用密鋪理論玩轉穿珠斜紋編織

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

平面密鋪，特別是周期性密鋪，可以作為穿珠編織圖案的基礎，稱為斜紋編織。我們描述了特定的方法來創(chuàng)建復雜而美麗的斜紋編織從周期性的拼塊，通過放置珠子或附近的頂點或邊緣的拼塊和編織在一起的線。我們還介紹了星形拼接的概念及其相關的斜紋編織。我們將創(chuàng)建的斜紋編織組織成幾個類，并探索它們之間的一些關系。然后，我們使用結果來設計許多分層圖案的插圖。最后，我們證明了每一個正常的拼塊都會產(chǎn)生斜紋編織，為進一步探索提供了很多機會。

1.介紹

穿珠編織者通過用針線連接珠子(任何有孔的物體)來創(chuàng)造各種各樣的設計，包括類似機器織物的平織(圖1)。由像罌粟籽一樣小的珠子(因此被稱為種子珠)制成的串珠織物通常用于制作珠寶，尤其是手鐲和項鏈。出于美觀和實用的原因，串珠織物通常設計有圖案，該圖案可以重復以視覺上吸引人的方式覆蓋任意大的區(qū)域。這與平面密鋪的數(shù)學理論有著天然的聯(lián)系。然而，雖然藝術家和數(shù)學家已經(jīng)研究了幾個世紀，但相對來說，很少有人用作珠飾設計。在本文中，我們將探索從平面周期性多邊形密鋪中產(chǎn)生的串珠圖案(我們稱之為斜紋編織)，并表明這僅僅是數(shù)學密鋪中所有可能的串珠設計的冰山一角。

在第二部分，我們將回顧密鋪的數(shù)學理論的思想和符號。我們還將介紹星形密鋪的新概念。在第3、4和5節(jié)中，我們將繼續(xù)探索一些可以從多邊形密鋪中獲得的復雜而美麗的串珠圖案，并提供一些例子和插圖。我們對創(chuàng)建這些圖案的不同方法進行了分類，并探討了它們之間的一些關系。在第六節(jié)中，我們將證明無限類的密鋪，即規(guī)則密鋪，可以作為斜紋編織的基礎，這為將來更多的探索和研究提供了機會。

2. 平面密鋪

在本節(jié)中，我們將簡要回顧密鋪數(shù)學理論中的定義和符號；欲了解更多信息，請參考Grunbaum和Shephard[11]以及Kaplan [12]的著作。我們還將介紹星形密鋪的概念。它將是我們許多串珠圖案的來源。

2.1.正常的多邊形密鋪

平面密鋪是用有限的拼塊覆蓋平面的任何方式，使得沒有間隙并且沒有兩個拼塊重疊。拼塊僅在孤立點(三個或更多拼塊相交的地方)或弧線(兩個拼塊相交的地方)相交。這些點和弧將分別稱為密鋪的頂點和邊。單個拼塊的邊界被分成這些邊和頂點的序列，這些邊和頂點也被稱為拼塊的頂點和邊。如果有可能用平行四邊形的網(wǎng)格覆蓋一個密鋪，使得每個平行四邊形內(nèi)部的圖案是相同的，那么這個密鋪就是周期性的。一個平行四邊形內(nèi)的密鋪塊稱為平移單元，它可以通過定義網(wǎng)格的向量的重復平移來重建整個圖案。我們主要對單個拼塊是多邊形的密鋪感興趣，因為這是我們可以用珠子編織的密鋪。一般來說，多邊形的邊和角不必與密鋪的邊和頂點相對應(例如，見[11，圖1.1.4])。然而，在本文中，我們將關注邊對邊的多邊形密鋪，其中拼塊的邊對應于多邊形的邊，頂點對應于角。為此，我們將在討論中交替使用術語“邊”和“側”(以及“頂點”和“角”)。圖2顯示了周期性多邊形密鋪的三個例子，圓形(代表珠子)放置在每個邊的中點。

圖1：基于平面重復密鋪的平面編織（自上而下順時針方向）：只有頂點珠的 "雪花之星"編織法、超級 RAW 編織法、六角形斜紋編織法和只有頂點珠的阿基米德星編織法（另見跨邊緣編織法部分）。

我們需要為我們的密鋪圖添加另一個技術限制。如圖 3 所示，考慮一個無限嵌套的相似多邊形集合，并添加額外的邊來連接多邊形的相應頂點。那么，包含奇異點的局部就包含了無限多的邊和頂點。由于我們將通過在邊和頂點上縫合珠子來進行斜紋編織，因此這是一個問題！

圖3：不是局部有限的密鋪。

另一個問題出現(xiàn)在拼塊有孔（如圖 4（左））或兩個拼塊在不相交的弧線上接觸（如圖 4（右））的情況。在第一種情況下，串珠織物會直接散開；在第二種情況下，編織時圖案的一部分會脫離其余部分。

