專訪阿貝爾獎得主皮埃爾·德利涅：我完全不怕問愚蠢的問題

皮埃爾·德利涅，1944年生于布魯塞爾，比利時數學家。2013年他獲得阿貝爾獎，為此接受采訪。采訪原文Interview with Abel Laureate Pierre Deligne發表于《歐洲數學會通訊》2013年9月，
http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2013-09-89.pdf。訪談錄像可在阿貝爾獎官方網頁觀看：http://www.abelprize.no/artikkel/vis.html?tid=58084。譯文中的注釋為譯者所加。譯者最早見有李軍的不完整漢譯。感謝湯濤教授對此項翻譯工作的熱情支持！

撰文 | Martin Raussen Christian Skau
翻譯| 陸俊、歐陽順湘
阿貝爾獎

Q：尊敬的德利涅教授，首先我們要祝賀您獲得第11屆阿貝爾獎。榮獲這一著名獎項不僅是巨大的榮譽，也意味著六百萬挪威克朗，亦即約1百萬美元的獎金。我們很想知道您將如何處置這筆錢……
A：我覺得這筆錢并非真正屬于我個人，而是應該屬于數學。我有責任精打細算地使用好這筆錢。雖然目前還沒有詳細計劃，但我打算把部分錢捐給曾對我起過重要作用的兩個研究所：巴黎的法國高等科學研究院（Institut des Hautes études Scientifiques,簡稱IHéS）以及普林斯頓的高等研究所（Institute for Advanced Study，簡稱IAS）。
我也想捐一筆錢來支持俄羅斯的數學。首先要給高等經濟學院（Higher School of Economics，簡稱HSE）的數學系。在我看來，那是莫斯科最好的地方之一。盡管它要比莫斯科大學的力學數學系小很多，卻有更好的師生。學生人數很少：每年只招十五個新生。但他們都是從最好的學生中挑出的。高等經濟學院由經濟學家創立。他們在艱難的環境下盡了最大努力。其數學系則是于五年前，在莫斯科獨立大學[1]的幫助下建立的。它給整個高等經濟學院帶來了聲望。我認為可以在那里用一筆錢。

德利涅在阿貝爾獎頒獎儀式上發表演講

我想捐助的另一個俄羅斯機構是由俄羅斯慈善家迪米特里·基閔（Dmitry Zimin）創立的王朝基金會（Dynasty Foundation）。對他們而言，這筆錢很可能不那么重要。但卻是我對他們的工作表達敬意的一種方式。這是俄羅斯極少數的幾個資助科學的基金會之一；而且他們做得非常好。他們資助數學家、物理學家和生物學家；特別是資助年輕人，這在俄羅斯是至關重要的！他們也出版科學普及圖書。我想通過這種切實的方式來向他們表達我的敬意。

德利涅與采訪者（從左到右：德利涅、Martin Raussen、Christian Skau）

Q：阿貝爾獎并非您所贏得的第一個數學方面的重要獎項。請允許我們提一下，您在35年前獲得菲爾茲獎，此外有瑞典的克拉福德獎（Crafoord Prize），意大利的巴爾扎恩獎（Balzan Prize）以及以色列的沃爾夫獎。作為一個數學家，贏得這些著名獎項對您來說有多重要？對數學界而言，這樣的獎項存在有多重要？
A：就我個人而言，我很高興得知那些我所敬重的數學家對我的工作感興趣。菲爾茲獎章很可能曾對我得到高等研究院的邀請有所幫助。盡管獲獎提供了機遇，但它們并未改變我的生活。
我覺得獎項提供了一個向大眾談論數學的機會，這還是非常有用的。我發現特別好的一點是，阿貝爾獎能與其他活動聯系起來，例如面向孩子們的競賽以及針對高中教師的霍姆伯獎[2]。據我的經驗，優秀的高中教師對于數學發展是極為重要的。我認為所有這些活動都很了不起。
青年時期

Q：您生于1944年二戰末期的布魯塞爾。我們很想了解您最初的數學經歷。家庭或學校，哪一方面對此影響更多一些？您還能記起一些您最初的數學經歷嗎？
A：我很幸運，我的哥哥比我大七歲。當我看著溫度計并注意到存在正數和負數時，他試著向我解釋(-1)乘以(-1)等于1。這讓我很吃驚。當他進入高中后，他又教我二次方程。他讀大學時，給了我有關三次方程的一些筆記，上面有一個奇怪的求解公式。我感到非常有趣。

當我成為童子軍時，我遇到了一個很好的機會。我有個朋友的父親奈斯（Nijs）先生是一位高中教師。他在許多方面幫了我。特別是給了我第一本真正的數學書，即布爾巴基（Bourbaki）的《集合論》，這對一個小男孩來說并非是個好的選擇。我那時才十四歲。我花了起碼一年時間來啃這本書。我想我還聽了其他一些這方面的報告。

能有機會按照自己的節奏去學數學的一個好處是，你可以重溫過去幾個世紀里的奇妙。我已經在別的地方讀到了如何從整數出發來定義有理數以及實數。我記得在剛開始閱讀布爾巴基的那本書時，很驚訝地發現整數居然能用集合論來定義，同時也很佩服人們竟然可以先定義何謂兩個集合有“同等數目的元素”，并由此導出整數的概念。這家人的一個朋友也給了我一本關于復分析的書。見到復分析的內容如此不同于實分析的內容，也是一件讓人很吃驚的事：例如，一個復變函數只要可微，就必定是解析的（存在冪級數展開）等等。所有那些你在學校里可能覺得枯燥的東西都給了我極大的快樂。

