枚舉幾何新數(shù)學(xué)復(fù)蘇幾何學(xué)最古老的問題

一組數(shù)學(xué)家利用一個相對年輕的理論——枚舉幾何，開始解答數(shù)學(xué)早期的一些問題。

圖源：Kristina Armitage/Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-9-26

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-9-28

歷史背景入門簡介

公元前三世紀(jì)，佩爾加的阿波羅尼烏斯（Apollonius of Perga）問道，可以畫出多少個圓出來，使得與給定3個圓恰好相切于一點。答案花了1800年才得到證明：8個。

這類問題，即求滿足一組幾何條件的解的數(shù)量，是古希臘人最喜愛的。幾千年來，它們一直吸引著數(shù)學(xué)家們。三次曲面上有多少條直線？五次曲面上有多少條二次曲線？（分別為 27 條和 609250 條。）“這些問題真的很難，但理解起來卻很容易，”伊利諾伊大學(xué)厄巴納-香檳分校的數(shù)學(xué)家謝爾頓·卡茨（Sheldon Katz）說道。

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們想要計數(shù)的對象變得越來越復(fù)雜。它成為了一個獨立的研究領(lǐng)域，被稱為枚舉幾何（enumerative geometry）。

數(shù)學(xué)家們能提出的枚舉幾何問題似乎無窮無盡。但到了20世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家們開始失去興趣。幾何學(xué)家們不再局限于具體的計數(shù)問題，而是專注于更普遍的抽象概念和更深層次的真理。除了1990年代的短暫復(fù)興外，枚舉幾何似乎已被徹底擱置。

謝爾頓·卡茨 (Sheldon Katz) 對枚舉幾何和弦理論問題之間的聯(lián)系很感興趣。

圖源：Fred Zwicky

這種情況現(xiàn)在可能正在開始改變。一小群數(shù)學(xué)家找到了將一個已有數(shù)十年歷史的理論應(yīng)用于枚舉問題的方法。研究人員不僅為原始問題提供了解決方案，還為這些問題在無限多奇異數(shù)系中的版本提供了解決方案。“如果一件事你做過一次，那會令人印象深刻，”斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)家 Ravi Vakil 說道。“如果你反復(fù)做，它就成了理論。”

這一理論幫助復(fù)興了枚舉幾何領(lǐng)域，并將其與代數(shù)、拓撲學(xué)和數(shù)論等其他研究領(lǐng)域聯(lián)系起來，賦予了它新的深度和魅力。這項工作也為數(shù)學(xué)家們提供了對各種重要數(shù)系的新見解，遠遠超出了他們最熟悉的數(shù)系。

與此同時，這些結(jié)果在解答問題的同時也引發(fā)了同樣多的問題。該理論不僅給出了數(shù)學(xué)家們尋求的數(shù)字，也提供了他們難以解釋的額外信息。

這一謎團激發(fā)了新一代人才的參與。他們攜手將計數(shù)帶入21世紀(jì)。

向前計數(shù)

所有枚舉幾何問題本質(zhì)上都歸結(jié)為計算空間中的對象數(shù)量。但即使是最簡單的例子，也可能很快變得復(fù)雜。

假設(shè)在一張紙上有兩個相距一定距離的圓。你能畫出多少條直線，使它們恰好與每個圓相切一次？答案是4條：

圖源：Mark Belan/Quanta Magazine

你可以把這兩個圓拉遠，或者把其中一個圓縮小一半，答案都不會改變。但是，如果移動一個圓，讓它像維恩圖那樣與另一個圓相交，答案就會突然改變——從4變成2。把較小的圓完全滑進較大的圓里，答案就變成了0：你無法畫出任何只與這兩個圓相切一次的直線。

這種不一致確實很麻煩。在這個例子中，只有三種不同的配置需要考慮，但問題往往過于復(fù)雜，研究人員無法逐一分析所有可能的情況。你可能找到了一種情況的答案，但你根本不知道當(dāng)情況發(fā)生變化時，答案會發(fā)生怎樣的變化。

在實踐中，數(shù)學(xué)家們會嘗試將問題的幾何約束寫成一系列方程，然后找出有多少個解能夠同時滿足所有這些方程。盡管他們知道解的數(shù)量不會一直保持一致，但他們寫下的方程的本質(zhì)并沒有任何跡象表明他們是否偶然發(fā)現(xiàn)了一個能夠得出不同答案的新配置。

有一個例外——當(dāng)問題用復(fù)數(shù)定義時。復(fù)數(shù)由兩部分組成：“實部”，即一個普通的數(shù)；以及“虛部”，即一個普通數(shù)乘以 ?1 的平方根（數(shù)學(xué)家稱之為 i ）。

