二維對稱設(shè)計(jì)：17種平面對稱群中的后6種

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

前11個(gè)對稱群可以用一個(gè)正方形的基本單元來表示。剩下的六個(gè)需要一個(gè)除正方形之外的基本單元。例如，第十二個(gè)對稱組需要一個(gè)直角三角形(對角切成兩半的正方形)。用于在該對稱組中創(chuàng)建圖案的拼塊是正方形。最后五種形狀要求其倍數(shù)形成菱形或六邊形拼塊——60°菱形、等邊三角形和90°、60°、30°三角形。第十六對稱群有一個(gè)基本單元，它是一個(gè)半六邊形，一個(gè)四邊風(fēng)箏形狀，角度為120，90，60，90，或一個(gè)三角形，角度為120，30，30。圖4.1中所示的形狀可用于這些剩余對稱組中的圖案布局。

圖4.1 單元格用于實(shí)驗(yàn)接下來的六種對稱。

12.傳統(tǒng)塊(p4m)對稱性

傳統(tǒng)塊(p4m)對稱組是最常用的一種，尤其是在拼布和被子設(shè)計(jì)中。事實(shí)上，所有傳統(tǒng)的被子塊絕大多數(shù)都是由這種對稱性構(gòu)成的，這也是我給它取這個(gè)名字的原因。主單元是一個(gè)90，45，45的等腰直角三角形，通過鏡像該三角形的長邊，然后沿著鏡像線的一個(gè)角度旋轉(zhuǎn)這些單元中的四個(gè)來創(chuàng)建單幅圖塊。需要八個(gè)基本單元來創(chuàng)建重復(fù)的拼塊，其中四個(gè)正面朝上，四個(gè)鏡像或反轉(zhuǎn)。

標(biāo)準(zhǔn)符號—p4m

標(biāo)準(zhǔn)的符號系統(tǒng)將這種對稱性標(biāo)記為P4m。由于m緊跟在4之后，主單元必須首先被鏡像(m ),并且結(jié)果在由鏡像形成的直角上旋轉(zhuǎn)四次(p4)。

為了練習(xí)在這個(gè)對稱組中創(chuàng)建圖案，你可以將前11個(gè)對稱中的正方形單元沿對角線切成兩半。使用八個(gè)相同的三角形，制作四組鏡像對，鏡子沿著三角形的長邊。將一對疊放在另一對的頂部，所有的都朝向同一個(gè)方向，然后將它們圍繞由鏡像線形成的兩個(gè)角中的一個(gè)旋轉(zhuǎn)。然后可以重復(fù)所得到的拼塊以形成整體圖案。根據(jù)使用的單元，會出現(xiàn)四種不同的圖案。旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的位置非常重要。鏡像單元格后，它將旋轉(zhuǎn)兩個(gè)新的90度角中的一個(gè)，而不是原來的三角形。如果鏡像單元格在三角形中旋轉(zhuǎn)90度，將出現(xiàn)鏡像風(fēng)車(p4g)圖案。

下圖顯示了傳統(tǒng)塊(p4m)對稱圖案的幾個(gè)示例。

圖4.4 在印度齋浦爾的窗戶上發(fā)現(xiàn)的切割石材圖案；該圖案是傳統(tǒng)塊(p4m)對稱性的一個(gè)例子。圖表顯示了如何創(chuàng)建圖案。

圖4.5 印度齋浦爾琥珀宮的馬賽克地板，展示了傳統(tǒng)砌塊(P4m)對稱性的一個(gè)例子。

圖4.6 羅賓·莫里森創(chuàng)作的《午夜之星》

13 三重旋轉(zhuǎn)(p3)對稱

需要一個(gè)60菱形的主單元來創(chuàng)建三旋轉(zhuǎn)(P3)對稱組的單幅圖塊。不需要鏡像或反向單元。就像在中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(p2)和風(fēng)車(p4)對稱組中所做的那樣，簡單地旋轉(zhuǎn)單元。影印圖4.1中所示的菱形單元格，剪下其中三個(gè)，并以相同的方向?qū)⑺鼈兌询B在一起。在兩個(gè)120度角中的一個(gè)上放一個(gè)大頭針，然后圍繞那個(gè)角度旋轉(zhuǎn)鉆石，直到它們形成一個(gè)六邊形。這種拼塊然后重復(fù)形成整體設(shè)計(jì)。旋轉(zhuǎn)兩個(gè)角度中的哪一個(gè)并不重要。無論哪種情況，都會出現(xiàn)相同的圖案。