此后這位老師，奈斯先生，把我介紹給了布魯塞爾大學的雅克·蒂茨（Jacques Tits）教授。雖然我還在讀高中，但是我已能夠旁聽他的一些課程以及討論班。

Q：聽到您說您曾經在那個年紀就專研通常被認為很難的布爾巴基著作，很令人震驚。您能告訴我們一些有關您的正規學校教育的事嗎？那是否讓您感興趣抑或讓您厭煩？
A：我有一個出色的初中老師。我覺得我在初中學到的要比高中多得多：比如如何閱讀，如何寫作，如何做算術以及其他很多東西。我記得這位老師是如何通過做一個數學實驗來幫助我思考證明、曲面和長度這些概念的。那個問題是比較具有相同半徑的半球面和圓盤的面積。為此，他用一根螺旋繩索覆蓋住這兩個曲面。半球面需要兩倍長的繩索。這促使我進一步思考：為什么能用長度來測量一個表面積？如何證明半球面的表面積確實是圓盤面積的兩倍？

在我讀高中的時候，我喜歡幾何題。在那個年齡段，幾何證明之所以有意思，是因為那些令人吃驚的結論總有不太難懂的證明。只要我們掌握了這些公理，我就能非常享受做這種練習題所帶來的樂趣。我認為幾何是中學階段的數學中，“證明”在其中有意義的唯一內容。此外，寫一個證明也是另一種極好的練習。這不僅涉及到數學。以我為例，為了論證一件事情為什么是正確的，你還得用正確的法語來寫作。語言與數學的聯系在幾何中要比在代數等其他學科中有更強的聯系。在代數里，你有一堆方程，其中邏輯與語言的作用并不是特別地明顯。

Q：在您年僅16歲時，就去聽雅克·蒂茨的講課。有件軼事說，在某一周，您因為參加學校的郊游而無法去聽課……?
A：是的，我是在那很久之后才聽說的。當蒂茨來上課時，他問：德利涅在哪兒？有人向他解釋說我參加郊游去了，于是課程被推遲到下一周。

Q：他肯定早已認定您是個才華橫溢的學生。雅克·蒂茨也是阿貝爾獎獲得者。他和約翰·湯普森 (John Thompson) 在五年前因為群論方面的重大發現榮獲該獎。他一定是一位對您有影響的老師吧？
A：對，特別是在早期。在教學上，最重要的可能是明白什么事情你不要去做。舉個例子，蒂茨要解釋群的中心是一個不變子群。他開始了證明，然后停頓一下，一針見血地說：“不變子群是在所有內自同構下保持穩定的子群。我已經定義了中心。因此它在該情形的所有對稱下保持穩定。因而它顯然是不變的。”

對我而言，這是一種啟發：對稱思想的威力。蒂茨并不需要逐步寫出證明，而是簡單地闡明，對稱可使結果變得顯而易見，這一點對我影響很大。我極為注重對稱，并且在我的幾乎每一篇文章中都有基于對稱的論證。

Q：您還能記得蒂茨是如何發現您的數學才華嗎？
A：這我可說不了，不過我認為是奈斯先生請他對我多加關照。在那時，布魯塞爾有三位真正活躍的數學家：除了蒂茨，還有弗蘭茲·賓根（Franz Bingen）教授以及盧希恩·韋爾布羅克（Lucien Waelbroeck）教授。他們每年會組織一個不同主題的討論班。我參加了這些討論班，學習了不同的課題，譬如巴拿赫代數——這是韋爾布羅克的專長，以及代數幾何。
然后他們覺得是我去巴黎的時候了。蒂茨把我介紹給了格羅滕迪克（Alexander Grothendieck），并且要我去參加他以及塞爾（Jean-Pierre Serre）的講課。這是個很好的建議。

Q：這對外人來說有點出乎意料。蒂茨作為數學家對您很感興趣，人們可能會認為他應該出于自己的利益想方設法留住你才對。可他卻沒有這么做？
A：他沒有。他明白什么對我最有利，因而才會這么做。
代數幾何

Q：在繼續談論您在巴黎的職業生涯之前，或許我們應該先試著向觀眾解釋一下您的課題，即什么是代數幾何學。
今年較早些時候，當菲爾茲獎得主高爾斯（W.Timothy Gowers）在宣布阿貝爾獎的過程中，他在向聽眾解釋您的研究課題的一開始，就坦言這對他而言是件困難的事情。很難通過展示圖片來說明這門學科，也同樣很難解釋某些簡單的應用。不過你能否試著給我們一點代數幾何是什么的概念嗎？或許您能提一些將代數和幾何彼此連接的明確問題。

A：在數學里，兩種不同的思維體系相遇時總是非常美妙的。笛卡爾曾寫道：“幾何學是基于不準確的圖形而進行正確推理的藝術[3]。”這里“圖形”一詞用的是復數：要有多種觀點并且要知道每一種是怎么錯的，這一點非常重要。

