對稱與鑲嵌

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

許多瓷磚在它們自己的邊界內(nèi)都有設(shè)計，即便瓷磚內(nèi)部發(fā)生的事情并不影響相鄰瓷磚的拼接，但這種設(shè)計可以極大地改變瓷磚拼接時產(chǎn)生的圖案的外觀。例如，許多方形的浴室瓷磚的圖案都橫跨其中一個邊緣，有的甚至簡單到只有一條線。這些瓷磚可以全部以相同的方式定向，并反復(fù)拼裝，以填充一個表面，也可以以各種方式轉(zhuǎn)動，然后拼裝，如下圖。正是瓷磚的組合方式和每個位置所產(chǎn)生的對稱性導(dǎo)致了整體設(shè)計的產(chǎn)生。

對稱是一種組織設(shè)計中重復(fù)部分的系統(tǒng)。在平面設(shè)計中，有17種方法可以將重復(fù)的部分排列起來，以填充一個曲面（二維設(shè)計）。有7種方式可以排列部件以創(chuàng)造一個線性圖案（一維設(shè)計）。當(dāng)這24種方式加在一起時，是所有表面裝飾圖案的基礎(chǔ)，包括墻紙、紡織品、被子和平面設(shè)計。

對稱性和鑲嵌性不可避免地交織在一起，對其中之一的理解會導(dǎo)致對另一個的更好理解。一維和二維對稱性的原理可以通過練習(xí)的形式呈現(xiàn)，讓你可以進行對稱性的實驗。通過使用紙、剪刀和膠帶，你將以不同的方式移動形狀，看看它們是如何結(jié)合在一起創(chuàng)造出對稱的圖案的。如果你做每一個練習(xí)，你會學(xué)得更輕松、更快速，因為它們有助于澄清概念并給你帶來直接的結(jié)果。當(dāng)你身體力行時，你會看到對稱的原則是多么令人興奮，特別是當(dāng)你能夠?qū)⑺鼈儜?yīng)用到你自己的藝術(shù)作品中時。

無論你的設(shè)計興趣是什么，這些簡單的練習(xí)將讓你發(fā)現(xiàn)一個單一主題可以通過在表面上移動的方式來改變的多種方式。

理解對稱性是很重要的，因為這將使理解創(chuàng)造鑲嵌設(shè)計的原理變得容易得多。你也將有知識創(chuàng)造更多的設(shè)計，通過應(yīng)用各種對稱到你創(chuàng)造的鑲嵌。

花時間仔細閱讀，研究插圖，完成練習(xí)，最重要的是，享受運用你學(xué)到的一切來豐富你自己的設(shè)計。

《城堡要塞》，Jinny Beyer，1981年

這床被子是傳統(tǒng)對稱(P4m)對稱的一個例子。

對稱性導(dǎo)論

圖案和對稱與節(jié)奏和交流一樣古老，存在于每一種文化中，無論多么原始。對稱圍繞著我們，無論是在我們的環(huán)境中自然發(fā)生的，還是由人類的頭腦和手創(chuàng)造的。對稱創(chuàng)造了圖案。這是一個基本的組織原則，一個由重復(fù)部分組成的系統(tǒng)形成了一個設(shè)計。當(dāng)一個非對稱的主題(一個晶格單元)重復(fù)形成一個圖案時，對稱就開始了。圖案如何重復(fù)決定了圖案的外觀，單個單元可以以多種方式重復(fù)，產(chǎn)生許多不同的設(shè)計。對對稱性的清晰理解是創(chuàng)造鑲嵌圖案的關(guān)鍵。

圖2.1 在織物中發(fā)現(xiàn)的圖案的例子。

圖案

圖案是重復(fù)部分的組織或排列。在自然、藝術(shù)和音樂中，一種圖案依賴于三個特征:一個單一的部分或單元，該部分的重復(fù)，以及組織這些重復(fù)部分的系統(tǒng)。研究一下這一頁上的照片就會發(fā)現(xiàn)，每張照片中都有一個重復(fù)形成某種圖案的部分或單元。任何時候一個單元格或一個部分被重復(fù)多次，都會有一個圖案。