圖4：一種密鋪，其拼塊不是簡單連接的，而是在兩條不相交的邊上接觸的拼塊。

為了避免這些問題，我們只討論正常拼塊[11，第 3.2 節(jié)]。如果（1）每個拼塊都是拓撲圓盤（即它沒有孔，如圖 4（左），且環(huán)繞其外側的環(huán)不相交），（2）每兩個拼塊的交點都是一個連集（因此拼塊不能在兩條或兩條以上不相交的邊上相碰，如圖 4（右）），（3）拼塊是均勻有界的（拼塊有最小和最大尺寸，與圖 3 不同），那么這個拼塊就是正常的。在本文中，"密鋪 "一詞僅指正常的多邊形密鋪，通常是周期性密鋪。

2.2. 正則密鋪、阿基米德密鋪和對偶密鋪

密鋪法頂點的價數(shù)是與該頂點相交的邊的數(shù)目或與該頂點相交的拼塊的數(shù)目（對于正則表達式密鋪法而言，這兩個值是等價的）。在所有拼塊都是正多邊形的拼塊法中，頂點的類型是以頂點為中心循環(huán)列出的與頂點相鄰的拼塊的邊數(shù)。因此，如果一個頂點與 n1、n2......、nk邊數(shù)的拼塊相連，那么它的類型就由符號 n1·n2·n3 ... nk 表示。由于有很多方法可以做到這一點（取決于我們從哪塊拼塊開始，以及我們繞頂點的方向），標準的做法是取所有可能性中在詞典圖形上排在第一位的符號。我們使用指數(shù)符號來表示一個圖形連續(xù)重復了幾次；例如，3·12·12 也可以寫成 3·12^2。如果一個平面圖的所有頂點都是同一類型，我們用 (n1·n2·n3 ... nk) 表示該平面圖；這種平面圖稱為阿基米德平面圖，共有 11 個 [11, 第 2.1 節(jié)]。其中包括 (3^6)、(4^4 ) 和 (6^3 ) 正則密鋪，它們都是p^r形式的密鋪圖（圖 2）。有 k 個頂點類型的密鋪，即任何頂點都可以通過密鋪的對稱性指向相同類型的任何其他頂點，稱為 k-uniform 密鋪，用符號表示為 (a1·b1·c1 ...; a2·b2·c2 ...;...; ak·bk·ck ...) 。

給定一個由正多邊形組成的密鋪圖 T，我們在T的每個密鋪圖中心放置一個頂點，并用垂直于 T 邊的邊連接頂點，從而定義它的對偶密鋪圖 T*（例如，見 [12, 第 4.2 節(jié)]）。例如，圖 5 顯示 (4^4 ) 的對偶密鋪是 (4^4 )（因此這個密鋪是對偶的），而 (6^3 ) 的對偶瓦形是 (3^6)（反之亦然）。

圖 5：密鋪圖 4^4 和 6^3 及其對偶密鋪圖（用虛線表示）。

阿基米德密鋪的對偶是11個拉維斯密鋪[12，第4.2節(jié)]。由于阿基米德密鋪的拼塊是正多邊形，因此拉維斯密鋪的頂點也是正多邊形，這意味著如果v條邊在頂點相交，則任意兩條連續(xù)邊之間的角度是360°/v。我們用對偶阿基米德密鋪的符號來表示每個拉維斯密鋪。

2.3.星形密鋪

星形密鋪由多個星形副本組成，如圖6和圖7所示，它們連接在一起形成周期性密鋪。任何多邊形密鋪都可以用來構造星形密鋪。

有n=3個點的星形是一組n個三角形，角與角相交，使得它們的底邊形成一個有n條邊的多邊形(三角形都指向外)。星形的n個點是n個三角形的n個頂點。如果一顆星的所有三角形都是等邊全等的，并且內(nèi)部多邊形是規(guī)則的，那么這顆星就是規(guī)則的(圖7)。如果內(nèi)部多邊形是規(guī)則的，并且三角形都是等腰的(但不一定是等邊的或全等的),并且底邊在內(nèi)部多邊形上，則星形是半規(guī)則的。圖6中的八角星是半規(guī)則的。

圖6：3、4、6、8點的星星。

圖7：3、4、6點的常規(guī)星星。

為了從初始多邊形密鋪創(chuàng)建星形密鋪，我們在每個頂點放置一顆星，如下所示。選擇小于頂點處任一邊長度一半的距離d。在距離頂點d處畫一條垂直于每條邊的線段，其端點與相鄰邊的垂線相交。這些線段將形成頂點在內(nèi)部的多邊形的邊。然后我們在每條邊上放置一個三角形來形成一個星形，這樣星形的點就落在初始密鋪的每條邊的中點上。圖8顯示了在三個規(guī)則密鋪上的這種變換的例子。