在上面的圓和直線的例子中，如果你詢問方程的復(fù)數(shù)解的數(shù)量，無論你看什么排列，你總會得到答案4。

大約在1900年，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)開發(fā)出一些技術(shù)來解決復(fù)數(shù)域中任何枚舉幾何問題。這些技術(shù)無需考慮不同的配置：無論數(shù)學(xué)家得到什么答案，他們都知道對于每種配置，答案都必然成立。

數(shù)學(xué)中最古老的問題之一

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼烏斯曾問過，有多少個圓與三個給定的圓相切。數(shù)學(xué)家們花了近兩千年的時間才證明答案是8個。

圖源：Mark Belan/Quanta Magazine

但是，當(dāng)數(shù)學(xué)家只想求枚舉幾何問題中方程的實數(shù)解的數(shù)量，或者整數(shù)解的數(shù)量時，這些方法就不再有效了。如果他們在復(fù)數(shù)系統(tǒng)以外的任何數(shù)系中求解枚舉幾何問題，矛盾之處又會再次出現(xiàn)。在這些其他數(shù)系中，數(shù)學(xué)家無法系統(tǒng)地解決枚舉問題。

與此同時，當(dāng)數(shù)學(xué)家們將研究范圍局限于整數(shù)或?qū)崝?shù)時，他們所遇到的答案往往神秘、變化莫測，這使得枚舉問題成為探索其他數(shù)系的絕佳途徑——從而更好地理解它們之間的差異以及它們內(nèi)部的對象。數(shù)學(xué)家們認為，開發(fā)處理這些情況的方法將開辟新的、更深層次的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

其中就包括數(shù)學(xué)巨匠大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）。當(dāng)他列出他認為20世紀(jì)最重要的未解問題時，其中就包括了如何使枚舉幾何問題的求解技術(shù)更加嚴(yán)謹。

1960和70年代，亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）及其后繼者發(fā)展了新穎的概念工具，幫助解決了希爾伯特問題，并為現(xiàn)代代數(shù)幾何領(lǐng)域奠定了基礎(chǔ)。由于這些概念過于抽象，非專業(yè)人士難以理解，但數(shù)學(xué)家們試圖理解它們，而最終放棄了枚舉幾何。與此同時，當(dāng)涉及到其他數(shù)系中的枚舉幾何問題時，“我們的技術(shù)卻碰壁了，”卡茨說道。枚舉幾何從未成為希爾伯特設(shè)想中的燈塔；相反，其他研究方向照亮了數(shù)學(xué)家們的道路。

公元前三世紀(jì)，佩爾加的阿波羅尼烏斯（Apollonius of Perga）

枚舉幾何不再是一個核心且活躍的研究領(lǐng)域。卡茨回憶說，1980年代，作為一名年輕的教授，他曾被警告遠離這門學(xué)科，“因為它對我的職業(yè)生涯不利”。

但幾年后，弦理論的發(fā)展暫時讓枚舉幾何重獲新生。弦理論中的許多問題可以用計數(shù)來表述：弦理論家們想要找到某種類型的不同曲線的數(shù)量，這種曲線代表了弦的運動——弦是10維空間中的一維對象，他們認為弦構(gòu)成了宇宙的基石。卡茨說，枚舉幾何“再次變得非常流行”。

但這只是曇花一現(xiàn)。一旦物理學(xué)家們解答了他們的問題，他們就繼續(xù)前進。數(shù)學(xué)家們?nèi)匀蝗狈ζ渌麛?shù)系中枚舉幾何問題的通用框架，也對此興趣不大。其他領(lǐng)域似乎更容易理解。

情況一直如此，直到數(shù)學(xué)家克爾斯滕·維克格倫 （Kirsten Wickelgren）和 杰西·卡斯（Jesse Kass） 突然意識到：枚舉幾何可能提供希爾伯特所希望的那種深刻見解。

鳥瞰圖

卡斯和維克格倫在2000年代末相識，并很快成為了長期的合作伙伴。在很多方面，他們的舉止截然不同。維克格倫熱情洋溢，但又克制而謹慎。每當(dāng)我請她確認我是否理解正確時，她都會停頓片刻，然后堅定地回答“是的，請繼續(xù)”——這是她表達“完全正確，你明白了！”的方式。而卡斯則顯得帶有緊張感的熱情。他很容易激動，而且語速飛快。

克爾斯滕·維克格倫（Kirsten Wickelgren）一直在使用一套復(fù)雜的數(shù)學(xué)技術(shù)來探索數(shù)字的基本性質(zhì)。

