個“平均民意”的影響。在磁體中，平均場理論假設每個自旋感受到的，并非其鄰居瞬息萬變的真實磁場，而是一個由所有其他自旋共同產生的平均的“有效磁場”。

這一近似取得了成功。它成功地從數學上定性復現了磁性的突然消失。物理學家們似乎找到了解開相變之謎的鑰匙。然而，勝利是短暫的——平均場理論就像一幅印象派畫作，抓住了神韻，卻在細節上失了真。它似乎“抹平”了臨界點附近那些至關重要的、劇烈的漲落。

為了捕捉被平均場理論“抹平”的細節，物理學家需要一個更忠實于微觀現實的模型。這時，歷史舞臺的聚光燈打向了德國物理學家威廉·楞次（Wilhelm Lenz）和他的學生恩斯特·伊辛（Ernst Ising）。楞次在1920年提出了一個精巧的構想，他把鐵磁性材料抽象成由一個個原子構成的晶格，每一個原子都有一個或向上或向下的“自旋”，如圖3所示。自旋之間的相互作用使得相鄰自旋傾向于同向排列，從而使得整個材料呈現出鐵磁性；另一方面，由于熱運動的影響，當溫度升高時自旋的指向會傾向于變得無序。因此，自旋之間的相互作用帶來的有序和溫度帶來的無序便產生了競爭關系，這種競爭關系最終導致了鐵磁體的相變。

圖3：伊辛模型示意圖：晶格上的自旋，傾向于與鄰居保持同向

這個看似簡單的模型，被交給了楞次的學生伊辛。伊辛在1925年的博士論文中，極其“不幸”地選擇了一維模型求解，并得出結論：一維伊辛模型在任何有限溫度下都不會發生相變。這一結論一度讓人們認為，這個模型在更高維度可能也過于簡單，無法捕捉到相變的精髓。

然而，物理學的革命往往在不經意間發生。1944年，當人們還正在從二戰的陰霾中逐步走出時，挪威裔美國化學家、物理學家拉斯·昂薩格（Lars Onsager）（圖4）發表了石破天驚的論文。他利用轉移矩陣法，給出了二維伊辛模型在零外磁場下的嚴格解析解。這個解精確地預言了系統的相變點，并計算出了相變點附近的臨界指數（描述臨界行為的冪指數）。昂薩格的解法之精妙、數學之艱深，在當時被譽為“神來之筆”，它像一道閃電，照亮了統計物理最黑暗的角落，開啟了所謂的“昂薩格革命”。更重要的是，昂薩格解的臨界指數與平均場理論截然不同，它無可辯駁地證明了，在臨界點附近，漲落的作用是決定性的，任何忽略它們的理論都將是錯誤。

圖4：昂薩格

然而，昂薩格的解法并未完全解決伊辛模型的問題。他計算了零外場時的臨界指數，卻未給出弱外場時自發磁化的臨界指數。1949年，他在一個會議上寫下了最終公式，卻未提供證明過程。歷史性的接力棒，交到了當時年僅27歲的楊振寧手中。

1951年，楊振寧發表了論文《二維伊辛模型的自發磁化》，給出了自發磁化強度的完整、嚴格的推導。這篇論文被譽為“統計物理的典范之作”，是楊振寧先生在理論物理學界的第一個“成名作”。它不僅補全了昂薩格工作的一塊拼圖，更以其數學上的優美和物理上的深刻，影響了此后數十年的研究。

楊振寧的第二個里程碑式貢獻，是與合作者李政道先生提出的“李-楊相變定理”。他們將目光從配分函數（一個描述系統所有可能狀態的統計求和，或者說歸一化因子）的實數軸，延拓到了整個復平面。他們證明，熱力學相變的發生，與復平面上“單位圓”內配分函數零點的存在和分布密切相關。這個定理如同一座橋梁，將統計物理與復分析這兩個看似遙遠的領域連接起來，為理解相變的本質提供了全新的數學視角。它揭示了相變不僅僅是物理現象，更是一種深刻的數學結構。（更多內容可以見于淥 、 郝柏林和陳曉松老師合著的科普著作《邊緣奇跡：相變和臨界現象》，圖5所示）。

圖5：《邊緣奇跡：相變和臨界現象》書影

昂薩格的嚴格解和楊振寧的推導，這兩項工作共同構成了對平均場理論的突破。它們提供的精確“靶點”，迫使物理學家們重新思考。為什么伊辛模型的臨界指數與平均場理論不同？為什么不同的物理系統（磁鐵、液體、合金）在相變點附近卻表現出相似的“標度行為”？

對這些問題的解答，指向了相變理論的三大核心支柱：標度性、普適性與重整化群。卡丹諾夫因前兩者榮獲玻爾茲曼獎，威爾遜則因重整化群理論榮膺1982年諾貝爾物理學獎（他亦是首屆玻爾茲曼獎得主）。這一系列突破性進展，共同構成了對平均場理論的超越，而其理論源頭，可追溯至楊振寧等人在“昂薩格革命”中奠定的基石。

而這場革命的余波，至今仍在物理學界激蕩。伊辛模型作為一個“思想富礦”，持續啟發著后來的諾獎工作：2021年，喬治·帕里西因對無序復雜系統（自旋玻璃）的開創性研究獲獎，其核心正是伊辛模型的推廣；2024年，約翰·霍普菲爾德因神經網絡模型獲獎，其靈感也直接源于伊辛模型。值得注意的是，玻爾茲曼獎仿佛成為諾貝爾物理學獎的重要風向標——從威爾遜（1975年）、帕里西（1992年）到霍普菲爾德（2022年），這一脈絡清晰地標示出統計物理與復雜系統研究在當代物理學中的日益凸顯的地位。

作者：邱仲普 北京師范大學系統科學學院在讀博士 審核：樊京芳 北京師范大學系統科學學院教授、院長 出品：中國科協科普部 監制：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

本文轉載自《集智俱樂部》微信公眾號

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