圖8：(4^4)、(3^6)和(6^3)的星密鋪：開普勒星、大衛(wèi)星和阿基米德星。

給定的密鋪可能有許多不同的星形密鋪，這取決于距離d的選擇。在本文中，我們將選擇盡可能規(guī)則的星形(盡管這通常不是必需的)。如果所有的星都是正則且全等的，那么星密鋪就是正則的。基于平面(4^4)、(3^6)和(6^3)的三個規(guī)則密鋪，有三個規(guī)則星形密鋪。基于(3^6)的星形密鋪更普遍地稱為阿基米德密鋪(3 6 3 6)；由于六角星類似于大衛(wèi)之星，我們稱這種密鋪(及其相關編織)為大衛(wèi)之星。基于(6^3)的星形密鋪也非常類似于密鋪(3 6 3 6)，除了在(3 6 3 6)的每個三角形內(nèi)有一個附加的三角形；我們稱之為阿基米德之星。我們基于(4^4)繪制的正星形密鋪不是正多邊形的密鋪(八邊形不是正的)，而是類似于兩個均勻的密鋪(3 4 3 12；3 12^2 ).該密鋪由天文學家和數(shù)學家約翰尼斯·開普勒于1619年發(fā)表，因此我們稱開普勒星的一個星密鋪為(4^4)開普勒星密鋪，以紀念他在密鋪理論方面的開創(chuàng)性工作。

如果所有的星都是半正則的，那么星密鋪就是半正則的。任何頂點是正則的密鋪都誘導半正則星形密鋪，因為與每個頂點相關的邊都是以該頂點為中心的正多邊形邊的垂直平分線。特別地，我們可以考慮上一節(jié)提到的11個拉維斯密鋪。除了三個正則星密鋪，兩個基于拉維斯密鋪的半正則星密鋪是雪花之星和夜空。雪花之星是與(3 6 3 6)對偶的星形拼法，即由60顆鉆石(絎縫者稱為嬰兒塊或翻滾塊)組成的密鋪(圖9，左)。雪花之星是由三點和六點的規(guī)則星組成的。夜空是與(4 8 ^ 2)對偶的星密鋪，即圖9中的等腰直角三角形密鋪。

圖9：拉維斯密鋪和它們的星密鋪的例子：雪花之星和夜空。

3. 在邊緣編織珠子：僅邊緣編織和邊緣覆蓋斜紋編織

我們?nèi)绾螌⑵磯K變成串珠圖案？通常，密鋪的斜紋編織是用于將排列在(或靠近，如圖12所示)密鋪的邊緣和頂點上的珠子連接在一起的編織，使得密鋪中每個拼塊上的珠子按順序連接(例如，成環(huán))。最顯而易見的方法是在拼塊的每條邊上都放一個珠子，這樣珠子的孔就與拼塊的相應邊對齊了。這就是所謂的邊緣斜紋編織。圖2顯示了三種常規(guī)密鋪的邊緣珠織圖，圖10顯示了用真正的珠和線編織的這些相同的片段。

圖10：三角形編織(3^6)、原始編織(4^4)和六角編織(6^3)的示例，帶有火拋光的4mm珠子。

編織的方法是將線穿過每個珠子，使圖案中每個拼塊周圍的珠子都用線連接起來。每個拼塊周圍的珠子一般都縫成一個環(huán)形，但圖 2 中的拼塊并沒有暗示特定的穿線路徑，事實上，可以有許多不同的穿線路徑。在實踐中，珠子的大小可能各不相同，或者一條邊上可能有多個珠子。此外，不同的密鋪結構也可以實現(xiàn)相同的邊線編織；例如，許多不同的四邊形密鋪結構都可以實現(xiàn)圖 10 中心所示的直角編織（RAW）。本文描述了五類斜紋編織，取決于珠子放置的位置：純邊斜紋編織、邊和覆蓋斜紋編織、純頂點斜紋編織、頂點和邊斜紋編織以及跨邊斜紋編織。我們從三個最簡單的斜紋編織實例開始，即圖 2 和圖 10 中的常規(guī)純邊緣斜紋編織。

僅邊緣編織的密鋪法（4^4）通常被稱為 RAW，它是所有角編織法中最流行的一種。在谷歌TM上搜索 "直角珠編織"，會出現(xiàn)成千上萬的點擊率。此外，關于 RAW 的書籍和文章即使沒有上百篇，也有幾十本，例如 Prussing [17] 和 DeCoster [1] 所著的書籍和文章。RAW 是如此受歡迎，以至于一些作者和出版商把所有角編織都稱為 RAW 的變體，而不管底層密鋪是否有直角。我們更傾向于使用 "斜紋編織 "這個更籠統(tǒng)的術語，并將 RAW 視為其特例。

比 RAW 少見但也被珠繡編織者使用的是常規(guī)三角編織，它與密鋪法（3^6 ）相對應。Lim [15] 和 Mach [16] 分別提供了使用雙針和單針編織三角形的說明。與其他兩種規(guī)則編織法相比，基于規(guī)則密鋪法（6^3）的六角編織法不太流行，但仍經(jīng)常使用，倫茨 [14] 等藝術家也對其進行了研究。六角編織既快速又容易操作，而且很容易向不同方向編織 [5,6]。圖 11 展示了兩個使用六角編織法編織的手鐲。這兩個手鐲展示了當不同數(shù)量和形狀的珠子被放置在拼塊的不同邊緣時，同樣的角編織會呈現(xiàn)出不同的效果。傳統(tǒng)的祖魯珠飾制作者使用的是一種網(wǎng)狀編織法，這種編織法可以編織出六角形[10]，但珠飾制作者傾向于將網(wǎng)狀編織法與角形編織法區(qū)分開來，因為它們的編織方法不同，即使珠子的排列方式可能相同；網(wǎng)狀編織法是用之字形針法縫制的，而角形編織法是用環(huán)形針法縫制的。在眾多使用角織的設計師中，倫茲 [14] 和謝伊 [18] 尤為著名。