圖源：Joseph Rabinoff

但卡斯和維克格倫合作得很好，并且有很多共同的興趣——包括熱衷于將幾何學(xué)的影響力擴展到其他領(lǐng)域。

2015 年，卡斯路過維克格倫居住的亞特蘭大，決定向她傾訴他最新癡迷的事情：他想重新審視受限數(shù)系中的枚舉問題，這是一項長期被放棄的嘗試。

他帶來了一堆看似相關(guān)的零散想法和舊論文。“我意識到這是一個不切實際的項目，”卡斯說。“她非常禮貌地向我解釋，說我所有的答案都是胡扯。”然后他提到了1977年的一個結(jié)果，突然“靈光一閃”。

在 1977 年的那篇論文中，數(shù)學(xué)家哈羅德·萊文（Harold Levine）和戴維·艾森巴德（David Eisenbud）正在推導(dǎo)一個涉及計數(shù)的證明 https://annals.math.princeton.edu/1977/106-1/p02 。最終他們得到了一種稱為二次型（quadratic form）的特殊表達式——一種簡單的多項式，其中每一項的指數(shù)之和始終為 2，例如 x2+ y2 ，或 z2 ? x2+ 3yz 之類。

艾森巴德和萊文意識到，他們感興趣的計數(shù)其實隱藏在顯而易見的地方。答案就在于這個形式的“符號差”（signature）：正項的數(shù)量減去負項的數(shù)量。（例如，二次型 z2 ? x2 + 3yz 有兩個正項 z2 和 3yz ，以及一個負項 x2 ，因此它的符號差是 2 ? 1，即 1。）

這便是維克格倫的靈感來源。自艾森巴德和萊文發(fā)表他們的證明以來的幾十年里，數(shù)學(xué)家們設(shè)計了一個看似毫不相關(guān)的框架，名為動機同倫理論（motivic homotopy theory）。該框架將方程的解視為特殊的數(shù)學(xué)空間，并研究它們之間的關(guān)系，既復(fù)雜又強大。此外，它還為數(shù)學(xué)家提供了一種使用特定類型的二次型來描述這些關(guān)系的方法。

杰西·卡斯（Jesse Kass）在追求他所謂的“一種不切實際的項目”的同時，幫助重新激發(fā)了人們對數(shù)學(xué)中最古老的問題類型之一的興趣。

圖源：Caroyn Lagattuta

聽著卡斯的解釋，維克格倫立刻意識到艾森巴德和萊文提出了其中一種形式。數(shù)學(xué)家們一直在不知不覺地研究動機同倫理論——而這給了他們一直在尋找的答案。

雖然艾森巴德和萊文研究的并非枚舉幾何問題，但其性質(zhì)卻足夠相似——畢竟也涉及計數(shù)——這引發(fā)了卡斯和維克格倫的思考。或許他們也可以利用動機同倫理論的框架來解決自己的計數(shù)問題。而且，由于動機同倫理論可以廣泛應(yīng)用于任何數(shù)系，或許它能夠解開那些長期以來困擾數(shù)學(xué)家的枚舉幾何問題。

更深入的視角

請記住，枚舉幾何問題通常涉及尋找滿足一組方程的解的數(shù)量。卡斯和維克格倫的見解并非試圖直接求解這些方程——除了復(fù)數(shù)之外，這種方法很少在其他情況下奏效。相反，他們兩人將給定的枚舉幾何問題（以給定的數(shù)系為背景）改寫為方程空間和描述這些空間之間關(guān)系的函數(shù)。

問題這樣重新表述后，他們就可以應(yīng)用動機同倫理論了。這使得他們能夠計算出一個二次型。現(xiàn)在，他們必須弄清楚這個二次型包含了哪些有關(guān)原始問題的信息。

他們意識到，當(dāng)處理復(fù)數(shù)時，只需計算出他們計算出的二次型中不同變量的數(shù)量即可。這個數(shù)字就給出了枚舉幾何問題的解的數(shù)量。當(dāng)然，這對他們來說并不特別有趣：數(shù)學(xué)家們已經(jīng)有了很好的方法來得到這個答案。

于是他們轉(zhuǎn)向了其他數(shù)系。對于實數(shù)來說，事情變得有點棘手。一旦他們在這種情況下計算了二次型，就必須查看它的符號差。而符號差并沒有給出精確的答案：它給出了答案的最小值。也就是說，對于任何涉及實數(shù)的枚舉幾何問題，他們都有辦法計算下限——這是一個很好的起點。