圖4.8和圖4.9所示的圖案是三重旋轉(zhuǎn)(p3)對稱的例子。

標(biāo)準(zhǔn)符號—p3

p3標(biāo)記指的是創(chuàng)建圖塊所需的三(3)重旋轉(zhuǎn)的主單元(p)。

圖4.7 創(chuàng)建具有三重旋轉(zhuǎn)(P3)對稱性的圖案

圖4.9 折紙，Jinny Beyer，1997。三重旋轉(zhuǎn)(p3)對稱的例子。

14 六重旋轉(zhuǎn)(p6)對稱

六重旋轉(zhuǎn)(p6)對稱群中的圖案可以產(chǎn)生等邊三角形或風(fēng)箏形狀。創(chuàng)建圖塊需要六個(gè)單元格，都是正面朝上的，只需將這些單元格旋轉(zhuǎn)60°即可。要?jiǎng)?chuàng)建拼塊，剪下6個(gè)等邊三角形，如圖4.1所示；將它們堆疊在一起，朝向相同的方向；在其中一個(gè)角上放一枚別針；旋轉(zhuǎn)它們直到它們形成六邊形拼塊。當(dāng)一個(gè)等邊三角形被用來創(chuàng)建這個(gè)對稱組時(shí)，根據(jù)哪個(gè)角被旋轉(zhuǎn)，可以生成三個(gè)不同的圖案，如圖4.11所示。

圖4.12和4.13顯示了六旋轉(zhuǎn)(p6)對稱的其他例子。

圖4.11。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度，可能有三種不同的圖案。

標(biāo)準(zhǔn)符號—p6

p6標(biāo)簽顯示主單元(p)需要六次旋轉(zhuǎn)(6)來完成密鋪。

圖4.10 創(chuàng)建具有六旋轉(zhuǎn)(p6)對稱性的圖案

圖4.11 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度，可能有三種不同的圖案。

圖4.12 Jinny Beyer的《狂想曲》細(xì)節(jié)(第166頁)展示了一個(gè)六重旋轉(zhuǎn)(p6)對稱的例子

圖4.13 展示六旋轉(zhuǎn)(p6)對稱示例的織物設(shè)計(jì)

15.鏡像和三重旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱性

當(dāng)在鏡子和三重旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱組中創(chuàng)建圖案時(shí)，等邊三角形也被用作主要單元，但這一次，由于出現(xiàn)了鏡子，三角形將需要被影印到紙上。此對稱組的圖案是通過首先鏡像三角形的一邊，然后沿鏡像形成的角度旋轉(zhuǎn)結(jié)果三次來創(chuàng)建的。如果你把鏡子放在主單元的四周，你會看到這個(gè)圖案。

要?jiǎng)?chuàng)建拼塊，制作三個(gè)相同的三角形鏡像對。將得到的鉆石以相同的方向堆疊在一起，然后將它們旋轉(zhuǎn)120度。無論三角形的哪一側(cè)首先被鏡像，整體設(shè)計(jì)將保持不變。

圖4.14 創(chuàng)建鏡像和三重旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱的圖案。

圖4.15 展示三重旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱示例的織物設(shè)計(jì)

圖4.16顯示鏡面和三旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱性的圖形設(shè)計(jì)。將其與第78頁所示的相似類型設(shè)計(jì)進(jìn)行比較，但具有三個(gè)旋轉(zhuǎn)和一個(gè)鏡像(p31m)對稱性。不同的對稱操作會在圖案中產(chǎn)生細(xì)微的差異。

16 三重旋轉(zhuǎn)和鏡像對稱(p31m)

該對稱組中圖案的基本單元可以是半個(gè)六邊形、半個(gè)60°菱形或風(fēng)箏形狀(風(fēng)箏形狀的角度為120°、90°、60°、90°)?？偣残枰鶄€(gè)原始單元來產(chǎn)生拼塊，其中三個(gè)正面朝上，三個(gè)反面朝上。使用圖4.1中影印到醋酸纖維上的風(fēng)箏形狀，將三個(gè)單元正面朝上堆疊在一起，所有單元都朝向同一方向。將它們旋轉(zhuǎn)120度，直到它們形成等邊三角形。制作另一個(gè)完全相同的三角形，然后鏡像它以形成菱形拼塊。這些鉆石然后轉(zhuǎn)化成圖案。插圖4.17顯示了用風(fēng)箏形狀創(chuàng)建的單幅圖塊。圖4.19顯示了可用于這種對稱的半菱形。

圖4.17使用三次旋轉(zhuǎn)和一個(gè)鏡像(p31m)對稱創(chuàng)建圖案。

圖4.18、4.20和4.21顯示了由三次旋轉(zhuǎn)和一個(gè)鏡像對稱形成的圖案，圖中顯示了單元和拼塊。

圖4.18 .顯示三個(gè)旋轉(zhuǎn)和鏡像(p31m)對稱示例的織物設(shè)計(jì)。

圖4.19 用30°、30°和120°三角形(或半菱形)說明的三個(gè)旋轉(zhuǎn)和一個(gè)鏡像(p31m)對稱。

圖4.20 Satsuma圖板是三個(gè)旋轉(zhuǎn)和一個(gè)鏡像(p31m)對稱的例子。圖表顯示了設(shè)計(jì)是如何創(chuàng)建的。與圖4.16相比，圖4.16具有相似的外觀，但使用了不同的對稱操作，從而產(chǎn)生了細(xì)微的差異。

