系統觀下的復雜科學：拓撲學、線性代數與統計物理的互補角色

導語

在復雜科學中，我們面對的研究對象往往并不是某個孤立的實體，而是由大量組分構成、通過多層次相互作用不斷演化的系統。無論是大腦、生態系統、社會組織，還是氣候與金融市場，這些系統的共同特征在于：整體行為無法簡單還原為個體行為的線性疊加，而是深刻依賴于關系的組織方式、作用尺度以及隨時間展開的動力學過程。

正因如此，復雜系統研究往往不僅依賴單一的數學工具，而會使用多種抽象語言從不同層次刻畫系統的結構與行為。拓撲學、線性代數與統計物理，正是其中最為基礎、也彼此互補的三種理論框架。它們并非彼此替代的技術路線，而是從不同分辨率、不同系統層級出發，回答關于復雜系統的不同核心問題。

趙思怡 | 作者

金威、諸葛昌靖 | 審校

系統觀的出發點：復雜系統不是“對象”，而是“關系與過程”

系統科學的一個基本立場是：復雜系統的本質不僅在于組成元素本身，而在于子系統和元素之間、系統與環境的關系、關系的組織方式，以及這些關系隨時間不斷演化的過程。因此，研究復雜系統并不是簡單地描述“對象長什么樣”，而是要在不同抽象層次上刻畫結構約束與動力學機制。

從這一立場出發，復雜系統研究通常需要回答三類根本性問題。第一，在忽略大部分定量細節之后，系統主要能提取出哪些不可消除的整體結構，這是系統的結構方面；第二，在既定結構下，系統狀態如何演化，其中哪些模式占主導地位，這與系統及其狀態的表示和運算有關；第三，當系統包含大量相互作用單元時，為何仍會涌現出穩定模式、臨界行為或突變現象，這則涉及涌現，以及系統各層次之間的關系。

正是在這三類問題上，拓撲學、線性代數與統計物理分別發揮了不可替代的作用。

拓撲學：系統最粗粒度的“結構骨架”

在系統科學與復雜科學中，拓撲學主要用于刻畫系統整體結構的穩定性與全局組織方式，尤其關注在噪聲、擾動、尺度變化或參數連續變化下，哪些性質能夠保持不變。與依賴精確數值或度量的分析方法不同，拓撲學更加關注連接關系、鄰近性、連通性以及回路、空腔乃至空間所對應的更深刻的代數對象等結構性特征。在系統“如何運行”之外，這些特征還從更根本的層面限定了系統“可以運行成什么樣”。

在具體研究中，網絡模型常被用作表達這類結構關系的工具，但拓撲學的關注點并不局限于網絡本身，而在于其背后的結構及其約束。通過拓撲視角，研究者可以判斷系統是否整體連通，是否能夠分解為若干相互弱耦合的子結構，以及信息、物質或影響能否在系統中長期傳播等等。這些全局結構性質直接影響系統的健壯性、同步能力以及集體行為的形成方式。

拓撲數據分析方法（如持久同調）在神經科學中，被用于從高噪聲的神經活動數據中提取穩定的功能結構，從而區分不同生理、認知或行為狀態下大腦活動的拓撲特征；在材料科學和凝聚態物理中，拓撲學則用于理解拓撲相變、拓撲材料與拓撲物態，解釋為何某些宏觀性質對局部缺陷和微擾具有高度穩定性，并從更加理論化的高度刻畫各種物質狀態及其相互關系。

近年來，人們又用拓撲思想來研究復雜系統中的高階相互作用與多體結構。傳統模型（如經典的復雜網絡）通常只描述成對關系，而高階拓撲框架通過引入三角形、四面體等單純形結構，刻畫真實系統中普遍存在的多體協同行為。在這一視角下，系統的動態變量不再僅定義在節點上，也可以附著于邊、三角形等高階結構之上，形成所謂的“拓撲信號”。研究表明，這類高階拓撲結構會顯著重塑系統的動力學特性，催生出拓撲同步、復雜模式形成等新的集體現象，揭示了結構與動力學之間更為緊密的耦合關系。