圖11：用 10 號和 11 號種珠編織的六角形編織、用 11 號種珠和小號珠編織的六角形編織。

在更復雜的設計中，頂點周圍通常還會編織其他珠子。在串珠多面體（如圖 15 中的例子）中，倫茲 [13] 將邊珠稱為結構珠，因為它們賦予了編織的基本圖案；普魯辛 [17] 稱它們?yōu)榻徊嬷榛蚬ぷ髦椤Ｆ渌樽颖痪幙椩谶吘壷橹g，以覆蓋線、提供裝飾和穩(wěn)定邊角 [13]。這些覆蓋珠也被稱為穩(wěn)定珠 [13]、中間珠或線套 [17]。這就產(chǎn)生了邊角覆蓋斜紋編織的概念，如圖 12 所示。圖中拼塊為灰色，線為黑色，邊緣珠較大，覆蓋珠較小。

圖12：(3^6)、(4^4)和(6^3)的邊蓋角編織。

在邊覆角編織法中，拼塊的每條邊上都有一顆珠子，每個有 n 個價位的頂點都有 n 個珠子，依次圍繞頂點排列。因此，在這種角編織法中，每個拼塊的每條邊上都有一顆珠子，每個角附近也有一顆珠子，如圖 12 所示。因此，一個有 m 邊的拼塊對應一個由 2 m 個珠子組成的環(huán)。在實踐中，邊覆角編織物可以是硬質(zhì)的，也可以是柔性的，這取決于對圖案和珠子尺寸的選擇。如果編織的是柔性織物，覆蓋珠可以提供很好的錨點，在第一層珠的基礎上編織另一層珠（如圖 15 中的串珠多面體）。

4.頂點編織：僅頂點斜紋編織和頂點邊角斜紋編織

到目前為止，我們已經(jīng)討論了只在邊緣上編織和邊緣覆蓋斜紋編織，這些編織都是通過將珠子放在密鋪圖案的邊緣上，也可能放在頂點附近（即作為蓋珠）來完成的。現(xiàn)在，我們將考慮直接在頂點上放置一顆珠子的問題。如果頂點的價數(shù)是三或更多，那么有多種方法可以確定珠孔的方向，并將珠子與其相鄰的珠子相連。然而，我們將只探討在第 2.3 節(jié)中介紹的星形結構的頂點上放置珠子；在這種情況下，每個頂點的價數(shù)都是4。我們總是選擇頂點珠的方向，使其在孔的兩端分別與兩個邊珠相鄰。雖然任何邊珠的孔的方向都是唯一的，但頂點珠的方向恰好有兩種選擇。（圖 13），而且任一方向都可以織構。

圖13：確定頂點珠方向的兩種方法。

在編織星形圖案時，除了構成星形點的三角形外，我們要在每個多邊形中縫制一個連接珠子的環(huán)。關于三角形，請注意星形圖案的每個頂點都是兩個三角形的交匯點（如果內(nèi)部多邊形恰好是三角形，則不計算在內(nèi)）。我們選擇將頂點珠孔的方向指向這兩個三角形的中心。圖 14 顯示了我們?nèi)绾卧谌切蔚拿總€頂點上排列一顆珠子。我們選擇這種特殊的排列方式，因為這樣可以隱藏珠孔，而且?guī)缀蹩床坏骄€。這種編織方法也可用于其他多邊形，但在實際操作中，三角形的編織通常是最緊湊的，這也是為什么在三角形周圍省略了一圈額外的線的原因。

圖14：三角形上珠子的方向：僅在頂點上，以及在頂點和邊上。

5. 星形編織

星形編織源于之前的串珠工作，特別是八面體簇（圖 15 左）[8]。要制作八面體簇，我們首先要編織一個正八面體的邊緣和封面（圖 15 右）。然后，我們在外層編織一層星形珠子，這些星形珠子通過覆蓋珠子與八面體相連。

圖15：八面體簇狀串珠和邊蓋串珠正八面體。

受這些串珠星形圖案的啟發(fā)，我們創(chuàng)造了星形密鋪法來設計手鏈和扁形吊墜的平面編織。星形編織是由星形密鋪法產(chǎn)生的串珠圖案。

星形編織法的生成分為兩個步驟。我們從一個任意的密鋪開始，然后按照第2.3節(jié)所述將其轉換為星形密鋪。然后，通過在星形編織圖的每條邊（如第 3 節(jié)所述）和每個頂點（如第 4 節(jié)所述）上放置一個或多個珠子，以三種不同方式之一將星形編織圖轉化為斜紋編織圖。正如只在邊上編織的斜紋編織只在邊上編織一樣，只在頂點編織的斜紋編織只在頂點編織，而頂點與邊編織的斜紋編織在頂點和邊上都編織。圖 16 顯示了每個邊上都有珠子的開普勒星拼圖（左圖）、每個頂點和邊上都有珠子的開普勒星拼圖（中圖）以及每個頂點都有珠子的開普勒星拼圖（右圖）。

