用數學展示人類意識：本杰明·貝茨的幾何心理學

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

建筑學中的形態學理論比以往任何時候都更受歡迎，部分原因在于計算技術的飛速發展。然而，如果能從哲學和倫理學的角度來理解這些技術，那么這種快速發展就會更有成效。本杰明-貝茨（Benjamin W. Betts）是維多利亞時代晚期英國的一位建筑師，他被忽視的歷史案例是哲學預設對藝術和建筑形態發生學可計算性理論影響的早期實例。本研究的目的是揭示他的動機和靈感來源，并為他的程序提供一種算法。我們使用了唯一一本關于貝茨作品的書籍以及檔案材料進行研究。貝茨的符號學和他設計的形態發生程序深受理想主義和東方思想的影響。本文中介紹的Python/Grasshopper 算法可以生成二維貝茨圖，既可以作為教育工具，也可以作為欣賞數學形式之美的機會，而且由于參數化，它們還可以提供巨大的多樣性。

形態發生是指形態如何出現、演變和消亡。建筑師總是從自然界的形態變化過程中獲得靈感。達西·溫特沃斯·湯普森（D'arcy Wentworth Thompson，1860-1948 年）在1917年出版的巨著《生長與形態》1 中，首次根據數學原理對生物形態發生進行了系統研究。這種關于形態發生的幾何觀點對早期現代建筑師產生了顯著的影響，這些建筑師了解形態發生的重要性，如勒·柯布西耶、拉斯洛·莫霍利·納吉、密斯·凡德羅、理查德·巴克明斯特·富勒等。它還啟發了雷內·托姆（Rene Thom）于1975年發表的《結構穩定性》一書3 ，該書以托姆的災難理論為基礎，對建筑和城市規劃中的形態研究產生了巨大影響。

形態發生的概念也可用于以高性能建筑為重點的范式轉變，它還可以成為建筑學新理論框架的核心概念。4形態發生與進化、有機建筑、生物仿生學、設計中的進化思維和生成設計算法等概念有關。

近幾十年來，隨著計算技術的飛速發展，形態概念作為一種創造變化和快速原型的工具，比以往任何時候都更加流行和強大。基于生物愿望的計算形態發生在建筑和城市化領域有許多應用。這些應用的靈感直接來源于自然界的進化過程，因此為跨學科對話中“生物數字美學”的出現鋪平了道路。本文為這一活躍的對話增添了被忽視的本杰明·W·貝茨（Benjamin W. Betts）的歷史案例，為研究提供了寶貴的機會。它展示了對形態發生的程序化分步模型的最早嘗試之一；算法本身可用于生成來自維多利亞時代理論的參數對象。貝茨的“幾何心理學 ”比《生長與形態》出版早 20 年，它提供了一個有趣的案例研究，說明建筑師不僅努力使用，而且還發明了自己的形態學理論，從算法的角度來研究形態發生。

本杰明·W·貝茨提出了一種可計算的形態發生方法，這是他同時代的非可計算理論所缺乏的特征。例如，魯道夫·斯坦納（Rudolph Steiner，1861-1925 年）利用形態發生的概念建立了心靈模式與自然和裝飾品模式之間的同構關系。克勞德·法耶特·布拉格頓（Claude Fayette Bragdon，1866-1946年）也將人類心靈模式的形態發生與建筑和四維物體的空間模式聯系起來。但貝茨與斯坦納和布拉格頓的不同之處在于，他的理論易于計算，因此可以轉化為算法。

貝茨是如何提出建筑中的形態發生思想的？我們如何才能開發出一種繪制二維貝茨圖的算法？本文第一部分包括貝茨的生平簡介和思想分析。第二部分將介紹幾何心理學的理論描述以及Python/Grasshopper算法。

本杰明·W·貝茨（1832-？）

關于貝茨作品的唯一書籍是路易莎·庫克（Louisa S. Cook）于1887年收集并出版的《幾何心理學或表象科學，B.W. 貝茨的理論和圖表摘要》（Geometrical Psychology or The Science of Representation, an abstract of theories and diagrams of B.W. Betts），并附有評論和解釋。

尋找設計的數學原理

本杰明·貝茨（Benjamin W. Betts）是一位英國建筑師，他和許多同時代的建筑師和評論家一樣，對維多利亞時代的建筑風格并不滿意。他認為，建筑風格的隨意性是一個值得商榷的假設，必須有一種基于數學的建筑形式生成方法，但不能盲目模仿自然形式。