自然界充滿了奇妙的圖案和設(shè)計。出去散步時，你可能會在樹葉、樹木、花朵和巖石上辨別出圖案。動物會自然形成一種圖案——鳥類編隊飛行，魚類在池塘游泳，或者成群結(jié)隊地保護自己。一些與生俱來的本能導(dǎo)致它們以對稱的方式行事。蝴蝶的翅膀形成一個圖案，因為一個翅膀是另一個的鏡像；當(dāng)水晶重復(fù)時，雪花形成美麗的圖案；樹枝上的葉子以重復(fù)的方式生長。

圖案和裝飾品與創(chuàng)造一樣古老，圖案的再現(xiàn)在整個人類歷史上一直是一個基本的設(shè)計原則，經(jīng)常受到自然界中發(fā)現(xiàn)的美麗圖案的啟發(fā)?？纯茨愕募?。東方地毯上有圖案，有一塊布料，有墻紙，有鍵盤上按鍵的排列，有窗戶上的玻璃窗。對建筑的研究，無論是歷史的還是現(xiàn)代的，都揭示了重復(fù)的部分，形成了令人賞心悅目的圖案。

織物上的圖案通常由重復(fù)的元素組成。事實上，許多織物都是這樣設(shè)計的，即重復(fù)的元素組合在一起形成一個整體圖案。如這里所示的織物所示，很難看出瓷磚在哪里貼合在一起。圖案的重復(fù)元素可以以不同的方式排列，以形成各種不同的圖案。主題重復(fù)形成圖案的每一種方式都是一種對稱。

對稱的圖案和設(shè)計在自然界、動物行為和建筑中隨處可見?；ò?，葉子，蝴蝶的翅膀，孔雀的羽毛，和雪花顯示出美麗的重復(fù)圖案。本能驅(qū)使動物在成群的鹿、鳥群和魚群中形成對稱的圖案。

學(xué)校主樓單元

圖2.2。Judy Spahn于1983年制作的 "黃房子 "是傳統(tǒng) "學(xué)校之家 "設(shè)計的變體。左邊是用于制作圖案的單體或主單元。

圖2.3。這里展示的是重復(fù)構(gòu)成 "Castle Keep "設(shè)計的較小單元，以及構(gòu)成重復(fù)拼塊的四對鏡像單元。

圖2.4. 傳統(tǒng)拼布被子 "Castle Keep "的細節(jié)。

在過去的25年里，隨著人們對手工藝興趣的復(fù)蘇，成千上萬的人在編織、各種紡織藝術(shù)和被子制作中嘗試了表面設(shè)計。

分析傳統(tǒng)的被子圖案是研究對稱性的一個很好的方法，因為大多數(shù)被子都是由多個重復(fù)形成設(shè)計的單個單元組成的。在傳統(tǒng)的校舍被塊中，塊本身就是重復(fù)形成設(shè)計的單個單元或單元。多個較小的單元首先形成塊的設(shè)計，然后塊在面組的表面上重復(fù)。

對稱的類型

對稱是基本的組織原則；它是一種排列重復(fù)部分以形成圖案的系統(tǒng)。有各種類型的圖案可以用對稱的運動來創(chuàng)造。水仙花、雛菊、吊燈或足球都有對稱性，但在表面設(shè)計中，有兩種對稱圖案需要研究。其中之一是創(chuàng)建一維線性或飾帶對稱圖案的運動，其中重復(fù)部分僅在一個方向上，如圖2.5和2.6所示。

另一種通過對稱運動創(chuàng)建的圖案是二維或墻紙設(shè)計，其中重復(fù)的部分在兩個方向上填充整個表面，如地板上的瓷磚、馬賽克壁畫或被子中的塊。請看圖2.7中的例子。

圖2.5 睡蓮的詳細資料，在拼布邊界和織物邊界上都具有線性對稱。

圖2.6 在印度阿格拉的泰姬陵的建筑細節(jié)中可以看到幾個一維對稱的例子。

圖2.7 二維對稱，來自泰姬陵的細節(jié)。

布料和墻紙的圖案

在現(xiàn)代印刷設(shè)備發(fā)明之前的幾個世紀里，織物的圖案是用木頭雕刻出來的，圖案的重復(fù)是經(jīng)過精心設(shè)計的。將木塊浸入染料中，然后小心翼翼地將其印在布上，直到整個表面都被圖案所覆蓋，這就是費力地印制織物的方法。設(shè)計中的每種顏色都用一塊木版。木版畫在16世紀通過與印度的印花布貿(mào)易傳入歐洲人手中，這種技術(shù)被用于印刷布料和墻紙。