圖16：只在邊緣、頂點和邊緣以及只在頂點上有珠子的開普勒星（超級 RAW）。

當用珠子編織時，只有邊緣的版本使編織下垂，顯示出線和珠子的孔。對于僅織邊的織物來說，這通常是正確的。因此，出于審美的原因，我們關注另外兩種可能性。對于開普勒的星形編織，使用緊密包裝和更優(yōu)雅的版本，在頂點和邊緣都有珠子，如圖16的中心所示，產(chǎn)生了圖17中的珠子手鐲[2]。當然，圖16中的珠子是理想化的，可以用更大、更小或更多的珠子代替。例如，圖17中的手鐲包含兩種尺寸的種子珠，沿著每個三角形的兩條邊使用兩個小珠。通過精心選擇珠子顏色，營造出一種環(huán)環(huán)相扣的錯覺，進一步增強了設計效果。令人高興的是，開普勒星手鐲中的四角星類似于八面體星團串珠中的星星(圖15，左)。因此，這種星形密鋪的頂點和邊緣編織實現(xiàn)了我們制作珠狀星形平面編織的目標。

圖17：鑲有11號和15號種子珠的開普勒之星手鏈。

現(xiàn)在考慮圖 16 右側所示的只頂點編織；我們稱之為超級 RAW，[7] 提供了相關教程。將其與 (4^4) 的邊緣覆蓋編織法進行比較（圖12，中）。兩種編織中的珠子處于相同的相對位置，但線的路徑不同。線路徑卻不同。特別是，超級 RAW 在（4^4）的每個角落都有額外的線程，將將被覆蓋的珠子連接在一起，形成一個循環(huán)。類似的關系也適用于其他拼塊，這意味著我們可以用不止一種方法生成相同的串珠圖案。有時我們會得到完全相同的圖案，正如我們在后面的定理 2 和 3 中描述的那樣。還有的時候，就像本題一樣，兩種方法得到的珠子排列是一樣的，只是其中一種方法在連接某些珠子時多了一條線。這就是我們第一個定理的本質(zhì)。此外，如果每個頂點有三顆以上的覆蓋珠，就像（4^4）的例子中那樣，額外的線程會對珠子織物的合身性產(chǎn)生明顯的影響。如果每個頂點只有三顆蓋珠（例如 (6^3 )），肉眼或手感上的差異并不明顯，但多穿的線需要更長的縫合時間，并能縫出更結實的織物。

定理1:

設T是一個密鋪。T的星形密鋪的僅頂點編織與T的邊緣覆蓋編織具有相同的珠子圖案，加上在T的頂點連接覆蓋珠子的額外的線。

證明:

正如我們在圖18中所觀察到的，放在T邊上的珠子也在T的相應星形的點上，方向相同。放置在T的頂點附近的珠子與放置在T的星形密鋪中圍繞星的中心的珠子位置和方向相同，但是在星形密鋪中，它們連接在一起形成一個環(huán)。

圖18：T的邊緣覆蓋編織以及T的星形密鋪的純頂點編織。

圖8(中間)顯示了我們?nèi)绾问褂?3^6)來創(chuàng)建大衛(wèi)之星密鋪(3 6 3 6)，圖19顯示了我們?nèi)绾蝺H使用頂點珠子(左)以及頂點和邊珠子(右)在該密鋪上放置珠子。圖1底部所示的圖案與圖19左側的圖案相同(邊界不同)。圖1中的編織是六角編織(6^3的僅邊緣角編織)；我們現(xiàn)在看到它也是(3^6)的星形密鋪的頂點唯一編織。這不是巧合，反映了(3^6)和(6^3)是對偶密鋪的事實。盡管圖1(下)和圖19(左)中的織物使用了兩種顏色，但是所有的珠子都可以制成相同的類型，因此每個環(huán)都具有六個相同的珠子，如圖2和圖10(右)所示。因為(3 6 3 6)中的每個頂點都是同一類型，所以織物中的每個珠子也是同一類型；也就是說，每個珠子相對于周圍的珠子具有相同的螺紋路徑和位置。盡管將六角編織(圖2，右)視為(3^6)的星形密鋪(圖19，左)的頂點編織似乎有些麻煩，但星形圖案很有用，因為它標識了兩種不同的邊類型，當與頂點一起串珠時，創(chuàng)建了更復雜的大衛(wèi)星形圖案(圖19，右)。