貝茨出生于1832年，比吉迪昂所說的尋找原則時期（1845-1860年）早10年左右。然而，人們至少可以追溯到19世紀德國建筑師辛克爾（Schinkel）對這一問題的癡迷。在（1820-1830 年）時期，辛克爾一直在尋找一種沒有風格的建筑。他的研究受到德國理想主義的影響，認為建筑形式作為我們意識的對象，應該反映絕對的原則，但這種理想主義也是他失敗的原因，他稱之為“純粹激進抽象的錯誤”，其根源在于他對歷史的否定。17

19世紀中期的英國，也就是貝茨20多歲學習裝飾藝術的時候，風格之爭正如火如荼地進行著，支持和反對特定風格的爭論往往與宗教和民族主義情緒交織在一起。新哥特式建筑及其熱情捍衛者普金（A. W. N. Pugin，1812-1852 年）和約翰·羅斯金（John Ruskin，1819-1900 年）尤其如此。他們認為，基督教建筑具有與異教藝術作品本質上不同的正確風格。

1835年至1851年期間，普金一直在尋找“真正的原則”，他的著作《尖塔和基督教建筑的真正原則》18 和他的建筑裝飾原則19 就是這方面的例子。羅斯金也用了大半生的時間來討伐低級趣味、機器美學和有缺陷的建筑，他自己的原則體現在《建筑的七盞燈》20 等作品中。但是，即使是這些哥特式復興的最偉大的手和大腦，也不滿足于最終的結果，更注重設計的原則而不是特定的風格，既合乎邏輯，也合乎道德。

這些建筑師和評論家也癡迷于真善美的概念。21因此，對他們來說，數學似乎是一個自然的選擇，可以將抽象的原則、真理和美統一到一個連貫的體系中，并將其作為邏輯典范提出來。但這一想法在當時并不流行，部分原因是維多利亞時代的建筑與數學之間的關系存在問題，而這種關系的根源在于19世紀初。貝茨將設計原則抽象化，并將數學作為其工作的基礎。

幾何心理學的誕生

為了找到正確的設計原則，貝茨開始了一段天才與瘋狂交界的旅程。他放棄了一切。他放棄了“大有可為”的事業，放棄了家鄉、家人和朋友，遠走他鄉。貝茨在東方，特別是在印度度過了許多年，與文明隔絕。他相信，他在孤獨的歲月中發現的是真正的形式法則，一種可計算的形態學理論，既適用于有機形式，也適用于精神形式。由于找不到合適的方式來分享他的理想，又不愿意回到家鄉，貝茨決定移居新西蘭。也許他認為，新家能為他提供一個比老家更安寧的工作和學習場所。

靈感來源

他的符號學在哲學和精神上源于理想主義、基督教和佛教。宗教信仰領域的多樣性反映了維多利亞時期英國宗教運動的多樣性和復雜性。除了越來越多的實證主義者之外，我們還可以發現一些藝術家仍然以堅定的基督教價值觀為基礎，將宗教經文作為他們藝術創作的中心主題。然而，東方文化的影響也很強烈，它不僅是一種外圍影響，也是一種動力和靈感來源。

貝茨受到神秘佛教的影響，這似乎是他在印度長期逗留的自然結果。他還相信心靈的力量，并提出他的“表象科學”是一門男性（阿爾法）科學，側重于身體感官，它需要一門實用的女性（歐米茄）對應科學，稱為“決定科學”，側重于心靈感官，他期望“發展這門科學將主要是女性的任務”。

除了東方的影響，貝茨還受到唯心主義和四維空間形態發生思想的啟發，兩者都對其理論的形成和發展產生了深刻的影響。

德國理想主義的影響

貝茨作品中的理想主義影響體現在他對數學符號及其象征意義的選擇、同構概念的使用以及人類心理的階段性進化思想上。

貝茨選擇數學體系的理由是受到約翰·戈特利布·費希特（Johann Gottlieb Fichte，1762-1814 年）的啟發。雖然費希特從未編纂過一套連貫的數學哲學，但他的核心概念確實可以構成一套連貫的數學和幾何學理論。22 貝茨從費希特在1794年出版的《知識的科學》（Wissenschaftslehre）中對幾何學的論述中得到啟發。他欣然接受了這一觀點，并將其發揚光大。

