只要功夫深，通法有奇效——2025年上海中考數學第25題

只要功夫深，通法有奇效

2025年上海中考數學第25題

在金庸武俠小說《天龍八部》中，有這么一段描寫：“喬峰見旁人退開，驀地心念一動，呼的一拳打出，一招‘沖陣斬將’，也正是‘太祖長拳’中的招數。這一招姿勢既瀟灑大方已極，勁力更是剛中有柔，柔中有剛，武林高手畢生所盼望達到的拳術完美之境，便在這一招中表露無遺。來到這英雄宴中的人物，就算本身武功不是甚高，見識也必廣博，‘太祖拳法’的精要所在，可說無人不知。喬峰一招打出，人人都情不自禁地喝了一聲彩！”

太祖長拳是宋太祖所創，本是軍中所用的基本武術，在宋朝自然很多人知道，但很多人知道，并不代表很多人能用好它。喬峰之所以能將最普通的一抬使得如此精彩，招式本身并不是關鍵，自身的功夫才是精髓。

在初中數學學習中，我們會用到很多這種類似太祖長拳的基本方法，在教材的例題和習題中，到處是它的影子，我們稱之為通法，哪怕到了最燒腦的幾何壓軸題，通法依然是最有效的工具，下面以2025年上海中考數學第25題為例，這道題解法眾多，本文只選取其中一種來說明通法的重要性。

題目

如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點.

(1)當點E是BC中點時

①連接EF，若AE=EF，求證：∠BAE=∠EFC；

②若CF=DF，連接BF交AE于點G，求S△BGE：S△AEF的值；

(2)若AB=3，BC=5，CF=1，且∠AEB=∠EFA=∠EFC，求AF的長.

解析：

01

(1)當點E是中點時，屬于特殊位置.

①通常情況下，證明兩個角相等，我們希望這兩個角能產生關聯，全等三角形或特殊三角形都可以，因此延長AE，交DC延長線于點G，如下圖：

易證△ABE≌△GCE，于是AE=GE，∠BAE=∠G，再根據題目中的AE=EF得EG=EF，于是∠G=∠EFC，所以∠BAE=∠EFC；

②現在E和F點均為中點，我們仍然沿用前面的輔助線，如下圖：

先證明△ABG∽△HFG，并且可得它們的相似比為2:3，于是AG:HG=2:3，設AG=2k，HG=3k，前面又證明過AE=HE，于是AG+EG=HG-EG，所以2EG=HG-AG，可知EG=1/4AG，即EG=1/5AE；

接下來看面積間的關系，S△BGE=1/5S△ABE，而S△ABE=S△HCE，由CF:CH=1:2，可知S△HCE=2/3S△EFH，恰恰S△AEF=S△EFH，于是它們間的關聯建立起來了，S△BGE=1/5S△ABE=1/5S△HCE=1/5×2/3S△EFH=2/15S△EFH=2/15S△AEF，即S△BGE:S△AEF=2:15

02

(2)條件讀完，發現EF是∠AFC的角平分線，且又夾在一組平行線間，所以當我們延長FE之后，便可得到一個等腰三角形，如下圖：

容易得到圖中的△AFG為等腰三角形，不妨設AF=x，于是AG=x，BG=x-3；

我們同樣從題目條件可判斷三組相似三角形，分別是△AEF∽△ECF，△ABE∽△AEG，△EBG∽△ECF，其中第一對相似三角形包含了我們需要的AF，由△AEF∽△ECF得AE:EC=EF:CF和EF2=AF·CF，即EF2=x，EF=√x，再由△ABE∽△AEG得AE2=AB·AG，通過圖中的等腰△AFG得AG=AF=x，于是AE2=3x，則AE=√3x，將所得EF和AE代入到比例式AE:EC=EF:CF中，可求出EC=√3，于是BE=5-√3，再利用△EBG∽△ECF，得BG:CF=BE:CE，可求出x=2+5√3/3.

解題思考

本題解法眾多，所選取的解法從輔助線上來看，均可認為是“中線倍長”法的變式，事實上這個方法追根溯源，在八年級上冊的全等三角形章節，而在八年級下冊平行四邊形章節中，它也屬于常見方法，學生在平時練習中，也大量使用過。中線倍長的關鍵是構造全等三角形，特別是在本題中，還存在平行四邊形，角平分線等條件，因此延長之后可得到的全等、相似非常多，這些輔助線構造出來的新條件，就可用于圖形間的等量轉換.

我們在課堂教學中，通常經由例題和習題，傳授給學生基本的方法，這些方法可稱之為通法，但方法“通”與“不通”，取決于老師在課堂上是否分析透徹，從方法使用的必要性入手，即為什么要用這種方法，再從方法使用的多樣性出發，即在不同圖形情景中，尋找或創造使用方法的條件，最后是歸納方法使用的經驗，完成方法變通法的閉環。

在這個過程中，避免方法套路化，例如見中線就倍長，其實出現中點條件之后，也有可能是構造中位線、斜邊上的中線甚至圓，在教學中盡可能留給學生足夠的思考空間，讓學生自已完成解題經驗的積累，只有這一步進行到位，方法才會變通法。