但最令人興奮的是，當(dāng)他們計算其他更陌生的數(shù)系的二次型時，他們也能收集到重要的信息。以一個基于所謂時鐘算法的七數(shù)循環(huán)系統(tǒng)為例：在這樣的系統(tǒng)中，7 + 1 等于 1，而不是 8。在這個系統(tǒng)中，他們將二次型重寫為一個稱為矩陣（matrix）的數(shù)字數(shù)組。然后，他們計算了一個稱為行列式（determinant）的量，并證明雖然行列式不能告訴他們解的總數(shù)，但它確實告訴了他們其中具有某些幾何性質(zhì)的解的比例。

2017年，卡斯和維克爾格倫證明了枚舉幾何最著名的定理之一：三次曲面最多包含 27 條直線。 他們利用新方法 https://arxiv.org/abs/1708.01175 ，證明了復(fù)數(shù)系中的答案確實是27。他們復(fù)制了實數(shù)的已知下界，并為每個有限數(shù)系提供了新的數(shù)值信息。所有這些都包含在一個包中。

一個著名的數(shù)學(xué)定理指出，在光滑的三次曲面上總是可以畫出 27 條直線——三次表面是由最大指數(shù)為 3 的方程定義的扭曲形狀。

視頻源：Rectas/知識共享

這是數(shù)學(xué)家們首次能夠?qū)?fù)數(shù)系和實數(shù)系以外的枚舉幾何問題做出重要論述。此外，盡管問題的答案可能會根據(jù)數(shù)系及其內(nèi)部形狀的配置而變化，但數(shù)學(xué)家們首次找到了一個能夠涵蓋所有潛在不同答案的理論。

“這不僅僅關(guān)乎實數(shù)或復(fù)數(shù)，”維克格倫說，“它們只是某個結(jié)果在任何數(shù)系中都成立的特殊情況。”

而這僅僅是個開始。

新的開始

在此后的幾年里，維克格倫、卡斯等人利用動機同倫理論重新構(gòu)建了許多其他枚舉問題，推導(dǎo)出各種數(shù)系中相關(guān)的二次型。

“所有幾何構(gòu)造過去都是為了給人們提供整數(shù)答案，”杜伊斯堡-埃森大學(xué)的數(shù)學(xué)家馬克·萊文 (Marc Levine) 說道，他一直在獨立探索相同的想法 https://arxiv.org/abs/1703.03049 。“現(xiàn)在你可以輸入[問題]，然后得到一個能給出二次型答案的東西。”

自卡斯和維克格倫的原創(chuàng)性工作以來，數(shù)學(xué)家們在理解二次型在不同數(shù)系中能提供哪些信息方面取得了很大進展。然而，有時他們并不確定應(yīng)該在二次型中尋找什么。“我們?nèi)匀挥悬c困惑它到底告訴你什么，”萊文說。還有很多東西有待解讀。

“目前，”南加州大學(xué)的阿拉溫德·阿索克（Aravind Asok）說，試圖從二次型中收集關(guān)于枚舉幾何問題的信息“已經(jīng)成為一個完整的產(chǎn)業(yè)”。他補充道，這種方法具體易懂，吸引了年輕數(shù)學(xué)家的注意。“這很令人興奮，因為學(xué)生們可以很快地接觸到一些有干貨的東西。”

在當(dāng)今抽象的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如此具體化實屬罕見。“數(shù)學(xué)的抽象程度不斷提升，有時我甚至感覺自己都不知道自己在說什么了，” 薩布麗娜·保利（Sabrina Pauli）說道 ，她是威克格倫的第一位研究生，現(xiàn)在是德國達姆施塔特工業(yè)大學(xué)的教授。但這個新的研究領(lǐng)域讓她能夠?qū)⑦@種高度抽象的概念重新帶回現(xiàn)實。

Wickelgren、Kass、Levine 等人最近使用他們的技術(shù)重新審視了與弦理論相關(guān)的枚舉問題 https://arxiv.org/abs/2307.01936 ——但采用了新的數(shù)系和設(shè)置。

在所有這些案例中，數(shù)學(xué)家們找到了一種新方法來探索點、線、圓以及更復(fù)雜的對象在不同數(shù)值環(huán)境下的不同表現(xiàn)。卡斯和維克格倫復(fù)興的枚舉幾何，為我們提供了一個意想不到的視角，讓我們得以窺見數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)。“我很難不被一張紙上有多少條有理曲線這個問題所吸引，”維克格倫說，“這是一張紙的數(shù)學(xué)實在性的一個基本組成部分。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/new-math-revives-geometrys-oldest-problems-20250926/

https://annals.math.princeton.edu/1977/106-1/p02

https://arxiv.org/abs/1708.01175

https://arxiv.org/abs/1703.03049

https://arxiv.org/abs/2307.01936