在代數幾何里面，你能夠利用來自于代數的直覺（你可以在那兒擺弄方程）以及來自于幾何的直觀（你可以畫圖）。如果你畫一個圓圈，并考慮方程x^2＋y^2＝1，那么你的腦海中就會出現不同的圖像，你可以試著拿一個和其他的比一比。打個比方，輪子是個圓周，并且一個輪子在轉；有趣的是你會看到代數中的類似物：x和y的一個代數變換把x^2＋y^2＝1的任何一個解映到另一解上。描述圓周的方程是二次的。這意味著和一條直線最多有兩個交點。這也是你能在幾何上看到的性質，不過方程給了更多的性質。比如，如果直線為有理方程且和圓＋的交點之一有有理坐標，那么另一交點也是有理坐標。

代數幾何可以有算術上的應用。在你考慮多項式方程時，你可以在不同的數系中使用相同的表達式。比如，在定義了加法和乘法的有限集合上，這些方程會導出組合問題：你嘗試著計算解的個數。但是你仍可以畫同樣的圖，緊記著圖形是錯的這一新情形，并且在該情形中，你可以在考慮組合問題的同時，利用幾何直觀。

我從未真正在代數幾何的中心工作過。我主要對所有觸及該領域的問題感興趣。然而代數幾何觸及到了許多方面！只要一出現多項式，你就能試著從幾何上去看它；比如與費曼積分相關的物理，或者你考慮一個多項式開根的積分。代數幾何對于了解多項式方程的整數解也有幫助。你知道橢圓函數的老故事：為了理解橢圓積分的性質，幾何上的理解是十分關鍵的。

Q：代數幾何是數學中的主要領域。您是否認為學代數幾何需要比其他領域付出更多努力，起碼對初學者是這樣吧？
A：我認為進入這個學科很艱難，因為你必須熟練掌握大量不同的工具。首先，上同調如今是不可或缺的。另一原因是，代數幾何經歷了幾個階段的發展，每個階段都有其自己的語言。首先是意大利學派，它有點不嚴格，正如那句聲名狼藉的話所說的：“在代數幾何中，一個定理的反例是對其有用的補充。”接著扎里斯基（Oscar Zariski）和韋伊（André Weil）將其建立在更嚴格的基礎之上。隨后塞爾和格羅滕迪克賦予其一套極具威力的新語言。在這套概型語言中，你能表達更多東西；它既涵蓋了算術上的應用也涵蓋了更多幾何方面的內容。但是理解這套語言的威力需要花很多時間。當然，你需要了解大量基本定理，但我不認為這是主要障礙。最大的困難是理解由格羅滕迪克所創的這套語言的威力以及它如何與我們通常的幾何直觀聯系。

巴黎學徒
Q：您在巴黎遇到了亞歷山大·格羅滕迪克和讓-皮埃爾·塞爾，您能給我們講講您對這兩位數學家的第一印象嗎？
A：在1964年11月的布爾巴基討論班上蒂茨將我引薦給格羅滕迪克。我真的嚇了一跳。他是個留著光頭、有點奇怪的高個男人。我們握了下手，但直到數月后我去巴黎參加他的討論班之前都沒有進一步的交流。

那真是一段不尋常的經歷。他以自己的方式表現得非常坦率與和藹。我記得我參加的第一次課。在課上，他數次使用表述“上同調對象”。我知道阿貝爾群的上同調是什么，但我不知道“上同調對象”的意思。在課后，我問他這個表述是什么意思。我想許多別的數學家可能會覺得假如你不知道這個答案，那就沒有跟你談的任何必要了。這完全不是他的反應。他極為耐心的告訴我，如果你有一個阿貝爾范疇中的長正合列[4]并考慮一個映射的核，用前一個映射的像商掉它，等等……我立刻意識到我曾在一個特例中了解過這些。他很能容忍無知的人。我覺得你最好不要就同一個愚蠢問題問他三遍，但兩遍是可以的。

我完全不怕問愚蠢的問題，我將這一習慣保持到現在。聽報告時，我通常都坐在聽眾席的前端。如果我有哪兒不懂了，我就會問問題，即使別人認為我應該知道答案。

我很幸運，格羅滕迪克要我整理他上一年的報告。他給了我他的筆記。我學到了很多東西，既包括筆記的內容也包括數學寫作的方式……。這兩者都很直接。寫的時候你只在紙的一邊寫，留出空白以便他能作注釋。但他也堅決要求你不能有錯誤的陳述。這是相當困難的。通常人們會圖省事；比如不保持記號的一致性。這都無法通過他的檢查。正確和精確是必須的。他說我的第一稿太短，沒有充足的細節……不得不完全重寫。這對我來說非常有好處。

塞爾有完全不同的風格。格羅滕迪克喜歡讓事物達到簡單自然的一般；得到一個整體性的理解。塞爾欣賞這一點，但他更喜歡漂亮的特例。他當時正在法蘭西學院講授橢圓曲線課程。在那兒，包括自守形式在內的許多不同的思想觀點交織在一起。塞爾比格羅滕迪克有更為廣博的數學知識面。在必要的時候，格羅滕迪克可能會親自重新推導每件事，而塞爾可能會告訴人們去看這篇或那篇文獻。格羅滕迪克讀得相當少，他對古典的意大利派幾何的接觸基本上都來自于塞爾和迪厄多內（Jean Dieudonne）。我想塞爾肯定曾向他解釋過韋伊猜想是什么以及它們為何有意思。雖然塞爾關注格羅滕迪克所做的那些宏偉構造，但它們并不合他的口味。他更喜歡諸如模形式那樣具有漂亮性質的對象，理解具體的問題，例如系數之間的同余。