圖 1 拓撲神經網路（詳情請見集智俱樂部公眾號文章）

更進一步的研究表明，拓撲結構與動力學過程之間還往往存在雙向作用：一方面，拓撲結構限定了系統可實現的動力學模式與同步形式；另一方面，系統的演化過程也可能反過來改變其拓撲組織，使結構在時間中發生重構。這種“拓撲—動力學共演化”的視角，為理解大腦功能重組、氣候系統振蕩以及自適應人工系統等諸多復雜系統提供了重要線索。

圖 2. 拓撲Kuramoto模型與全局同步。（詳情請見集智俱樂部公眾號文章）

系統科學視角下，拓撲學關注的是在紛繁復雜的具體數值細節背后，系統“內蘊空間”中決定作用的關于連通性與整體組織的定性信息。在復雜系統中，我們往往無法精確掌握每一個相互作用的強度或每一個單元的具體狀態，但總會關心一些更根本的問題：系統是否連通？是否存在彼此隔離的子系統？信息或影響是否能夠跨尺度傳播？系統能否被分解為若干相對獨立的功能模塊？拓撲學正是以高度抽象而自然的方式回應這些問題。

從系統觀來看，拓撲學關注的是當我們忽略具體數值與微觀機制之后，一個系統仍然保留下來的結構約束。它并不直接給出系統的演化方式，而是為后續分析劃定了一個可能性空間——只有在這個空間之內，動力學模式才有意義，統計行為也才有討論的基礎。

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線性代數：系統狀態的表示與可操作性

在線性代數的視角下，復雜系統被理解為狀態空間中的線性結構及其演化規律。盡管大量真實系統在微觀層面本質上是高度非線性的，但線性代數仍然構成了人類目前最為成熟、最易理解、也最具操作性的分析語言之一。通過恰當的表示、投影與變換，復雜的非線性動力學常常可以在中尺度上被有效嵌入到線性框架之中，從而轉化為可分析、可分解、可近似的線性過程。這種“以線性把握非線性”的策略在復雜系統研究中反復出現，并在理論建模、數據分析與數值計算之間起到了關鍵的樞紐作用，使我們即便無法完全掌控系統的全部細節，仍能抓住其主導結構與動力學特征。

這種“以線性把握非線性”的策略在復雜系統研究中反復出現。以Koopman 算子理論為代表，線性代數被系統性地用于“線性化”非線性動力學系統。Koopman 算子本質上是作用在觀測函數空間上的無限維線性算子，其譜結構編碼了系統的全局動力學信息。通過對該算子進行譜分解，研究者能夠識別系統中的慢模態、亞穩態結構以及主導時間尺度，從而在不依賴精確動力學方程的前提下，直接從數據中提取系統的內在組織方式。這一方法已廣泛應用于分子動力學、流體力學、氣候系統以及復雜網絡等領域，并在非線性強、維度高、模型不完全已知的情形下展現出獨特優勢。

圖3：轉移算子在不同領域的應用（詳情請見集智俱樂部公眾號文章）

隨著數據驅動方法的發展，線性代數的這一思想進一步擴展為神經算子框架。與傳統神經網絡不同，神經算子直接學習函數空間之間的映射，本質上是在無限維空間中逼近系統的演化算子。以傅里葉神經算子為例，其通過譜展開與積分算子，將偏微分方程的全局結構編碼進模型之中，從而在保持物理一致性的同時，實現高效的數值近似。這使得線性代數不僅是分析工具，也逐漸成為連接物理結構與機器學習的重要橋梁。

圖4：神經算子的輸入和輸出（詳情請見集智俱樂部公眾號文章）

在復雜網絡與系統動力學研究中，線性代數同樣發揮著核心作用。圖拉普拉斯算子、譜聚類方法以及振子網絡的線性穩定性分析，使研究者能夠理解網絡結構如何約束集體動力學行為，例如同步、魯棒性與相變等現象。通過譜結構，系統整體的穩定性以及對局部失效的敏感性得以被定量刻畫，從而為神經網絡、電力系統乃至生物節律系統的設計提供理論依據。