18世紀中期，銅版印刷首次用于布料上。在一塊大銅片上刻著一個圖案，這片銅片和布一樣寬，有一碼長。這種方法一次可以打印更大的表面，從而極大地加快了印刷過程。因為密鋪(平移單元)更大，所以在重復(fù)之前可以有更多的設(shè)計元素。限制是只能印刷一種顏色，所以木版印刷繼續(xù)用于多種顏色的圖案。

織物手工雕版印刷。這種織物正在晾著。大約在1800年。

蘇格蘭雕版，嵌有金屬，用于手工雕版織物。

19世紀初，滾筒印刷機的發(fā)明徹底改變了紡織業(yè)。在這種技術(shù)中，圖案被雕刻在圓柱形的銅輥上，這樣布料就可以連續(xù)印刷，不同的輥對應(yīng)不同的顏色。拼塊的重復(fù)部分是裝在巨大機器上的滾筒的周長。

手工印刷的織物木版。Sanganar，印度。

生成對稱圖案的方法

有四種運動可以產(chǎn)生所有的線性和二維對稱性。這四種運動很容易記住，而且了解它們將有助于你設(shè)計所有對稱和鑲嵌的設(shè)計。

平移

第一種生成圖案的方法叫做平移。在平移中，主要單元是拼塊。它總是朝向同一方向，并橫向、縱向或?qū)蔷€地移動，如圖2.21所示。

旋轉(zhuǎn)

第二種操作單元格的方法是旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)中，主單元格被旋轉(zhuǎn)一定的次數(shù)，旋轉(zhuǎn)次數(shù)取決于主單元格的形狀和旋轉(zhuǎn)的角度。旋轉(zhuǎn)的次數(shù)取決于主單元的形狀和旋轉(zhuǎn)的角度。在旋轉(zhuǎn)中，單元格并沒有被翻轉(zhuǎn)，而只是轉(zhuǎn)動。在圖 2.22 中，等邊三角形旋轉(zhuǎn)了六次，形成了六邊形的拼塊。正方形旋轉(zhuǎn)了四次以創(chuàng)建正方形拼塊，菱形旋轉(zhuǎn)了三次以創(chuàng)建六邊形拼塊，矩形旋轉(zhuǎn)了兩次以創(chuàng)建正方形拼塊。在所有情況下，箭頭都表示旋轉(zhuǎn)發(fā)生的位置。

鏡像

從主單元生成圖案的第三種方法是通過鏡像。這也被稱為“反射”。在鏡像中，主像元的一面或多面被反射。當(dāng)生成具有鏡像的圖案時，您需要創(chuàng)建主單元的兩個版本，一個是另一個的鏡像。想象你有兩個單元格在一塊透明的纖維上。以完全相同的方式將它們疊放在一起，像打開一本書一樣打開上面的那本書。想象一下側(cè)面有一個鉸鏈。本質(zhì)上你是在移動單元，然后翻轉(zhuǎn)它。如果單元格水平移動，它會水平翻轉(zhuǎn)。(這被稱為垂直鏡像，因為鏡像線在垂直方向上延伸。)如果垂直移動，則垂直翻轉(zhuǎn)。(因為鏡像線在水平方向上延伸，所以稱為水平鏡像。)圖2.23中的示例顯示了在一側(cè)、底部、兩側(cè)和底部鏡像的主單元。虛線表示單元的鏡像位置。