他們的風格完全不同，但我認為塞爾和格羅滕迪克之間的合作是非常重要的，這讓格羅滕迪克能夠做一些他的工作。

Q：您曾告訴我們您需要去聽塞爾的講課以便讓自己腳踏實地對吧？
A：對，因為和格羅滕迪克一起卷入一般性中是很危險的。在我的觀念中，雖然格羅滕迪克決不會創造無用的一般性，但是塞爾告訴我去看不同的課題，它們都被證實對我來說是很重要的。
韋伊猜想

Q：您最著名的結果是韋伊猜想中第三部分，也是最難的部分的證明。但在談論您的成就之前，你能盡量解釋一下為何韋伊猜想這么重要嗎?
A：在一維的曲線情形，韋伊已經得到過一些定理。在有限域上的曲線和有理數域上的曲線之間有著諸多相似。在有理數域上，中心問題是黎曼猜想。韋伊已經證明了有限域上的曲線的類似黎曼猜想的結論，而且他也考察了某些高維情形。也就在那時期，人們開始理解了諸如格拉斯曼流形之類的簡單代數簇的上同調。他發現某些有限域上對象的格點計數問題在復數域上有所反映，也反映了復數域上相關空間的形狀。

正如韋伊所觀察到的，韋伊猜想背后隱藏著兩個方面內容。首先，為何在組合問題與復數域上的幾何問題之間會明顯地存在著聯系？其次，黎曼猜想的類比是什么樣子的？這些類比中產生了兩類應用。第一類應用是由韋伊本人開始的：估計某些算術函數。對我來說，這不是最重要的。比這重要得多的是格羅滕迪克的形式化構造，它揭示了為什么復數域的內容——你可以在上面使用拓撲——與組合的內容之間應有聯系。

其次，有限域上的代數簇允許典范的自同態，即弗羅貝紐斯（Frobenius）同態。它能被視作一種對稱，這種對稱使得整個情形變得非常剛性。然后你可以將這一信息變回到復數域上的幾何世界中，它會對經典代數幾何的性質產生很強的約束。這一點也被用于表示論和自守形式理論的應用中。雖然起初并不能一下子看出有這樣的應用，但是對我來說它們才是韋伊猜想重要的原因。

Q：格羅滕迪克有一個關于如何證明韋伊猜想的最后部分的綱領，但是沒有做出來。您的證明與此不同。你能評價一下這個綱領嗎？它對您的證明方法有影響嗎？
A：沒有。在某種意義上，我覺得格羅滕迪克的這個綱領對證明的尋找起著阻礙作用，因為它會讓人只朝著一個方向去思考問題。

假如一個人真能遵循該綱領給出證明，倒會更令人滿意，因為它可能會解釋許多其他有趣的事情。但是整個綱領依賴于找到代數簇上足夠多的代數閉鏈；而在這個問題上，自70年代以來都沒有本質的進展。

我采用了完全不同的思路。這是受到了蘭金（Robert Rankin）的工作及其在自守形式上的工作的啟發。盡管它有大量的應用，但它并未實現格羅滕迪克的夢想。

Q：韋伊猜想被證明了，聽說格羅滕迪克很高興，但仍舊有點失望？
A：是的。而且有個很好的解釋。假如實現了他的綱領，那就好多了。他覺得沒有其他方法能證明它。當他聽說我證明了它，就覺得我肯定是這樣來做的，可我沒有。我覺得這就是他失望的原因。

Q：您得給我們講講塞爾在聽到這個證明時的反應。
A：雖然我在沒有得到完整證明時給他寫了信，但是有個檢驗的例子是很清楚的。他剛好在需要去醫院做肌腱拉傷的手術前收到信。他后來告訴我，他是懷著愉快的心情進入手術室的，因為他知道這個證明大致完成了。

Q：許多著名數學家都把您關于韋伊猜想的證明稱作奇跡。你能描述一下您是怎么得到這個證明的想法的嗎？
A：我很幸運我在同一時間內掌握了所有我所需要的工具，并且我認為那些工具能用上。證明的一些部分后來被杰拉德·洛蒙（Gerard Laumon）簡化了，其中有很多工具也就不需要了。

在那時候，格羅滕迪克想將所羅門·萊夫謝茨（Solomon Lefschetz）在20年代關于代數簇超平面截口族的工作納入到純代數的框架中。特別重要的是萊夫謝茨的一個結論——后來由威廉·霍奇（William Hodge）證明，即所謂的強萊夫謝茨定理。萊夫謝茨的方法是拓撲的。和你可能想到的相反，如果論證是拓撲的，那么它要比解析的情形——諸如霍奇給的證明——更容易推廣到抽象代數幾何中。格羅滕迪克要我去看1924年由萊夫謝茨所著的《位置分析與代數幾何》。這是一本非常漂亮且非常直觀的書，并且包含了我需要的一部分工具。