唯心主義也給了貝茨同構的概念，以及建模人類心理進化過程的兼容原則。當時的理想主義心理學家正在研究人類思維的發展模型。他們的研究基于以下原則，所有這些都被貝茨納入了他的理論。首先，應該有可區分的發展階段。這些階段應該以這樣一種方式模擬心理過程和發展階段的流程，即感覺和能力的增加是整個進化模型的連續部分。換句話說，感官和官能的發展應該是一個自下而上的過程。應該指出的是，這種想法并不局限于當時的理想主義者。例如，著名的理性主義生理學家w . b . Carpenter(1813-1885)認為，為了理解人類的心理，必須從最底層開始，遵循感官和官能的“連續復雜性”。24唯心主義還斷言，模型的結構和它們所模擬的過程之間必須存在某種同構。25因此，貝茨認為他應該提出一個人類心理成長漸進階段的幾何模型，一個建立在另一個之上。 從裸露的意識開始，向感官的發展發展，條件是最終的模型應與人類思維結構同構。 基于這些條件，似乎意識形式的增長應該與自然形式的增長是同構的。但對貝茨來說，對心理形態發生的數學原理的研究將他的理論擴展到了第四維度。

四維空間的形態發生

貝茨是19世紀下半葉對四維感興趣的群體中的一員。雖然四維空間的概念早在19世紀之前就出現在科學文獻中，但在1854年黎曼（G. B. F. Riemann，1826-1866 年）提出他的n維流形之后，四維空間的概念變得更加流行。詹姆斯·霍華德·欣頓（James Howard Hinton，1822-1875年）是一名外科醫生和作家，他在自己的理論中使用了四維空間的概念，例如在 1862年出版的《自然界中的生命》中。28 但當時真正對四維空間產生影響的是他的兒子詹姆斯·查爾斯·霍華德·欣頓（James Charles Howard Hinton，1853-1907年），他在1870年至1920年期間對“超空間哲學”產生了重大影響。從1880年出版的《什么是四維空間》開始，查爾斯·欣頓在一系列書籍和文章中將四維空間的觀點應用于多個領域，并提出了一種通過投影將“魔方”的四維空間視覺化的方法29。

根據這些教義，奧地利建筑師魯道夫·斯坦納（1861-1925 年）利用形態發生的概念，在心智模式與自然和裝飾品模式之間建立了同構關系。他的藝術和建筑基于對空間和時間的深奧解釋，包括與人類存在的不同方面相對應的各種空間平面的定義。他認為，適當的建筑形式應源于靈魂，由經過變形過程的意識產生，超越三維的熟悉世界，進入更高維度的精神領域。他寫了很多書，并設計了第二歌德堂等建筑，這些都反映了他關于形態發生的超越能力的思想。克勞德·法耶特·布拉格頓（Claude Fayette Bragdon，1866-1946 年），美國建筑師，將人類思維模式的形態發生與建筑的空間模式聯系起來。布拉格東將人類心智的進步與其空間感知能力聯系起來，認為通過視覺化手段感知更高的維度可將人類從充滿利己主義因素的三維世界中解放出來。30 人類心智的進化與維度復雜性的增加有關，這一觀點促使布拉格東根據四維物體的軸測投影設計出二維裝飾物，他在 1915 年出版的《投影裝飾物》中稱之為“超實體”。

貝茨與斯坦納和布拉格頓的不同之處在于他提出了一種可計算的方法。他發明了自己的數學模型和符號學；他在1887年前就在自己的形態學理論中使用了四維空間，而斯坦納和布拉格頓則是在1900年后才使用這一概念。貝茨的《幾何心理學》提供了一個有趣的案例，研究了建筑師發明自己的形態學理論和設計程序的努力，這是最早從算法角度研究形態發生的努力之一。

批判性回應

雖然新西蘭是一個比英國小得多、不那么復雜的社會，但這個新家園仍然面臨著自身的挑戰。19世紀新西蘭的建筑趨勢或多或少反映了英國的情況，但同時也受到當地快速城市化進程以及社會文化動蕩和矛盾的影響。貝茨在奧克蘭測量部找到了一份三角學“計算器”的工作，并一直干到1887年。這份工作為他提供了穩定的收入來源，讓他有更多的時間研究自己的理論：一種用幾何圖表示人類心理的形態學理論，被稱為幾何心理學或“表象科學”。

