45年數論猜想被GPT-5.2 Pro獨立完成證明，陶哲軒：沒犯任何錯誤

AI證明數學猜想，這次來真的了。

OpenAI最新模型GPT-5.2 Pro剛剛獨立證明了一道埃爾德什猜想。

論證過程經菲爾茲獎得主陶哲軒驗證成立，還被評價為“迄今為止最明確的第一類結果（AI主要貢獻）”。

這道題是埃爾德什問題庫中的第281號，由傳奇數學家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）與羅納德·格雷厄姆（Ronald Graham）于1980年共同提出，涉及同余覆蓋系統與自然密度的深層關系。

45年來，這道題一直靜靜躺在問題庫里，等待解答。

直到2025年1月17日，一位名叫Neel Somani的研究者把這道題扔給了GPT-5.2 Pro。

證明只用到GPT 5.2 Pro

埃爾德什問題網站已收錄AI證明結果。

整個論證在無窮阿德爾整數環上展開，借助哈爾測度和點態遍歷定理，結合緊致性論證完成了從逐點收斂到一致收斂的躍遷。

按陶哲軒的話說，它是“Furstenberg對應原理”的一個變體，這是遍歷理論與組合數學交叉領域的標準工具。

但GPT-5.2 Pro的用法又有些不同，它比通常的論證更依賴伯克霍夫定理。

然而真正讓陶哲軒印象深刻的不是證明方法本身，而是AI沒有犯錯。

讓我更驚訝的是它避免了錯誤，比如極限交換或量詞順序的失誤，這正是這道題最容易踩的坑。前幾代大語言模型幾乎肯定會在這些微妙之處栽跟頭。

為了驗證這份證明，陶哲軒親自動手，把整套遍歷論論證翻譯成了組合學語言，用哈代-利特爾伍德極大不等式替代伯克霍夫定理，重新走了一遍全部推導。

結論：證明成立。

一個意外的發現

正當大家討論GPT-5.2 Pro的證明時，一位網名KoishiChan的用戶在評論區拋出了一個令人意外的發現：

這道題其實有更簡單的解法，而且所需的兩個定理早在1936年和1966年就已經存在了。

第一個是達文波特（Harold Davenport）與埃爾德什本人在1936年合作證明的密度收斂定理。

第二個是羅杰斯定理，首次發表于1966年的哈爾伯斯塔姆-羅斯專著《序列》第五章。把這兩個經典結果拼在一起，第281號問題幾乎是直接推論。

這就奇怪了。埃爾德什自己就是1936年那篇論文的合著者，而他在1980年提出這道題時，都沒有意識到答案近在眼前。

陶哲軒就此事專門寫郵件請教了法國數學家特南鮑姆（Tenenbaum）。

特南鮑姆確認“只要滿足你提到的兩個經典結果（達文波特-埃爾多斯定理和羅杰斯定理），問題就能立即得到解決”，但他也猜測“問題的表述可能在某個環節被改動過”。不過目前沒有人找到任何其他版本的表述，所以只能按原樣處理。

更有意思的是，2007年菲拉塞塔、福特、科尼亞金、波默朗斯和余等五位頂尖專家在解決另一道埃爾德什問題時，同樣不知道羅杰斯定理的存在，直到特南鮑姆提醒他們才補上了引用。

陶哲軒感慨：“羅杰斯定理沒有得到它應有的傳播。它只出現在哈爾伯斯塔姆-羅斯那本書里，沒有單獨發表，文獻引用寥寥無幾。或許這場討論能讓更多研究篩法和同余覆蓋的人注意到這個結果。”

最終現在這道題有了兩份證明：一份來自GPT-5.2 Pro的遍歷論路徑，一份來自KoishiChan挖出的經典文獻組合。

陶哲軒確認兩者是“不同的證明”，雖然在概念上有些重疊。

如何評估AI數學的真實成功率

消息傳開后，各路AI模型紛紛被拉來交叉驗證。

Gemini 3 Pro表示證明沒有問題。另一位研究者用GPT-5.2 Pro反復檢查論證細節，AI認為唯一需要補充嚴格性的地方在第二步，可以用法圖引理繞過遍歷論直接完成。

不過陶哲軒指出這里法圖引理的方向用反：我剛教完研究生測度論，這類錯誤見得太多了。

隨后又確認其實是對補集應用法圖引理，方向沒問題，論證成立。

但陶哲軒同時發出了冷靜的提醒。他寫道：

評估AI工具真實成功率時，最大的統計偏差來自強烈的報告偏差，負面結果幾乎不會被披露。 如果某人或某AI公司把工具用在開放問題上但沒有進展，他們沒有動力報告這個負面結論；即使報告了，也不太可能像正面結果那樣在社交媒體上傳播開來。 盡管絕大多數集中在難度譜系的簡單一端，遠不能說明中等難度的埃爾德什問題已經進入AI的射程范圍。

他推薦了Paata Ivanisvili和Mehmet Mars Seven發起的一個開源項目，系統記錄前沿大語言模型在埃爾德什問題上的正面和負面結果。

數據顯示，這些工具在埃爾德什問題上的真實成功率大約只有百分之一到二。

但考慮到問題庫里有超過600道未解難題，這個比例仍然意味著一批數量可觀且非平凡的AI貢獻。

參考鏈接：
[1]https://www.erdosproblems.com/forum/thread/281
[2]https://x.com/neelsomani/status/2012695714187325745
[3]https://mathstodon.xyz/@tao/115911902186528812

文章來源：量子位。