我對自守形式也很感興趣。我想正是塞爾跟我講了羅伯特·蘭金的一個估計。我很仔細地研究了一下。蘭金通過檢驗某些相關的L-函數——需要用到蘭道（Edmund Georg Hermann Landau）的結果——得到了模形式系數的非平凡估計，其中L-函數的極點位置給出了局部因子的極點的信息。我明白到同樣的工具，只需要利用平方和是正的，就能以更精巧的方式用到這兒，這是因為有了格羅滕迪克的工作所給出的極點上的控制。這就足夠了。極點要比零點更易于理解，并且有可能應用蘭金的想法。

盡管我掌握了所有這些工具，但我沒法講清楚我是怎么把它們拼到一塊兒的。
后續工作點滴

Q：Motive[5]是什么？
A：關于代數簇的一個讓人吃驚的事實是它們產生了不止一種，而是許多種上同調理論。這些理論包括l-adic理論——對每個不同于特征的素數l都有一個——以及在特征零時的德·拉姆（de Rham）上同調論。這些理論似乎一遍又一遍地在用不同的語言講同一件事。Motive的哲學就是應當存在一個萬有上同調理論，取值于要定義的motive的范疇中，所有這些理論都能從它導出來。對射影非奇異簇的第一上同調群，畢卡（Picard）簇擔當了這個motive 的角色。畢卡簇是一個阿貝爾簇，進而由此知在任何有效的上同調理論中，都能被導出來。從這方面講，阿貝爾簇——差一個同源——都是motive的原型。

格羅滕迪克的關鍵想法是你不應該試著去定義什么是motive。而是應該盡量去定義motive的范疇。它應該是一個阿貝爾范疇，其Hom群是有限維的有理向量空間。至關重要的是，它應該有取值于motive范疇的張量積，以便陳述萬有上同調論的庫訥斯（Künneth）定理。假如只考慮射影非奇異簇的的上同調，你就能談論純motive。格羅滕迪克提出了純motive范疇的定義，并證明如果這個被定義的范疇有許多類似霍奇結構的性質，那么就能推出韋伊猜想。

為了讓這個定義可行，你需要“足夠多”的代數閉鏈存在。關于這個問題，幾乎沒有進展。

Q：您其他的結果怎么樣？在您證明韋伊猜想之后的工作中，有哪一些是您特別喜歡的？
A：我喜歡復代數簇上的上同調的所謂混合霍奇結構的構造。一開始的時候，motive的哲學扮演了關鍵的角色，即使motive并未出現在最終的結果中。這種哲學顯示，只要你在一種同調論里得到個結論，那么就值得在別的同調論中找到對應的結論。對射影非奇異簇來說，由伽羅瓦 (évariste Galois）作用所扮演的這一角色類似于復情形中由霍奇分解所扮角色。譬如，用霍奇分解來表達的霍奇猜想就對應用伽羅瓦作用所表達的泰特（Tate）猜想。在l-adic情形，上同調和伽羅瓦作用對于奇異簇或非緊簇也能被定義。

這就促使我們問：復情形下對應的類似結論是什么？在l-adic情形，有條線索來自于一種遞增濾鏈—加權濾鏈W——的存在性，該濾鏈中第i個商W是射影非奇異簇上的上同調的次商。因此我們期望復情形下有個濾鏈W使得其第i個商有權i的霍奇分解。另一條來自于格里菲斯（Phillip Griffiths）和格羅滕迪克的工作的線索是說，霍奇濾過要比霍奇分解更重要。這兩條線索都導致了混合霍奇結構的定義，表明它們形成阿貝爾范疇，也表明了該如何構造它們。

Q：朗蘭茲綱領怎么樣？您曾參與其中嗎？
A：雖然我對此極感興趣，但我幾乎沒什么貢獻。我僅做了一些關于兩個變量的線性群GL(2)上的工作。我曾試圖去理解一些東西。韋伊猜想有個較遠的應用已經被用到吳寶珠最近的所謂基本引理的證明中。盡管我對郎蘭茲綱領很感興趣，但我自己卻沒做過太多工作。
法國、美國、俄羅斯數學

Q：您已經跟我們談到了您主要工作過的兩個研究所，即巴黎的法國高等科學研究院以及自1984年以來的普林斯頓高等研究所。我們很感興趣于您離開法國高等科學研究院轉到普林斯頓的動機。另外，我們還想知道在您心目中這兩個研究所有何異同。
A：我離開的理由之一是，我不覺得一輩子留在同一個地方有多好。有點改變很重要。我希望能和哈里什-錢德拉（Harish-Chandra）有點交往，他在表示論和自守形式方面有一些漂亮的工作。那是我很感興趣的朗蘭茲綱領的一部分。但不幸的是,在我剛到普林斯頓之前不久，哈里什-錢德拉去世了。

另一個原因是，我在比爾斯鎮的法國高等科學研究院期間，要求自己每年都能開一個講新課題的討論班。這有點多了。我無法真正做到既開討論班又把它們寫下來。在我來了普林斯頓后就不用承擔這種義務。這些就是我離開法國高等科學研究院去普林斯頓高等研究所的主要原因。
至于兩個研究所的差別，我想說高等研究所更老、更大，并且更穩定。兩者都非常類似的方面是，有很多年輕的學者來訪。因此它們都不是那種會使你懈怠的地方，你總是要和那些年輕人交往，他們會讓你明白，你并不是自己所認為的那么優秀。