圖19：六角織法和大衛(wèi)之星。

大衛(wèi)之星編織幾乎和六角編織一樣簡單。圖20中的三個手鏈展示了用真珠編織大衛(wèi)之星的不同例子。左上方的手鏈經(jīng)過簡化，只使用了兩種珠子。右上角的手鏈則利用了可以在不改變編織其他部分的情況下擴大編織中選定的珠行這一事實。許多其他編織，如開普勒之星，也有同樣的特性。底部的手鏈展示了大衛(wèi)之星編織法的一些邊緣（圖 19 右圖中的粉紅色邊緣）上的小號珠是如何強調(diào)星形圖案的，這也是星形編織法名稱的由來。

圖20：11號和15號種子珠的大衛(wèi)之星手鐲；11號和15號種子珠和4mm晶體；8號和11號種子珠和喇叭珠。

現(xiàn)在來看看 (6^3 ) 的星形編織。圖 8（右）顯示了我們?nèi)绾问褂?(6^3 ) 繪制阿基米德星形編織圖。圖 21 顯示了只使用頂點珠（左）和同時使用頂點珠和邊珠（右）的星形編織圖。正如定理 1 所預言的那樣，只有頂點珠的阿基米德星（圖 21 左）與 (6^3 ) 的邊緣和覆蓋編織法（圖 12 右）的珠子排列相同，只是多了一圈線。對于珠子編織者來說，（6^3 ）的邊緣加覆蓋編織方式是兩種編織方式中更優(yōu)雅的一種，因為它只需要較少的針數(shù)就能編織出相同的珠子織物。然而，如圖 1 左所示，阿基米德星的額外線程為編織補丁的邊界提供了更多可能性。通過觀察邊界，我們可以確定該補丁的線程為阿基米德星。正如我們在之前的 "大衛(wèi)之星 "和 "開普勒之星 "的例子中發(fā)現(xiàn)的那樣，當我們同時使用頂點珠和邊緣珠時，額外的線程也會帶來一種全新的編織方式。這就是阿基米德星編織法（圖 21 右），另一種孔洞特別大的緊密編織法。圖 22 展示了使用這種編織方式編織的手鐲。第一作者提供了編織該手鐲的分步說明[4]。

圖21：只有頂點珠和頂點邊緣珠的阿基米德星。

圖22：鑲有11號和15號種子珠的阿基米德星手鏈。

我們用幾個由拉維斯密鋪織成的星形織物的例子來結束這一節(jié)。夜空密鋪圖(圖9，右)誘發(fā)了兩個美麗的半規(guī)則星形編織。圖23顯示了通過僅在頂點(稱為野餐織物，因為它類似于格子野餐毯)以及在邊緣和頂點(稱為夜空織物)放置珠子獲得的圖案。這些組織的例子如圖24所示。請注意，圖24中的垂飾并沒有顯示出如圖23左側所示的拼塊的相同片段。圖23右側的夜空插圖是圖24右側完整手鐲中使用的片段的子集。第一作者已經(jīng)提供了編織野餐和夜空編織的分步說明[3]。

圖23：野餐編織(僅頂點珠)和夜空(頂點和邊緣珠)。

圖24：帶有8、11和15號種子珠的野餐掛件和帶有8、11和15號種子珠的夜空手鐲。

圖9(左)顯示了我們?nèi)绾问褂美S斯密鋪來生成半規(guī)則的雪花之星密鋪。雪花之星是由三點和六點的規(guī)則星組成的。圖25顯示了雪花之星密鋪如何看起來像帶有邊珠和頂點珠的星形編織。圖1(上圖)顯示了只有頂點的珠子組成的雪花之星組織。

圖25：鑲有 8 號、11 號和 15 號種子珠的雪花之星手鏈。

圖26顯示了兩個使用拉維斯密鋪(3 12^2)生成星形密鋪的只有頂點珠的星形編織的例子。該圖顯示了改變每個頂點上珠子的大小和數(shù)量如何影響最終珠狀織物的紋理。

圖26：僅用頂點珠：8 號和 11 號種子珠以及 8 號、11 號和 15 號種子珠編織的星形拉維斯拼塊 (3 12^2 )。

6. 跨邊緣編織

在本節(jié)中，我們將介紹第五種使用密鋪生成珠形編織的方法。乍一看，這種編織方式與我們之前所見的編織方式大相徑庭，但我們會發(fā)現(xiàn)它與星形編織密切相關。

給定一個拼塊 T，我們分三步創(chuàng)建 T 的跨邊緣編織圖案，以六邊形拼塊為例，如圖 27 所示。首先，我們在 T 的每條邊上放置一顆珠子，珠孔與邊垂直（圖 27 中的矩形）。然后，對于 T 中的每塊拼塊，我們在相鄰邊上的每對珠子之間放置一顆珠子，孔的方向朝向邊上的珠子（圖 27 中的橢圓）。最后，編織的線徑（圖 27 中的虛線）將每個邊緣珠子與拼塊內(nèi)部相鄰的兩個珠子連接起來，同時也將相鄰的兩個內(nèi)部珠子連接起來。