貝茨給約翰·羅斯金寫了一封信，其中包括他的理論和圖表。羅斯金除了在建筑評論界有很高的地位外，還是倫敦SPR（心理研究學會）的成員。31 因此，貝茨認為他的系統會吸引羅斯金，因為它既是一個生成裝飾品的數學系統，也是一個可以解釋人類精神力量逐漸發展的模型。羅斯金拒絕了貝茨的觀點，并在一封信中寫道“藝術創作是一種自發的行為，不受機械和嚴格的數學規則的限制"。貝茨的理論并不是“藝術創作的規則”，而是人類心靈形態發生的規則，它可以與自然形態和建筑裝飾同構，同時也是人類精神生命歷程的代表。此外，正如貝茨自己試圖解釋的那樣，貝茨開發的方法并不是確定性的：

“數學定律本身是絕對的、最終的，只要任何知識能夠確定，它們就是確定的，但表象科學的基本定律是形式的不確定性，因此是絕對不確定的。”32

在遭到冷淡拒絕后，貝茨對任何著名評論家愿意評論他的作品不抱什么希望。于是，在 “真正的作品就像他的理論一樣，永遠是男性和女性形式的結合 ”這一信念的驅使下，他給遠在英國的姐姐寄去了一封信和一份手稿。但問題是，他的姐姐無法理解他的理論。于是，她決定把信和圖表給瑪麗·埃弗雷斯特·布爾（1832-1916 年）看，她是布爾代數的創始人喬治·布爾的妻子，也是詹姆斯·欣頓的秘書。

瑪麗·布爾發現貝茨與喬治·布爾走的是同一條路，喬治·布爾在表達邏輯思維的嘗試中使用了代數語言33。她還發現貝茨的圖表既漂亮又有趣，于是開始與貝茨通信。雖然瑪麗·布爾批評貝茨的數學技巧不夠成熟，比如他對數列的使用過于天真，但她還是盡力把貝茨介紹給她認識的科學家。她向詹姆斯·欣頓和威廉·斯波蒂斯伍德（英國皇家學會會長，1887-1883 年）介紹了貝茨的思想。辛頓和斯波蒂斯伍德對貝茨的想法表現出了興趣，但他們顯然沒有時間仔細研究或批判性地評論這些想法。如果貝茨能親自向這些著名科學家介紹自己的觀點，他就能比其他人更好地傳播自己的觀點，但這是貝茨自愿在新西蘭與世隔絕的必然代價。

盡管如此，貝茨仍然是當地科學界的活躍分子。《奧克蘭星報》1887年2月9日對他的 Chromographe機器的報道（圖 1）34 證明，他是當地有名的科學家。1887年7月4日，《新西蘭先驅報》也刊登了一則公告，奧克蘭研究所秘書 T. F. Cheeseman 通知會員們每月舉行一次會議，會上將宣讀貝茨的一篇論文，題為 “關于色彩本質的新實驗”（圖 2）35。

圖1. 從 1887年2月9日《奧克蘭星報》的這篇贊美文章中可以看出，貝茨是當地有名的科學家34。

圖2. 奧克蘭學院宣讀貝茨論文的公告，1887年7月4日35。

貝茨并沒有將自己的想法用于建筑和裝飾品的設計，但他也沒有完全脫離建筑。他為許多建筑發明申請了專利，包括被稱為“自平衡門窗”的門窗系統。他還發明了一種改進的接線或捆綁瓶塞的方法，以防止瓶塞被瓶內的壓力擠出瓶外，他還發明了一種調節貯水池中液體流量的裝置。這些發明告訴我們，正如他自己所指出的，建筑的實用性對他非常重要，但除了他的Chromographe（色譜法）使用了他的形式和色彩理論之外，我們找不到他的任何裝飾性設計。貝茨本人也沒有發表過任何作品。新西蘭國家檔案館和當時的報紙上既沒有他的照片，也沒有他的婚姻或死亡記錄。貝茨的作品在藝術界鮮為人知。新西蘭的雪萊·辛普森小姐是個例外，她根據“Chromogaphe”機器制作了藝術品，還建造了他的專利門系統。W. E. 紐曼（W. E. Newman）在其設計思維方法和構思圖中也提到了貝茨的思想36。