在這兩個地方都有物理學家，但我認為在普林斯頓和他們打交道要比在比爾斯鎮時使我受益更多。在普林斯頓，會有很多共同的討論班。數學家和物理學家都會參加，一年到頭都很緊張。這主要是因為愛德華·威滕（Edward Witten）會出席。他雖然是物理學家，但卻獲得過菲爾茲獎。當威滕問我問題時，雖然可能很窘迫，但嘗試作答總是很有趣。

普林斯頓不僅僅有數學和物理，還有歷史研究院和社會科學院，從這個角度上說，它也更大一些。盡管和這些學院沒有真正的科學交流，但是能夠去聽一堂如有關古代中國這樣的課還是很愉快的。比爾斯鎮有一個普林斯頓沒有的特點：在比爾斯鎮，自助餐廳很小。因此你能有座位就好，而無從選擇和誰坐一起。我就經常坐在一個分析家或者物理學家身邊，這種隨機的信息交流非常有用。在普林斯頓，有一張桌子是給數學家的，另外的給天文學家、普通物理學家以及其他等等。當然，如果你坐錯了位子，人家也不會讓你走，但其中還是存在著隔閡。

高等研究所有很大一筆捐贈，而法國高等科學研究院卻沒有，至少我在的時候沒有。但這并不影響學術生活。有時它會導致不穩定，但是管理層通常都有辦法對我們掩飾這些困難。

Q：除了您和法國及美國數學的接觸之外，早在鐵幕倒臺前，您就曾在很長時間內與俄羅斯數學密切接觸。實際上，您妻子是俄羅斯數學家的女兒。您對俄羅斯數學的接觸是怎么發展起來的？
A：格羅滕迪克或塞爾告訴當時在莫斯科的馬寧（Yuri Manin），我曾做了一些有趣的工作。該學院便邀請我參加了為維諾格拉朵夫（I.M.Vinogradov）而召開的一個會議，順便提一下，他是個極端反猶太的人。我來到莫斯科，發現了一種優雅的數學文化。在當時，數學是少數幾個不被共產黨干涉的學科之一，因為共產黨完全不懂數學，因而這就使之成為自由的空間。
我們會去某人家里，圍坐在廚房桌邊，一邊喝茶一邊聊數學。我深愛這種氛圍以及那種對數學的熱情。此外，俄羅斯數學在那時是世界上最好的數學之一。今天在俄羅斯雖然還有許多數學家，但是已經存在災難性的移民。此外，在那些想留下來的人中，許多人還是迫于生計，需要花一半時間在國外。

Q：您剛才提及維諾格拉朵夫和他的反猶太主義。您和誰討論過并且問過他是否會被邀請？
A：此人正是皮阿杰茨基-夏皮羅（Piatetskii-Shapiro）。我是完全不懂的。我和他曾有長時間的討論。我覺得像他那樣的人應當獲得維諾格拉朵夫的邀請，但我被告知，事實不是這樣。
在介紹了俄羅斯數學之后，我還有些在俄羅斯的美好記憶，懷念和尤里·馬寧、謝爾蓋·伯恩斯坦（Sergey Bernstein）的談話以及蓋爾范德的討論班。那兒有一種至今存在的傳統，就是在大學和中學教育之間的一種很強的聯系。像安德列·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）那樣的人都對中學教育頗感興趣——可能不總是只針對最好的學生。

他們也有奧林匹克競賽的傳統，并且善于較早地發現數學上有前途的人以便幫助他們。討論班傳統則有點危險，因為重要的一點是討論班的主持人必須要求是全職在莫斯科工作的，這一般做不到。我覺得維護好這一個傳統是很重要的。那就是為什么我用一半的巴爾扎恩獎金去試著幫助年輕的俄羅斯數學家。

Q：是通過您所策劃的競賽。
A：是的。因為沒錢留住那些人，所以這個體系的上層正在垮塌，但是其基礎很好，以至于還能持續產生非常出色的年輕數學家。你得盡量幫助他們，使得他們可以在俄羅斯待得稍微久點，以便這個傳統能持續下去。
數學上的競爭與合作

Q：一些科學家和數學家的動力主要是希望成為首位主要發現者。這似乎不是您的主要動力？
A：對。我壓根兒不在乎。

Q：您對此類普遍現象有何一般的看法？
A：對格羅滕迪克來說這很清楚：他有一次跟我說，數學不是一種競技運動。數學家們各不相同，有些人想要成為第一，特別是當他們從事于非常特殊且困難的問題時。對我而言，更重要的是創建工具以及理解總體的構想。我認為數學更多的是一種長期性的共同事業。和物理學及生物學相比較，數學論文的壽命更長，更有用。比如，文獻引用機械的評估標準在數學里就特別沒道理，因為那些評估方法只考慮了最近三到五年期間內的已出版論文。這在數學里沒有意義。在我的一篇有代表性的論文中，我覺得起碼有一半被引用的文獻都有二十到三十年這么久。有些文獻甚至可能有兩百年之久。

Q：你喜歡寫信給其他數學家嗎？
A：是的。寫一篇論文要花好多時間。寫論文有助于將每件事以正確方式組織起來，并且這樣做能讓人學到很多，但也稍稍有點讓人厭煩。因此在形成想法之初，我發現寫信是很方便的。雖然我將信寄出去，但這其實更像是寫給我自己的。因為我不必顧慮收信人知道哪些東西，所以有些內容可以簡寫。有時候一封信或者它的副本會擱在抽屜里好多年，但是它保存了想法并且可作為我最終寫文章時的一份藍圖。