滑移

從原始單元生成圖案的第四種方法是滑移?；剖瞧揭坪顽R像(反射)的結(jié)合，因此通常被稱為滑移反射，但我發(fā)現(xiàn)更容易簡單地稱之為滑移。有三種滑移方式，水平滑移、垂直滑移和對角滑移。這些操作可以通過各種方式實現(xiàn)，但這才是最適合我的。對于水平滑移，單元格水平移動并垂直翻轉(zhuǎn)(2.24a)。隨著垂直滑移，單元垂直移動并水平翻轉(zhuǎn)(2.24b)。這與鏡子形成對比，在鏡子中，單元在移動時被翻轉(zhuǎn)到相同的方向。在對角線滑移中，翻轉(zhuǎn)(或反射)發(fā)生在單元的一個角上，然后移動單元，使其側(cè)面鄰接原始單元的兩個側(cè)面中與反射角(2.24c)相鄰的任一側(cè)面。在本文中，由于空間限制和互鎖圖案的相關(guān)性，我們只探索基于水平或垂直滑移的圖案，但是讀者應(yīng)該知道，在基于滑移反射的對稱組中，可以通過主單元的對角滑移來實現(xiàn)附加圖案。

圖2.25 17個二維對稱組中的每一個的圖案。

圖2.26 七個線性對稱組中的每一個的圖案。

這四個操作——平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像和滑移——以及它們的組合將產(chǎn)生7個線性或邊界對稱(也稱為飾帶對稱)和17個二維對稱(通常稱為墻紙對稱)。

圖2.25和2.26顯示了使用17個二維對稱和7個線性對稱創(chuàng)建的設(shè)計示例。對于一些圖案是如何產(chǎn)生的，這似乎是一個完整的謎，但是解決方案非常簡單。如果你多做練習(xí)，研究例子，用不了多久你就能看到一切設(shè)計，找到基本單元，并理解那個設(shè)計是如何產(chǎn)生的。更重要的是，你將能夠使用各種對稱操作來創(chuàng)建自己的設(shè)計。

二維對稱標(biāo)簽

不同的作者和數(shù)學(xué)家用許多不同的方法來標(biāo)記或命名這17個二維對稱群。下面的信息是因為當(dāng)你開始學(xué)習(xí)對稱時，你可能想知道為什么對稱群被這樣標(biāo)記。此時，不要試圖完全理解標(biāo)簽系統(tǒng)。瀏覽這一部分，繼續(xù)讀后文，然后回來再讀一遍這一部分。在你詳細閱讀了每一個對稱群以及它是如何產(chǎn)生的之后，它會變得更有意義。

當(dāng)我第一次開始研究對稱的時候，我發(fā)現(xiàn)標(biāo)記系統(tǒng)讓人迷惑，而對我來說把我自己的標(biāo)簽貼在組上要容易得多。就我如何操縱單元而言，我自己的標(biāo)簽對我來說是最符合邏輯的，而且它們似乎讓我教的學(xué)生對對稱不那么困惑了。然而，隨著我對對稱組越來越熟悉，標(biāo)準的標(biāo)簽開始變得更有意義，我現(xiàn)在可以互換使用它們。這本書將使用標(biāo)簽，我已附加到每個對稱組與縮短標(biāo)準標(biāo)簽旁邊列出在括號。

多麗絲·夏茨施耐德（Doris Schattschneider）在1978年為《美國數(shù)學(xué)月刊》85期撰寫的一篇題為《平面對稱群:它們的識別和記法》的文章中解釋了命名17個二維對稱群的記法系統(tǒng)，該系統(tǒng)已成為標(biāo)準

該系統(tǒng)是晶體學(xué)家用來對晶體進行分類的二維對應(yīng)系統(tǒng)，因此，17個壁紙對稱群有時被稱為二維晶體群。結(jié)晶學(xué)的記法是把圖案作為一個整體來看待，而不一定是各個部分。作為一個設(shè)計師，我更感興趣的是各個部分是如何創(chuàng)造圖案的。在許多情況下，創(chuàng)建同一圖案的方法不止一種，因此有時會造成設(shè)計者對結(jié)晶器符號的混淆。我在這里的目標(biāo)是解釋這個符號系統(tǒng)，因為它對我來說是最有意義的，而且，這樣做也是為了讓其他對創(chuàng)建圖案感興趣的人明白。對于我可能在他們的標(biāo)簽上采取的任何自由行為，我向晶體學(xué)家們表示歉意。我特別感謝凱文·李（Kevin Lee）和多麗絲·夏茨施耐德（Doris Schattschneider）對符號系統(tǒng)的幫助。