幾何心理學或表象科學

幾何心理學，顧名思義，是對包括人類意識形態在內的自然形態進化的幾何表述，旨在表現人類從最底層到與神意相通的心理進化。它從二維空間開始，擴展到四維空間。

幾何語言

該理論由幾何元素表示，這些元素遵循從二維空間開始到四維空間結束的階段性發展算法。貝茨用幾何語言來描述人類思維的進化。他寫道：

“人類智慧可以通過幾何形式作為思想的符號，以一種確定的、在某種程度上也是絕對的方式，在一系列演變中得到證明"。37

貝茨設計的幾何系統的元素是直線、圓和點，如表1所示。

如(表2)所示，貝茨交替地為他的意識發展階段分配積極和消極的標志。積極階段是客觀的，消極階段是存在和行為的主觀層面。隨著意識進化過程的進行，表現形式在維度復雜性上增加。

表1。幾何心理學的要素。

表2. 形態發生的各個階段。

形式的階段性演變

貝茨從動物的感官意識入手，這種意識具有二維表象。這些樹葉形狀代表了一種沒有持續自我意識的意識形式（圖3和圖4）。

圖3。阿爾法(男性)形態。

圖4。歐米茄(女性)形態。

接下來是理性感官意識階段。這是人類精神發展的開端。這一階段的葉形是正方形，也可以用二維圖來表示，在二維圖中，葉形是雌雄成對的。在這個“自我滿足 ”階段，雄性葉片的頂角小于直角，呈陽性；雌性葉片的頂角大于直角，呈陰性（圖5）。借助貝茨算法的參數化，我們可以比較操作感官數（圓圈數）和開始算術級數的初始值的效果。很明顯，在這一發展階段，所有這些操作的圖表形狀實際上都保持不變。

圖5。阿爾法和歐米伽開始呈現葉子的形狀。

在下一階段，貝茨用一個被稱為“較低的道德”的負號引入了他的圖表中的χ類，其中的級數是不一致的，因為增加了意志的因素。在這里，人類開始按照他們的意愿工作，自我控制開始發展。這些圖表是三維的，它們類似于花朵的花冠。雄花呈喇叭狀，雌花呈鐘狀(圖6)。

圖6。男性和女性的低級道德階段。

心理活動階段緊接著低級道德階段，帶有負號（圖 7）。人類開始“犧牲”自己的個人意志，以便將其與“普遍意志”結合起來。在這里，復合尺度再次出現。這兩個等級之間的差異既可以被解釋為快樂，也可以被解釋為痛苦。這些立體花朵的花冠形狀并無固定規則可循。不規則的花冠形狀，就像葉子的形狀一樣，代表著認知能力發展的不平衡，因為它是不均衡的。

圖7. 通靈階段

擴展到四維空間

最后一個階段被稱為“直覺知識”，具有正極性。這一階段的圖示是四維的，屬于“神秘層面”。他寫道：

“......我們最終到達第五維，或科學的基礎，或完美的知識，我已經說過，這將在把人類的所有形式還原為數字和和諧中完成，就像宇宙球體音樂的元素一樣。”38

當時有幾種可視化四維空間的方法，即斯特林厄姆（W. I. Stringham）、39 查爾斯·欣頓（Charles Hinton）、埃德溫·阿博特（Edwin A. Abbott）40 等人提出的基于三維切割或投影的方法。貝茨用一種類似于投影的方法將這些形式視覺化，并用同樣的方法得出了四維空間的物質形式應該是晶體的結果：

他在第三層地面上繪制了一對對立的形體，并將它們畫在相反的方向上，使它們的反向形體重疊在一起，然后通過穿過其突出點的線條將這些反向形體組合在一起，就得到了各種形狀的晶體，這些晶體根據他所使用的花冠的尺度而有所不同。因此，他推斷，在更高的層面上，物質將是晶體狀的；而當實體性與更超然的客觀性相融合時，物質可能就不再具有抵抗力了'。41 （圖8和圖9）

圖8. 直觀知識階段，四維形式的二維投影。

圖9。直覺知識的階段，一個四維形式的二維投影的表現。

色彩哲學

貝茨根據自己的色彩哲學選擇圖表所用的顏色。貝茨相信，“真正的形式或生命科學將從對色彩所揭示的光的規律的分析中產生”，38 他還申請了“Chromographe”的專利，這種儀器可以根據他的圖表的不同形式產生不同的顏色，以研究他的色彩理論（圖 10 和 11）。