Q：當您給某人寫信而那人也提供了一些補充想法時，那是否會導致一篇合作論文？
A：那可能會發生。我絕大部分論文都是我自己單獨做的，有一些是和有相同想法的人合作的。寫合作論文要比顧慮誰做過這些來的好。有一些真正合作的例子，人們在合作中提供了不同的直覺。一個例子是和喬治·魯茲蒂克（Georg eLusztig）合作。雖然魯茲蒂克有如何使用群表示的l-adic上同調的完整構想，但他不懂那些技巧。我已經知道那些關于l-adic上同調的技巧，并且我能夠給他所需要的工具。這就是一次真正的合作。

一篇與摩根（John Morgan）、格里菲斯及沙利文（Dennis Sullivan）的合作論文也是一次真正的合作。

還有和伯恩斯坦（Joseph Bernstein）、貝林森（Alexander Beilinson）及蓋博（Ofer Gabber）的合作：我們把不同的理解綜合起來。
工作風格、圖景和曾經的夢想

Q：您的履歷顯示您沒有教過很多次大課，因而從某種意義上說，您是少數能將全部時間用于研究的數學家之一。
A：是的。我覺得我很幸運，從來不用教課，一直這樣。我非常喜歡和人交談。在我工作過的兩個研究所，年輕人經常來找我聊。盡管有時我回答他們問題，但更經常的是我反問他們問題，這些問題有時也很有趣。因此這種一對一接觸式的教學，盡量提供有用的信息并在此過程中學習，對我來說很重要。

我猜，教那些對數學沒有興趣，只為其他目的而追求好成績的人是很痛苦的。

Q：您的數學工作風格怎么樣？您是經常被例子、特殊的問題以及計算所引導，還是更愿意縱覽全局以及發現聯系呢？
A：首先我需要有個總體性的構想：什么應該是對的，什么應該可行以及什么工具能被用。我讀論文時，通常不會去記憶那些證明細節，但是我會記住哪些工具被用到。為了不做毫無意義的工作，能夠猜到哪些是對的哪些是錯的，是非常重要的。我不去記那些被證明的陳述，而是更愿意在腦海中保留許多圖景。不只是一個圖景，也包括所有錯誤的但是來自于不同方面的圖景，并且要知道它們在哪一方面錯了。對許多課題來講，如果一個圖景告訴我某件事是對的，我就認為那是理所當然的，并且今后會回到那個問題上。

Q：在這些非常抽象的對象中，您有何種圖景?
A：有時是非常簡單的東西！比如，假如我有一個代數簇以及一個超平面截口，我想要理解他們如何關聯起來，就通過考察超平面截口束。這個圖景很簡單。我在腦海中畫下它，類似于平面中的圓圈和掃過它的直線。然后我知道這構想是如何錯的：這個簇不是一維的而是高維的，并且當超平面截口退化時，并非僅僅是兩個交點匯合在一起。局部圖像更復雜，類似于能夠形成二次錐的圓錐曲線。這些就是放在一起的簡單圖景。

當我有從一個空間到另一個空間的映射時，我就能研究它所具有的性質。然后圖景能夠使我明白到它是光滑映射。除了有一堆圖景之外，我也有一堆簡單的反例，并且我希望是對的那些陳述必須再次接受這些圖像和反例的檢驗。

Q：因此您認為在幾何中的圖景要比代數的更多？
A：是的。

Q：有些數學家說，好的猜想，甚或好的夢想，至少和好的定理一樣重要。您同意嗎？
A：絕對同意。比如韋伊猜想已經引發了大量的工作。該猜想的一部分是關于代數系統的具有某些性質的上同調理論的存在性。這是個模糊的問題，但是沒關系。為了真正掌握它，至少花了二十年的功夫，甚至更久些。

另一個夢想的例子是讓很多人投身其中起碼五十年的朗蘭茲綱領，并且我們至今僅僅是對此有了稍微好一點的了解。

還有個例子就是格羅滕迪克關于motive的哲學，關于它幾乎沒有什么被證明過。有大量的用于處理這些要素的轉化形式[6]。雖然有時這樣一種轉化能夠實際應用于證明，但更多時候這種哲學被用來猜測什么會發生，然后你可以試著去用其他方法證明它。這些都是關于夢想或猜想的例子，它們比具體的定理重要得多。

Q：在您的職業生涯中，您是否在某個時候有過“龐加萊時刻”[7]，讓您瞬間領悟到已研究了很久的一個問題的解答呢？
A：我最近的一次這樣的時刻，是在研究韋伊猜想的過程中，當我明白到可能有一種途徑——使用蘭金的方法而非格羅滕迪克——的時侯。這個想法在此后花了幾個星期才實現出來，因此它醞釀得相當慢。可能混合霍奇結構的定義也是如此，而且在這個例子中，那是一個逐漸發展的過程。因此那并不是瞬間得到的完整解答。

Q：當您回首從事數學的五十年時，您的工作以及工作風格在這些年是如何改變的？您還像早年那樣執著地工作嗎？
A：我不如早年那么強健了，從這意義上說我不可能像以前那樣集中地長時間工作。我覺得我損失了部分想象力，不過我掌握了更多技巧，能夠在一定程度上起到替代作用。我曾和很多人交流的事實也讓我獲得了我自己損失的部分想象力。因此當我運用技巧時，這樣的工作可能有用，但我在三十歲時可不這樣。