圖案的對稱組是對一個主單元所做的所有操作（平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像、滑移）的組合，以創(chuàng)建一個拼塊，通過平移重復(fù)產(chǎn)生圖案，而符號系統(tǒng)則告訴了每個操作是什么。晶體學(xué)系統(tǒng)最多基于四個符號。下面解釋我對這些符號的解釋。其中許多符號已經(jīng)被縮短，以產(chǎn)生現(xiàn)在最常用來描述這些對稱性的標(biāo)準系統(tǒng)。

從標(biāo)簽上從左到右，我的解釋如下:

1.所有組的第一個字母要么是p，要么是c。p代表原始單元(晶體學(xué)家稱之為原始單元)。c代表居中單元(我將其稱為交錯單元)，但它實際上仍然是一個初級單元格。

2. 第二個位置的數(shù)字表示對稱中旋轉(zhuǎn)的最高階數(shù)。在拼塊的成型過程中，旋轉(zhuǎn)發(fā)生在什么位置，由數(shù)字后面的字母決定。凡是數(shù)字后面直接有一個m（表示鏡面）的時候，就表示旋轉(zhuǎn)發(fā)生在鏡面線上。換句話說，單元格必須先被鏡像，然后沿著鏡像形成的角度旋轉(zhuǎn)。如果m出現(xiàn)在另一個字母之后的第四個位置，則必須先旋轉(zhuǎn)單元格，然后再將鏡面應(yīng)用到結(jié)果上。

只包含字母p或c后面跟著一個數(shù)字的對稱組是非常簡單的。記號p1表示一次完整的旋轉(zhuǎn)(360°)就能生成瓷磚。這與對單元格什么都不做本質(zhì)上是一樣的。任何時候，當(dāng)1出現(xiàn)在其他標(biāo)簽中時，它只是作為一個占位符，意味著沒有任何操作。符號p2表示瓷磚旋轉(zhuǎn)2次（180°）；p3表示旋轉(zhuǎn)3次（120°）；p4表示單元格旋轉(zhuǎn)4次（90°）；p6表示單元格旋轉(zhuǎn)6次（60°）。如果標(biāo)簽中沒有數(shù)字，則表示不需要旋轉(zhuǎn)來創(chuàng)建瓷磚。

3.第三個位置(如果標(biāo)簽中沒有數(shù)字，則是第二個位置)是一個字母，表示對主單元的一側(cè)進行的第一個操作(m =鏡像，g =滑移，1 =旋轉(zhuǎn)前沒有操作)。

4.第四個位置(如果標(biāo)簽的第二個位置沒有數(shù)字，則為第三個位置)也是一個字母，表示對單元格的相鄰邊所做的操作。

下表顯示了晶體學(xué)家對17個二維對稱群的標(biāo)記、簡化的標(biāo)準符號、我給這群的名稱和一個簡短的說明。在解釋中，原單元一詞被縮短為單元。描述指出哪些操作生成重復(fù)的密鋪。

注：當(dāng)符號中出現(xiàn)兩個m（mm）時，意味著沿著單元的直角有水平和垂直的鏡像線。

二維對稱群

一維(線性)對稱標(biāo)簽

已經(jīng)有各種各樣的標(biāo)簽加到了線性對稱群上。本文中解釋的符號是最常用的。

每一個線性對稱群都有一個由兩個符號組成的標(biāo)簽——要么是兩個字母，要么是兩個數(shù)字，要么是一個字母和一個數(shù)字的組合。第一個位置總是包含m或a，如果m在第一個位置，則意味著該對稱性將包含垂直鏡像。第一個位置上的1表示沒有垂直鏡面，也沒有其他變化。1，就像在二維對稱中一樣，只是作為一個占位符使用。

第二個位置的符號將是1、2、m或g。1表示沒有變化，是為了完成記號。2表示中點或半圈旋轉(zhuǎn)，g表示滑移，m表示發(fā)生水平鏡像。

我給線性對稱組附上了自己的標(biāo)簽。我的記號以及現(xiàn)在的標(biāo)準標(biāo)簽都列在圖中。

右邊是垂直鏡像和水平鏡像。

一維對稱群

歐若拉，Jinny Beyer, 1989年

為了設(shè)計這個被子，四個大單元被輪換使用。這是風(fēng)車(p4)對稱的一個例子。

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系張大少本尊。