圖10. Chromographe 專利詳細信息（新西蘭國家檔案館--照片由 Shelley Simpson 提供，）。

圖11. Chromographe 制作的藝術品。貝茨認為，歐米茄（女性）的形態表現為深藍色（作品由新西蘭的雪萊·辛普森小姐創作）。

“他用硬紙板或鋅板剪出各種形狀。最明顯的Alpha形會產生美麗的深紅色波紋。與之相對應的 Omega 形則是深藍色；稍加修改后則是橙色和紫色的波浪；而任何以不確定性為主的形狀則主要產生綠色的波浪，他認為這是稚嫩和不完整的顏色"。38

貝茨試圖通過數學的普遍規律來推斷形式美的規律，結果發現這是一種可計算的理論。他用幾何技術和數列表達人類思維過程的“表象科學”，是形態發生學程序化和可計算理論的最早范例之一。

python/grasshopper腳本

我們在此介紹一種Python算法和一個Grasshopper工具（適用于 Rhino 5），用于生成貝茨圖的某些類別。該算法適用于具有單一級數（即 A、H 或 G）的二維圖。首先，我們解釋一下 Grasshopper 的整體方案（圖 12），然后介紹 Python 算法（表 3）。之所以選擇Python，是因為它是一種快速原型腳本語言，而Grasshopper可以在三維建模環境中集成 Python 算法并將其可視化，這對于該算法未來的三維擴展可能非常有用（圖 13）。

圖12。Grasshopper流程。

圖13. 一個男性形體的進化和形態發生，從7個感官/心智能力到100個感官/心智能力的算術級數。中間看似雜亂無章的行為以及重組為原始形態/體驗的重生都非常有趣。

表3 Python算法

grasshopper程序

輸入和輸出變量

Python組件的左側是控制變量，這些變量被輸入到 Python 主算法中，而輸出則控制著形式的演變。輸入變量包括 (級數）級數類型（即算術級數、諧波級數或幾何級數）、級數開始時的（起始）值、公差 (cd)、幾何級數的（系數）、決定角度比例的（phi）、貝茨用字母表示的項數（比例）（即 F 為 6）、實際活動 (phi)、 F 是 6）、實際活動 (x)（如果關閉，則為反向形式）和 (Ω)（如果打開，則為Ω（雌性）形式（默認為α（雄性）形式））。這些控制在通過主算法后會產生兩個輸出列表。第一個列表（ang）決定角度刻度，第二個列表（f）決定線的長度和圓的半徑。這些變量將由方案的其他部分處理。

組件

首先，角度（ang）會被轉換成弧度（由 Rad 組件完成），以輸入矢量旋轉組件，該組件需要為表格的兩半提供正值和負值。然后，輸出矢量將決定從中心點（中心組件）出發的直線切線（由直線組件繪制）或直線方向，其長度由 (f) 輸出決定。圓 “組件從同樣由 ”中心 "組件確定的固定圓心開始，繪制出半徑為（f）的所需數量的同心圓。這些線的端點由 “端點 ”組件確定，標記為與圓的交點，并輸入到 “內插曲線 ”組件，繪制出最終輪廓的兩半，形成平滑的輪廓。

Python算法

Python 腳本組件中的算法首先定義了兩個函數（AP() 和 GP()），用于計算算術級數和幾何級數（第 6-18 行）。算法隨后定義初始列表集，并計算由 (prog) 變量決定的所需序列（第 30-56 行），然后根據計算結果計算角度刻度（第 62-64 行）。然后通過條件語句檢查布爾變量 (x)，并在實際活動切換關閉的情況下反轉正演形式的線長列表（第 66-71 行）。為了計算歐米茄形式，循環將數列倒序：從數列中的最大值 (div) 開始計算圓的半徑（第 73-99 行）。最后一步是逆向計算歐米伽形式的角度列表。(angr) 變量（第 27 行）是 Betts 在表格中使用的實際刻度42 ，用于檢查刻度計算是否正確。要得到 (phi >1)，即角域大于 180° 的歐米伽形式，最好關閉一組線條和曲線組件，以得到接近貝茨所畫的圖表，因為正如他提到的，在這種情況下兩條曲線會重疊。否則，重疊的曲線可能適合應用，也可能不適合應用。