從系統觀來看，線性代數關注的核心問題在于：當復雜系統處于平衡態或參考態附近時，如何將決定其主要行為的關鍵信息有效刻畫出來。借助線性化、譜分解和模態展開等手段，高維動力學得以投影到一個低維但信息高度集中的子空間中，使主導模式、慢變量和穩定方向清晰浮現。與關注全局結構約束的抽象視角、以及著眼于多體極限與統計規律的宏觀視角相比，線性代數恰好工作在二者之間，為復雜系統提供了一種既可計算、又可理解、同時保留結構線索的中尺度描述——而這些線索，往往正是通向更深層結構與更大尺度規律的入口。

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統計物理：多體系統中的涌現與普適規律

在系統科學與復雜科學中，統計物理提供了一種研究大量相互作用單元如何涌現出穩定宏觀結構與功能的核心理論框架。其基本思想并非追蹤單個自由度的精確演化，而是通過概率分布、能量景觀與尺度變換，揭示系統整體行為的統計規律與普適性。這一視角已從傳統物理系統擴展到生物系統、信息系統與智能計算等多個領域。

在生命科學中，統計物理與人工智能的結合正在重塑結構生物信息學的研究范式。以 AlphaFold 為代表的深度學習模型推動蛋白質結構預測進入原子精度時代，并催生了覆蓋數億蛋白質結構的大規模數據庫。在此基礎上，統計物理方法得以從單個分子的動力學模擬，擴展到對海量結構數據的整體統計分析，從而揭示蛋白質結構、動力學、功能與進化之間的普適聯系。大量研究發現，天然態蛋白質普遍呈現出長程關聯和接近臨界態的特征，其結構在穩定性與構象柔性之間維持著精細平衡。這種“臨界附近”的物理性質，被認為是蛋白質高效執行復雜生物功能的重要基礎。由此，統計物理為理解生命系統的魯棒性、可塑性與可進化性提供了一套統一而深刻的理論語言，也為人工蛋白質設計和合成生物學提供了原則性指導。

圖5：基于AlphaFold數據庫研究不同復雜度物種體內蛋白質結構與動力學的統計規律（詳情請見集智俱樂部公眾號文章）

在計算與工程系統中，統計物理同樣成為處理復雜優化問題的重要思想源泉。許多組合優化問題可以被自然地映射為具有復雜能量景觀的多體系統，其求解過程等價于在高維狀態空間中尋找低能態或基態。近年來，自由能最小化、平均場理論以及退火機制被系統性地引入機器學習與計算框架，發展出如“自由能機器”等新型方法。這類方法通過變分自由能的梯度優化，在 GPU 等并行計算平臺上高效求解大規模、含多體耦合的優化問題，不僅顯著提升了計算效率，也在算法層面體現了統計物理思想對現代計算范式的深刻塑造。

圖6：FEM解決組合優化問題（COPs）的原理與框架（詳情請見集智俱樂部公眾號文章）

從系統視角來看，統計物理的核心貢獻在于揭示：復雜系統的關鍵行為往往并不依賴于微觀細節本身，而是由能量—熵平衡、相互作用結構以及尺度組織方式共同決定。無論是在蛋白質這樣的生物分子系統中，還是在網絡優化與人工智能等信息系統里，統計物理都為我們提供了一種理解“秩序如何從噪聲中產生”“功能如何從多體耦合中涌現”的通用框架，使不同領域的復雜系統得以在同一理論視野下被比較、解釋與統一。

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系統觀下的統一理解：多重視角描述同一復雜現實

從系統科學的整體視角來看，拓撲學、線性代數與統計物理并非彼此孤立的理論工具，而是針對同一復雜系統在不同抽象層級上的互補描述方式。它們共同構成了一條由結構約束出發，經由動力學過程，最終通向宏觀涌現的分析路徑。這種跨層次、跨尺度的整合分析，正是復雜科學區別于傳統還原論方法的核心特征之一。

拓撲學限定了系統可能行為的結構邊界；線性代數在這些約束之內提取出可操作的主導模式；統計物理則解釋了這些模式為何能夠在大量相互作用中穩定出現并長期存在。正是在這種多層次、跨尺度的系統觀整合之下，復雜系統才不再只是“復雜”，而逐漸變得可理解、可預測、也可被設計。