何新數理研究札記（11）：何新除法新定義與微積分方法的關系

一、
馬克思《數學手稿》將微積分發展劃分為三個階段：
? 神秘的微分學（牛頓、萊布尼茨）
? 理性的微分學（達朗貝爾）
? 純代數的微分學（拉格朗日）
所謂“神秘的微分學”，指 17 末牛頓和萊布尼茲各自獨立地發明了微積分（古典微積分方法），但是由于貝克萊神父隨即提出悖論的質疑。微積分理論遭遇所謂“第二次數學危機”，基礎發生動搖。

牛頓微積分自稱為“流數法”（Method of Fluxions）。萊布尼茲的微積分自稱作“無窮小分析”（拉丁文 Analysis Infinitorum），也稱作“微分算法”（Methodus Differentialis）。

馬克思《數學手稿》描述古典微積分方法如是：
“? 先 取 差 （ D i f f e r e n t i a t i o n ） ， 然 后 再 把 它 揚 棄 ， 這 樣 在 字 ? 上就 導 致 ? 。
理 解 微 分 運 算 時 的 全 部 困 難 （ 正 象 理 解 否 定 的 否 定 本身 時 那 樣 ） ， 恰 恰 在 于 要 看 到 微 分 運 算 是 怎 樣 區 別 于 這 樣 的 簡 單 ?續 并 因 此 導 出 實 際 結 果 的 。”（北大版）
注意馬克思在這里提出了“取差”這個與減法相關的概念。 （ D i f f e r e n t i a t i o n ）

二、
何新新的除法定義認為“除法是簡約化的連續減法”，這個定義突破了傳統算術對除法的靜態釋義，從動態運算本質和哲學辯證視角重構了除法的底層邏輯，為理解除法運算提供了新的思路，具有較高的創新性。

值得注意的是，牛頓與萊布尼茨的微積分方法，在極限理論建立之前，其運算過程完全依賴“連續減法取差”與“除法簡約計數”的雙重操作，這正是何新除法定義的直接體現：

第一步：減法構造“增量差值”
無論是牛頓流數法中的有限增量 \Delta t = t_1-t、\Delta s = s_1-s，還是萊布尼茨微分法中的無窮小增量 dx = x_2-x_1、dy = y_2-y_1，其核心都是通過減法運算剝離變量的“變化部分”——沒有減法取差，就無法捕捉變量的動態增量，這是微積分運算的邏輯起點。
即使是函數增量 f(x+\Delta x)-f(x) 或 f(x+dx)-f(x)，本質仍是減法在函數值域上的延伸。
第二步：除法簡約“連續減法次數”
平均變化率 \frac{\Delta s}{\Delta t} 或微分比值 \frac{dy}{dx}，完全契合何新“除法是簡約化的連續減法”的定義。
從算術邏輯上看，\frac{\Delta s}{\Delta t} 等價于求位移增量 \Delta s 中包含多少個時間增量 \Delta t，這一過程本需通過連續減法 \Delta s - \Delta t - \Delta t - \dots 直至余數小于 \Delta t 來統計次數；除法將重復的減法操作簡約為一步比值運算，提升了運算效率。
萊布尼茨的 \frac{dy}{dx} 處于無窮小尺度，其內核是“無窮小差值的連續減法計數”的符號化表達，只是減法的步長被推向了“趨近于零”的極限狀態。
第三步：極限操作完成“減法-除法”結構的揚棄
牛頓令 \Delta t \to 0 得到瞬時速度，萊布尼茨舍棄 (dx)^2 等高階無窮小以簡化微分關系，這兩步操作并非否定“減法-除法”的底層邏輯，而是對其進行辯證揚棄——當減法步長無窮小時，連續減法的“次數統計”失去直觀意義，于是通過極限操作終止簡約過程，將平均變化率升華為瞬時變化率，最終實現了用靜態算術運算捕捉動態連續變化的核心目標。

三、
何新提出的“除法是簡約化的連續減法”定義，突破了傳統算術對除法的靜態釋義，從動態運算本質重構了除法的底層邏輯。
該定義與牛頓、萊布尼茨時代古典的微積分算法（流數法、微分法）存在運算內核同源、方法結構同構、哲學理念同軌的深度契合。

從運算內核看，減法構造增量差值是微積分的邏輯起點，除法對連續減法的簡約化計數是微積分的核心運算手段，極限操作則是“減法/除法”結構在無窮小尺度下的辯證揚棄。
從方法結構看，牛頓流數法與萊布尼茨微分法雖符號體系與直觀解釋不同，但均遵循“減法取差—除法簡約—極限定型”的統一流程，與何新除法定義完全同構。
從哲學理念看，二者均蘊含“量變到質變”的辯證邏輯，契合馬克思在《數學手稿》中對微積分“先取差、再揚棄差”的“否定之否定”判斷。

結論
何新除法定律與牛頓與萊布尼茲的微積分方法核心目標、底層原理一致，均以無窮小量分析為基礎，均與連續減法操作有關，并且確立微分與積分的互逆關系，用于解決瞬時變化率、曲線切線、圖形面積/體積等問題。
綜上，何新除法定義深刻揭示了初等算術與高等數學之間一脈相承的內在關聯，為理解微積分的運算本質提供了新的哲學視角。