例如，要得到 (V F A 0.5 φ 0.5)，可將項數改為 6（F 是第六個字母），Ω 切換為 true，公差的算術級數為 0.5，phi 為 0.5。正常貝茲圖的起始值均為 0（零）。對于反面形式，將 “實際活動 ”切換設置為 “假”。對于α 表單，將Ω 切換設置為false。只有當 “真實活動 ”切換為 “真 ”時，才會出現歐米茄表格。這是因為正表單不能有歐米茄（雌性）表單。

代碼并不局限于字母表（A-Z），字母表不能超過 24，用戶可以根據需要設置起始值的任意間隔。

通過操作起始值，可以獲得大量的表格。這些形式可能無法與我們的思維活動一一對應，因為貝茨本人也無法做到這一點，但它們讓我們有機會欣賞到數學形式之美，以及由于參數化而帶來的無窮變化。

改進和擴展建議

可以改進Python算法，使其更加靈活，為復數級數提供角度和長度刻度的函數和兩個輸出集。該算法還可以擴展到貝茨提出的色彩哲學。為了提高性能和可移植性，可以用 C 語言編寫更強大的算法。由于算法的本質是模塊化的，因此很容易編輯或添加其他模塊或其他類型的級數到算法中。

通過定義與指定增長曲線相切的圓的法向量，可以添加第三個維度。這將是一個有趣的擴展，因為建筑和城市規劃中的形態發生過程具有三維性質。這樣，人們就可以體驗不同的設置，并產生可用于各種方式的三維物體。如果想測試該理論的極限，也可以通過切割或投影四維圖表來獲得三維物體。

應用

該腳本可用作設計工具或教育工具。作為一個二維設計工具，它是一個相當有限但有趣的腳本。許多圖案系列都可以用作平鋪或貝殼圖案。庫克書中描繪的花形和喇叭形是所有可能的三維圖形中最簡單的一類。因此，如果能將該算法擴展到三維甚至四維空間，那么它將會更加有用，因為這樣就可以用來探索可能的建筑或城市形態族的形態發生。在這方面，該理論的主要弱點在于它沒有描述其提出的實體網絡的互動規則。因此，像 “涌現 ”這樣基于復雜系統內各部分相互作用的形式概念無法應用于該理論。

作為一種教育工具，該腳本可以幫助學生在數學或幾何相關課程中更好地掌握不同幾何設置和算術級數的動態，也可以作為參數化設計演變歷史入門課程的一部分。隨著四維空間在教學中的再次普及，該算法的擴展版本可以通過提供四維物體的三維切面，為學習某些空間特質提供機會。

結論

對于建筑師來說，形態發生一直是一個有趣的概念。1917年，達西·湯普森（D'Arcy Thompson）的《論生長與形態》出版后，建筑師們開始從數學的角度理解形態發生，該書啟發了現代早期從勒-柯布西耶到富勒的許多建筑師。本杰明·W·貝茨編撰了一套可計算的形態發生理論，可應用于自然形態和建筑裝飾。貝茨與斯坦納和布拉格頓一樣，將形態發生的概念與人類思維的進化相對應，并將其領域擴展到了人們所熟悉的三維世界之外。但與同時代人不同的是，他以一種可計算的理論來闡述自己的觀點。

這篇文章從對互聯網上一張令人著迷的圖表的好奇發展成為全面的研究，因為除了理論之外，這個故事及其主人公也給了我們啟發。這個過程挑戰了我們對可計算形態發生學理論發展的歷史理解。我們還了解到，貝茨的理論盡管很有魅力，但卻與建筑史脫節，就像申克爾所說的 “純粹激進抽象的錯誤”，部分原因是它從未以物理形式具體化。因此，當新的形態發生學理論的發展過程被告知建筑的現實性和物質性時，其成果會更加豐碩。

這項研究通過擴展計算形態發生技術和算法的歷史范圍，加強了其在服務于可持續城市化和建筑方面的倫理合理性。為此，我們分析了倫理和哲學體系對建筑學新形態發生理論形成的影響的歷史案例。在這一案例中，貝茨為形態發生學在建筑、數學和人類的愛與想象力之間的建設性對話中的超越能力提供了一個愿景。

參考文獻

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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