Q：您相當早就從普林斯頓高等研究院的教授職位上退休下來……
A：對，但那只是形式。這意味著我收到的不再是薪水而是退休金；不再參加選擇來年人員的會議。因此這就是全部最好的安排。這讓我有更多時間做數學。
對未來的期望

Q：當您審視代數幾何、數論以及您關心的相近領域時，是否有任何難題或者領域是您希望能盡快看到進展的？在您看來，什么是特別重要的？
A：無論如何，對于今后十年內的進展我完全沒有想法，將來應該如何……不過我倒非常想看到我們在對motive的理解上有所進展。哪條途徑可循以及什么是正確的問題，有很多是懸而未決的。格羅滕迪克的綱領依賴于證明具有某些性質的代數閉鏈的存在性。對我來說，這看起來毫無希望，但我可能錯了。

另一類我真正想看到進展的問題和朗蘭茲綱領相關，不過那是段極長的故事……

在另一個方向上，物理學家經常會提出意想不到的猜想，其中大部分經常使用完全不規范的工具。但迄今為止，只要他們作出預言，比如關于某些曲面上具有某些性質的曲線個數的數值性預言——這都是些可能上百萬的大數字——他們總是對的！有時候數學家們做的早先的計算和物理學家預言的不一致，但物理學家總是對的。他們已經涉及到一些真正有趣的事情，但我們迄今為止都無法理解他們的直覺。有時他們做出一個預言，我們則得到一個極為復雜難懂、沒有真正理解的證明。這本不該如此。在一個有高等學院物理學家在場的討論班上，我本來希望可以不依賴于愛德華·威滕而是能夠做出我自己的猜想。我失敗了！我不能充分地理解他們的圖景能夠做到的事，因此我依舊要靠愛德華·威滕來告訴我什么應該是有趣的。

Q：您對霍奇猜想有什么看法？
A：對我而言，這是motive的內容中的一部分。它是對是錯并不是關鍵。如果它是對的，那非常好，并且解決了一大部分用合理方式構造motive的難題。如果有人能找到閉鏈的純代數概念使得霍奇猜想的類似結論成立并有很多可預見的東西，那樣也有著同樣的作用，而且我會像霍奇猜想被證明了一樣感到高興。對我來說，它是motive，不是霍奇，這很重要。
個人愛好和一個老故事

Q：我們有個習慣就是通過問一些數學以外的東西來結束訪問。您能告訴我們一些您專業以外的個人愛好嗎？例如我們知道您在大自然和園藝方面的愛好。
A：這些是我的主要興趣。我發現地球和大自然如此美麗。我不滿足于輕易地去到一地，看一眼風景。如果你真想從山上領略風景，你就不得不徒步爬山。類似地，為了看到大自然，你必須行走。正如在數學里，為了獲得天性的愉悅——這種天性是愉悅的美好的來源——你必須做一些工作。

我喜歡自行車，因為那也是一種四處看看的方式。當對于步行而言路程較遠時，這是另一種體驗自然的方式。

Q：我們聽說您也搭冰屋？
A：對。不幸的是，每年都沒有足夠的降雪，即使有雪也很難對付。如果它太粉，那就什么也做不了；如果它太硬太冰的話也同樣不行。因此每年可能就有一天，或者幾個小時是可能搭冰屋的，而且你要愿意做壓緊冰以及堆砌這些制造物的工作。

Q：然后你就睡在里面？
A：對，我睡在冰屋里。

Q：請講講您的童年故事。
A：好。我曾在比利時海邊過圣誕節，那兒有很多雪。我哥哥和姐姐——他們比我大很多——有建造冰屋的好主意。我在這方面懂得不多。但是他們隨后就決定我可以在一件事上有用：抓著我的手和腳，用來壓緊雪。

Q：非常感謝您同意我們這次采訪。我們也代表挪威、丹麥和歐洲數學會表示感謝。非常感謝！
A：謝謝！

注釋

[1] Independent University of Moscow，此校于1991年由弗拉基米爾?阿諾爾德和謝爾蓋?諾維科夫等所創立。

[2] Holmboe Prize，以阿貝爾的數學老師與朋友Bernt Michael Holmboe（1795-1850）的名字命名。

[3] 英文為Geometry is the art of correct reasoning on incorrect ?gures，此引文通常被認為源自波利亞，見其1945的著作《如何解題》（How to Solve It?）

[4] 此處疑為口誤。

[5] 更多可以參考徐克艦，《格羅登迪克的Motive與塞尚的母題》，《數學文化》2012年第3卷第2期，第12-33頁。

[6] 此處的“轉化形式”譯自原文的“variants”。譯者不理解“variant”在此處的含義。

[7] 原文為Poincaré moment，此處指人們在較長期、緊張地考慮一個問題的過程中，突然產生靈感，找到解決問題的辦法的時刻。龐加萊曾經描述自己在登上一輛公共汽車的瞬間忽然得到了一個發現。

本文經授權轉載自微信公眾號“數學文化”，原題目為《采訪阿貝爾獎得主皮埃爾? 德利涅》。

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