豆瓣8.7，數萬人讀過，真正的初等數論入門讀物！

數論其實就是研究整數性質的數學，被譽為“最純”的數學領域。在20世紀前，數論還一直叫算術呢。

但是，千萬別以為整數就變不出什么花樣。正整數按乘法性質劃分，可以分成質數、合數、1，質數產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等。

也就是說，很多問題雖然形式上十分初等，解決起來卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展，催生了大量的新思想和新方法。很多知名數學家都為數論都發展作出過貢獻，包括費馬、梅森、歐拉、高斯、勒讓德、黎曼、希爾伯特等人。

高斯有過這么一個經典比喻：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。」

——卡爾·弗里德里希·高斯

《數學女王的邀請》，被讀者稱為真正的初等數論入門讀物，作者遠山啟從數的由來說起，如搭積木一般，層層遞進，揭示出整數宇宙的深刻秩序。

《數學女王的邀請：初等數論入門》

作者：[日]遠山啟

譯者：逸寧

01

小學時期的高斯

通過前文的介紹，想必大家已經了解到，用同余式能給計算帶來極大的便利。在簡化計算過程和思考方式等方面，可以說同余式是一項偉大的發明。

同余式是由偉大的數學家高斯（1777—1855）發明的。

高斯于1777年4月30日出生在德國的不倫瑞克。當時的德國由多個小國組成，不倫瑞克也是其中之一。

高斯的父親是一名泥瓦匠，當時高斯的家庭條件比較貧困。高斯在上小學時進入了比特納老師的班級學習。

有一天，比特納老師讓學生們計算從1到40的所有數的總和。

其實，比特納老師當時很有可能只是因為感覺到上課有些疲憊，才故意出了一道題讓學生們做，自己打算利用這段時間稍作休息。

對于小學生而言，得出從1加到40的結果需要花費很長時間，而比特納老師或許是想利用這個間隙在教室里散散步。

然而，比特納老師剛把教鞭放下，高斯就立馬站起來興高采烈地喊道：“我算出來了！”

老師認為這個孩子肯定是哪里搞錯了，于是就走過去瞥了一眼高斯的石板。令老師感到震驚的是，高斯的石板上確實寫著正確答案820，而且他的計算方式并非像其他孩子那樣，將1,2,3,···逐一相加，而是將1和40、2和39、3和38等首尾組合兩兩相加。這樣一來，每組數字相加的結果均為41，一共有20組，所以答案為41×20=820。

比特納老師對此感到震驚不已，沒想到這個孩子竟然獨自發現了等差數列的求和公式。他認為，這個孩子將來一定會成為一名頗有成就的數學家。

后來，比特納老師又從德國的漢堡買來一本數學書送給高斯閱讀。高斯對這本書愛不釋手，并在書的封皮背面寫道：“我很喜歡這本書。”

02

發現“黃金定理”

在比特納老師的學校里，還有一位叫巴特爾斯的年輕教師，他后來成為了俄國喀山大學的教授。巴特爾斯發現了高斯的數學天賦，1788年，他專程前往高斯所在的中學任教。

高斯的父親并不指望自己的兒子能學有所成，而是希望高斯能協助自己的泥瓦匠工作。他甚至覺得，年少的高斯在夜里學習簡直就是在浪費燈油。

不過，高斯的母親卻很支持高斯，她想方設法要讓高斯繼續接受教育。在巴特爾斯老師和母親的努力下，高斯獲得了由布倫斯維克公爵資助的學費。高斯在15歲時考入高中，他不僅要學習數學，還開始學習希臘語和拉丁語等古典語言，并取得了驚人的進步。