圖27：六邊形拼塊的跨邊緣編織。

圖1顯示了串珠織物的四個跨邊緣組織實例。從頂部順時針方向看，我們有(3 6 3 6)，(4^4)，(6^ 3)和(3^6)的跨邊緣組織。

下面的定理描述了跨邊組織和星形組織之間的關系。

定理2:

設T是一個密鋪，T*是它的對偶密鋪。然后，T的跨邊編織與T*的僅頂點星形編織具有相同的圖案。

證明：

正如我們在圖27中所觀察到的，放置在T的拼塊內(nèi)部的珠子位于一個多邊形的頂點上，該多邊形的邊數(shù)與原始拼塊的邊數(shù)相同；這個數(shù)就是T*對應頂點的化合價。T邊上的珠子位于三角形的點上，三角形的底邊形成了多邊形的邊。所有這些都是以T*頂點為中心的星的頂點。

圖28說明了T = (6^3)的定理2。定理2的一個美麗的結果是，我們可以在一張圖中畫出重疊圖案的序列。圖29顯示了這樣一幅圖可能的樣子。

圖28

圖29：基于定理2對T=(6^3)的設計。

圖 30 展示了 T=(3^6) 的定理 2。圖 29 和圖 30 可視為對偶圖。

圖30：定理 2，T=（3^6 ）。

跨邊編織和星形編織之間的對應關系可以進一步推廣。對于任何單個密鋪法，你都可以想象一種跨邊編織法，即每條邊上都有兩顆珠子（分別位于兩條線路上），在多邊形內(nèi)部，兩顆珠子之間還有一顆額外的珠子。圖 31（左）和 [18] 顯示了 (63 ) 的雙跨邊編織。請注意由 12= 2×6 個珠子組成的環(huán)，以及有兩個珠子將 12 個珠子組成的環(huán)連接在一起（橫跨每條邊）。同樣，我們可以想象一下，在內(nèi)部多邊形的每條邊上放置兩個星點，而不是一個星點，這樣就形成了雙星拼圖（感謝 Florence Turnour）。圖 31 右側是相關的雙星編織圖，每條邊和頂點上都有珠子。請注意，每顆星都有 12 個點，而且星與相鄰星之間有 2 個星點相連。

圖31

對于任何n，當跨邊珠子是三重、四重或n重時，這些結構可以類似地定義。定理3陳述了定理2的相應推廣；證明幾乎相同，所以省略。

定理3:

設T是一個密鋪，T*是它的對偶密鋪。那么，T的n跨邊織紋與T*的僅頂點n星織紋具有相同的圖案。

圖 32 左邊是 T=(4^4 ) 和 n = 1 時的定理 3，右邊是 n = 2 時的定理 3。

圖32：定理 3，T=（44 ），n=1（左），n=2（右）。

7.可編織的密鋪

我們已經(jīng)研究了一些可以通過珠子編織實現(xiàn)的密鋪。在這一節(jié)中，我們要問一個更普遍的問題，即可以用珠子編織哪種密鋪物。我們首先需要更精確地解釋用珠子編織拼塊是什么意思。

由于編織一個無限的拼塊需要無限的時間和金錢，我們實際上是要編織拼塊的有限部分。我們以前曾非正式地使用過密鋪的片段這一術語；現(xiàn)在我們將它定義為其并集是拓撲圓盤(沒有洞的有界連通區(qū)域)的拼塊的子集。如果一個密鋪的片段存在斜紋編織，那么這個片段是可編織的。如果一個密鋪的每個片段都是可織的，那么這個密鋪就是可織的。這是通過沿補片的每條邊(或在每個頂點處或附近，或兩者)放置一個珠子，并通過珠子編織一根線來固定它們的相對位置來實現(xiàn)的。為了在最后得到一片織物，我們希望使用一根任意長的線(盡管它可能會多次穿過給定的珠子)。為了將每個珠子固定到位，線必須將它的兩端與其他珠子連接起來。穿過珠子的連續(xù)的線對應于沿著密鋪的邊緣的路徑。這些提供了密鋪可織的條件。

定義

如果給定一個貼圖的任意片段，沿著該貼圖的邊緣存在一條有限路徑，該路徑至少經(jīng)過該片段的每一條邊緣一次，但不會連續(xù)兩次經(jīng)過任何一條邊緣，那么該貼圖就是（邊緣）可織的。

定理 4：

任何正則密鋪 T 都有一個只經(jīng)過邊緣的斜紋編織，因此是邊緣可織的。此外，線的路徑可以選擇經(jīng)過片段內(nèi)部的任何邊緣兩次，經(jīng)過片段邊界上的任何邊緣一次。

證明：

由于任何正則密鋪T 都是局部有限的，因此 T 的任何拼塊都只包含有限個貼片。為了構建線程路徑，我們首先想象一個線程環(huán)繞每個拼塊的邊界，如圖 33 左側紅色所示。

