從平面到超空間：探索四元數(shù)分形

在分形藝術(shù)的浩瀚圖景中，曼德博集與朱利亞集以其無限復(fù)雜的二維邊界早已成為經(jīng)典符號(hào)。然而，當(dāng)驅(qū)動(dòng)這些分形的數(shù)學(xué)引擎從二維的復(fù)數(shù)域，遷移至四維的四元數(shù)域時(shí)，一個(gè)更加深邃、結(jié)構(gòu)無比豐富的視覺宇宙便隨之展開。這就是四元數(shù)分形的世界，一場(chǎng)在超空間中進(jìn)行的幾何迭代盛宴。

一、 核心的數(shù)學(xué)躍遷：從復(fù)數(shù)到四元數(shù)

一切始于那個(gè)簡(jiǎn)潔而威力無窮的迭代公式：z = z2 + c。在經(jīng)典分形中，z 和 c 是復(fù)數(shù)，即形式為a + bi的數(shù)，其中i2 = -1。復(fù)數(shù)存在于一個(gè)二維平面上（實(shí)軸和虛軸），因此經(jīng)典的朱利亞集是二維平面上的一個(gè)點(diǎn)集，其邊界呈現(xiàn)出令人驚嘆的細(xì)節(jié)。

四元數(shù)則將這一概念擴(kuò)展至四維。一個(gè)四元數(shù)可表示為：

Q = a + bi + cj + dk

這里，a是實(shí)部，b, c, d是三個(gè)相互獨(dú)立的虛部。虛數(shù)單位i, j, k滿足一套特殊的乘法規(guī)則（如i2 = j2 = k2 = ijk = -1，且乘法不滿足交換律）。這使得四元數(shù)成為一個(gè)四維的超復(fù)數(shù)系統(tǒng)。當(dāng)我們將迭代公式中的變量 z 和常數(shù) c 都定義為四元數(shù)時(shí)，迭代便在一個(gè)我們無法直接想象的四維空間中進(jìn)行。

二、 如何看見四維：三維切片與逃逸時(shí)間算法

人類視覺和計(jì)算機(jī)屏幕本質(zhì)上是三維的。那么，如何可視化一個(gè)四維對(duì)象？答案是：三維切片。

想象一個(gè)四維蘋果。你無法看到整個(gè)蘋果，但可以用一把三維的“刀”去切它，得到一個(gè)三維的橫截面——比如一個(gè)三維的球體（蘋果的某一塊果肉）。對(duì)于四元數(shù)分形，我們采用同樣的策略。我們通常固定四元數(shù)四個(gè)維度中的一個(gè)（例如，令實(shí)部 a 為某個(gè)定值，或令其中一個(gè)虛部系數(shù) d=0），然后觀察在剩下的三個(gè)維度所構(gòu)成的三維空間中，點(diǎn)的行為。

可視化過程依賴于經(jīng)典的逃逸時(shí)間算法：

1. 在這個(gè)選定的三維切片中，建立一個(gè)密集的網(wǎng)格點(diǎn)陣。

2. 將每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)（結(jié)合被固定的那個(gè)維度值）構(gòu)成一個(gè)四元數(shù)，作為迭代初始值z?。

3. 選定一個(gè)固定的四元數(shù)常數(shù)c。

4. 開始迭代：z??? = z?2 + c。

5. 監(jiān)測(cè)每次迭代后四元數(shù) z 的“模長(zhǎng)”（即其到四維原點(diǎn)距離，√(a2+b2+c2+d2)）。如果模長(zhǎng)超過一個(gè)預(yù)設(shè)的逃逸半徑（如 2），則認(rèn)為該點(diǎn)“逃逸”至無窮遠(yuǎn)。

6. 根據(jù)該點(diǎn)逃逸所需的迭代次數(shù)為其著色。那些經(jīng)歷極多次迭代仍保持有界的點(diǎn)，則被認(rèn)為是四維分形集合在該三維切片上的部分，它們構(gòu)成了我們最終看到的固態(tài)結(jié)構(gòu)。

三、 四元數(shù)分形的獨(dú)特魅力

通過這種方法渲染出的四元數(shù)朱利亞集，展現(xiàn)出與二維分形截然不同的美學(xué)與數(shù)學(xué)特征：

· 極其豐富的三維結(jié)構(gòu)：它們不再是二維的曲線或平面區(qū)域，而是擁有體積、孔洞、隧道和復(fù)雜表面的三維實(shí)體。常見的形態(tài)包括：海綿狀結(jié)構(gòu)（無限鏤空的自相似體）、星團(tuán)狀結(jié)構(gòu)、扭曲的絲狀體及有機(jī)的珊瑚狀分支。

· 參數(shù)c的魔力：與二維情況一樣，常數(shù)c的選擇至關(guān)重要。不同的四元數(shù)c值會(huì)生成從近乎球狀的星云到破碎、混沌的碎片等完全不同的三維結(jié)構(gòu)，探索過程充滿驚喜。

· 無限細(xì)節(jié)與自相似性：在任意微小的尺度上放大，都能發(fā)現(xiàn)與整體結(jié)構(gòu)相似的復(fù)雜圖案，這種自相似性是分形的本質(zhì)，在三維空間中表現(xiàn)得更為震撼。

· 計(jì)算的挑戰(zhàn)：由于需要在三維體素網(wǎng)格上進(jìn)行密集迭代，計(jì)算量遠(yuǎn)超二維分形，對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求很高。這也使得每一幅高分辨率渲染圖都是計(jì)算能力的體現(xiàn)。