在3年大學期間，高斯通讀了過去眾多偉大數學家的著作，最用功學習的是牛頓的《自然哲學的數學原理》。這本不朽的杰作記述了從力學原理到行星運動的方方面面。

另外，在校期間他還致力于數論的研究，并發現了被他稱為“黃金定理”的二次互反律。

除此之外，他還發明了前文中用三條橫線表示的同余式符號。

高斯在18歲時進入著名的哥根廷大學學習。完成學業后，他在1807年到1855年間一直作為教授留校工作，哥根廷大學也因此成為當時世界范圍內的數學研究中心。

不過，高斯在進入大學后也曾為前途感到迷茫，不知自己該成為一名數學家還是一名語言學家。

03

解決正n邊形的作圖問題

高斯在大學的第二年，也就是1796年的3月30日，終于決定要成為一名數學家。

因為在這一天，他發現了正十七邊形的尺規作圖法。想必大家都知道，我們只用直尺和圓規就能畫出正三邊形（等邊三角形）。

另外，我們也能利用尺規作圖法畫出正四邊形、正五邊形和正六邊形。

但是，我們卻無論如何也畫不出正七邊形。古人曾嘗試使用各種方法，最終都以失敗告終了。

自古以來，有很多人研究過用尺規作圖法來畫正多邊形的問題，但只有高斯真正地解決了這個難題。

就在1796年3月30日，高斯發現了正十七邊形的尺規作圖法。

他用數論而非幾何學的方法解決了這個問題，也對“當n為哪些整數時，可以用直尺和圓規作出正n邊形”這一問題做出了完整的解答。

他給出的答案如下：當?(n)=2s且只有滿足該條件時，我們才能用直尺和圓規作出正n邊形（關于?(n)，請參考本書第5章第2節）

由于這一定理的證明過程超出了本書的范圍，所以我在此將其省略。

不過，該定理確實解決了有關正n邊形的難題。我們可以試著將一些具體的數值代入n，即可求得下列?(n)：

因此，我們可以通過?(n)的數值判斷能否利用尺規作圖法畫出正n邊形。

當n＝17時，?(17)=16=24，所以根據高斯發現的定理可知，可以用直尺和圓規作出正十七邊形。

對于高斯而言，1796年3月30日無疑是值得紀念的一天，他也從這一天起開始堅持寫日記。

高斯出身貧寒，為了節約紙張，他在寫日記時故意把字寫得很小、很密。他的這些日記中，記載了大量當時數學領域的重大發現。

04

代數學基本定理

高斯在哥廷根大學的學習生活結束于1798年，這是他在數學領域最活躍、最高產的時期。

其間，他獨立完成了以數論為核心的學術巨著《算術研究》。

1798 年，高斯轉入黑爾姆施泰特大學，之后提交了自己的學位論文。這篇論文的內容便是現今所謂的“代數學基本定理”。

想必一定有讀者學過一元二次方程吧。所謂的一元二次方程，就是指形式為

的方程。該方程的根可以用以下公式表示。

如果根號中的數是正數，那么就是實數。如果根號中的數是負數，那么其結果就是復數而非實數。

也就是說，如果不將數的范圍從實數擴展到復數，那么就無法求解一元二次方程。

反言之，只要擴展到復數就能解開任意一元二次方程。

那么，一元三次方程、一元四次方程等高次方程的情況又如何呢？高斯的學位論文給出了這個問題的答案：

也就是說，只要將數的范圍擴展至復數，那么就能解開包括一元二次方程在內的一元n次方程。

《算術研究》于1801年出版，當時的高斯只有24歲。這本書可以說是高斯最杰出的著作，它的出版對于數學的發展史而言也是具有劃時代意義的重大事件。

此后，高斯在數學的所有領域都取得了驚人的研究成果。可以說，幾乎不存在他不曾涉及的數學領域。

此外，高斯的研究還不僅局限于數學，在天文學、物理學、力學和地質測量等領域也都有他活躍的身影。在電磁學中，至今還在使用“高斯”這個單位。

高斯于1855年2月23日逝世，享年78歲。不過，

只要數學仍在，他的名字就永遠不會消失。

《數學女王的邀請：初等數論入門》

作者：[日]遠山啟

譯者：逸寧

日本長銷數論入門科普讀物，日本學校圖書館協議會選定圖書。

迷倒高斯、費馬、歐拉的“數學女王”，究竟有何魅人魔力？

本書是初等數論入門的通俗科普讀本。書中以身邊的生活之事為例，由淺入深、生動形象地介紹了數的奇妙性質與規律。作者用直觀、易懂的講解，引領讀者去體會數論證明的不可思議與酣暢淋漓，在驚奇與暢快之中提升對數學的理解程度。