圖33：為正則密鋪的偏淡構建線程路徑。

我們還考慮了片段的生成樹。更確切地說，我們考慮的是對偶圖的生成樹，該生成樹的頂點位于片段的每個拼塊的中心，如果兩個拼塊相鄰，則通過一條邊連接。圖 33 顯示了的生成樹。現(xiàn)在，我們沿著生成樹的每一條邊，以半扭曲的方式連接線環(huán)，如圖 33 右側所示。這樣得到的路徑就是一個單一的線環(huán)路（因為生成樹不包含循環(huán)），它經(jīng)過任何內(nèi)部邊兩次，任何邊界邊一次。

由于正規(guī)密鋪類是無限的，定理4給出了無限類的可織密鋪(包括，例如，對于任何有限的n，任何規(guī)則密鋪的所有n星密鋪)，它包括最普通的密鋪。雖然我們的證明表明，在用珠子編織給定的密鋪塊時，存在最小的線路徑，但在實踐中，大多數(shù)珠子編織者使用的線路徑不是最優(yōu)的，而是更直觀的。一般的方法是從邊界拼塊開始，并為該拼塊縫制一圈珠子。然后前進到相鄰的拼塊，并為該拼塊縫制一圈珠子，珠子連接到第一個拼塊。編織拼塊的順序通常被選擇成使得在前進到下一行之前一次編織一行拼塊。同時，一些珠子具有非常小的孔，用銼刀或鉆頭擴大它們通常是困難的。因此，知道我們可以用每個珠子最多兩次的方式織出任何一種只織邊的角形織物是很有用的。

重要的是要注意，定理4只說密鋪有一個只有邊的斜紋編織。很容易看出，任何具有僅邊緣斜紋編織的拼塊也具有邊緣和覆蓋斜紋編織(因為線路徑是相同的；我們只是添加更多的珠子)。然而，不清楚任何具有僅邊斜紋編織的密鋪也將具有僅頂點或頂點和邊斜紋編織。

幸運的是，我們僅在星形密鋪的上下文中討論了頂角編織，定理1暗示從正常密鋪T生成的任何星形密鋪T*確實具有僅頂點(因此也是頂點和邊)的斜紋編織。根據(jù)定理4，T將有一個只有邊的織紋，因此是一個邊覆蓋織紋。但是根據(jù)定理1，T*具有與T的邊緣和覆蓋編織相同的珠布置，并且唯一額外的線連接每個星形中的覆蓋珠。但是從圖15中可以清楚地看出，可以在不改變?nèi)魏沃樽拥姆较虻那闆r下，在每個星形處增加額外的線環(huán)，從而產(chǎn)生T*的僅頂點斜紋編織。這也是星形密鋪對珠子編織特別感興趣的另一個原因。

8. 有待進一步研究的領域

周期性密鋪可以創(chuàng)造出無數(shù)美麗的串珠圖案，我們只研究了其中的一小部分。第一作者和弗洛倫斯·特納爾（Florence Turnour）目前正在為珠子編織手工藝者撰寫一本書，書中列舉了許多這些圖案的例子，并解釋了如何用珠子編織它們[9]。除了簡單地編織周期性傾斜之外，還有許多其他有趣的主題值得探索，例如：

·利用珠子的顏色來強調(diào)密鋪物中的各種圖案。

·從非周期性密鋪中創(chuàng)建圖案，例如彭羅斯密鋪和螺旋密鋪。

·用珠子串起 4 價以外的頂點。

·確定是否每個法線密鋪都有一個僅頂點的斜紋編織。

·疊加密鋪描述分層珠飾設計。

·由不同密鋪生成的相似星形組織(以及星形組織的星形組織)之間可能的對應關系。

·將這些想法應用于三維物體，如多面體和三維空間密鋪。

我們希望這篇文章只是密鋪數(shù)學和編珠藝術之間漫長而富有成果的合作的開始。

參考文獻

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[2] G. Fisher, Kepler’s Star: A quick and easy flat weave, beAd Infinitum, Long Beach, CA, 2008.

[3] G. Fisher, Night Sky Weave Star: A flat weave for bracelets and pendants, beAd Infinitum, Long Beach, CA, 2008.

[4] G. Fisher, Archimedes Star: A flat weave for bracelets and pendants, Vol. 12, No. 5, Beadwork Magazine, August/ September 2009.

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[6] G. Fisher, Beaded circle earrings made with hexagon angle weave (video). Available at http://www.youtube.com/watch?v=FAs3mNJ3qyg, accessed February 13, 2012.

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[16] M. Mach, Learn triangle weave. Available at http://www.beadingdaily.com/blogs/daily/archive/2009/04/22/learn-triangle-weave.aspx, April 22, 2009, accessed February 13, 2012.

[17] C. Prussing, Beading with Right Angle Weave (Beadwork How-To Series), Interweave Press, Loveland, CO, 2004.

[18] L. Shea, ‘‘Have a Heart Bracelet,’’ ‘‘Rainbow Mandala,’’ and ‘‘Bridal Party Choker.’’

Available at http://www.bridgesmathart.org/art-exhibits/bridges2007/shea.html, accessed February 13, 2012.

[19] Gwen L. Fishera* and Blake Mellorb, Using tiling theory to generate angle weaves with beads

青山不改，綠水長流，在下告退。

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