圖4.21 丘比特失火是三次旋轉(zhuǎn)和鏡像(p31m)對稱的一個(gè)例子。圖表顯示了設(shè)計(jì)是如何創(chuàng)建的。

標(biāo)準(zhǔn)符號——p3m1和p31m

人們很容易混淆p3m1和p31m，然而這兩個(gè)對稱群產(chǎn)生非常不同的圖案。兩者都有三重旋轉(zhuǎn)，都包含鏡子。但是如果你記得標(biāo)準(zhǔn)符號系統(tǒng)是如何組織的(參見第24頁到第29頁)，這就更有意義了。我對這些符號的解釋如下：因?yàn)槊恳粋€(gè)對稱都需要旋轉(zhuǎn)三次，所以必須有一個(gè)120度的旋轉(zhuǎn)角。

對于p3m1，m緊跟在3之后，這意味著必須首先鏡像主單元，然后旋轉(zhuǎn)三次(P3)。因此，你必須從一個(gè)有60度角的等邊三角形開始。形狀鏡像后，60°角加倍為120°，然后可以圍繞鏡像線形成的兩個(gè)120°角之一進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。

對于p31m，第四個(gè)位置的m表示主單元在被鏡像為m之前必須先旋轉(zhuǎn)三次(p3)。這些標(biāo)簽中的1用于明確(m)的位置。1基本上是一個(gè)分隔符，意味著單元格的另一邊沒有任何動作。因?yàn)樵谶@種對稱性中旋轉(zhuǎn)首先發(fā)生，所以原始單元必須具有120°的角度，旋轉(zhuǎn)可以圍繞該角度發(fā)生。風(fēng)箏形狀、半個(gè)六邊形和半個(gè)60°鉆石都適合這種對稱。

17.萬花筒(p6m)對稱

當(dāng)通過萬花筒觀察時(shí)，人們可以看到一個(gè)形狀的各個(gè)側(cè)面都有鏡子，產(chǎn)生錯(cuò)綜復(fù)雜的變化圖案。根據(jù)萬花筒內(nèi)鏡子的角度，會出現(xiàn)不同的設(shè)計(jì)。雖然前面討論過的幾個(gè)對稱群可以通過在主單元的四面放置鏡子來形成，但在我看來，這個(gè)更像是一個(gè)真正的萬花筒，這就是我為什么給它起這個(gè)名字的原因。

標(biāo)準(zhǔn)符號—p6m

p6m的標(biāo)記系統(tǒng)如下：因?yàn)榫o接在6后面有一個(gè)m，所以主單元在旋轉(zhuǎn)六次(p6)之前必須首先被鏡像(m)。

圖4.22使用萬花筒(p6m)對稱創(chuàng)建圖案

萬花筒(p6m)對稱組中的圖案形成方式幾乎與鏡子和三旋轉(zhuǎn)(p3m1)對稱組中的圖案完全相同。然而，這一次，不同形狀的三角形(90，60，30)是主要單元。通過在三角形的所有邊上放置鏡子可以看到這個(gè)圖案。要?jiǎng)?chuàng)建拼塊，制作六對鏡像三角形。鏡像兩條最長邊中的任何一條，因?yàn)樵谌魏我环N情況下都會產(chǎn)生相同的圖案。如果鏡像最長的一邊，結(jié)果將是一個(gè)風(fēng)箏形狀；如果鏡像第二長的邊，結(jié)果將是一個(gè)等邊三角形。將鏡像的一對堆疊在另一對之上，所有的鏡像都朝向相同的方向，并將它們旋轉(zhuǎn)六次以形成拼塊。在風(fēng)箏形狀的情況下，確保旋轉(zhuǎn)發(fā)生在60°角附近(圖4.22)。

圖4.23 菱形圖塊也可以通過鏡像單元格的長邊、將結(jié)果旋轉(zhuǎn)120°并鏡像該三角形來創(chuàng)建。不管怎樣，結(jié)果都是一樣的。

如圖4.23所示，菱形拼塊可以用來形成圖案，但創(chuàng)建拼塊要復(fù)雜一些。由于整體圖案是相同的，我發(fā)現(xiàn)最簡單的方法就是創(chuàng)建六邊形拼塊。

這里展示的紫蘇盒子的細(xì)節(jié)和下頁的兩個(gè)例子展示了萬花筒(p6m)對稱性的其他例子。

圖4.24 來自Jinny Beyer的紫蘇盒子(第66頁)的細(xì)節(jié)描繪了萬花筒(p6m)對稱性。每個(gè)六角形都有p6m對稱性，較大的六角形包含七個(gè)較小的六角形。

圣誕萬花筒，南?！ぜs翰遜，1997。這張被子是萬花筒(p6m)對稱的一個(gè)例子。

圖4.25顯示萬花筒(p6m)對稱示例的織物設(shè)計(jì)。

二維對稱群的總結(jié)

這兩天的文章解釋了如何通過使用17個(gè)對稱群，可以創(chuàng)建大量的二維圖案。對這些概念的透徹理解將極大地有助于你創(chuàng)建自己的圖案，這對于理解互鎖或鑲嵌設(shè)計(jì)是如何開發(fā)的尤為重要。最好的學(xué)習(xí)方法是自己操縱初級單元。

《光線》，金妮·拜爾，1977。

整個(gè)被子是雙鏡對稱(PMM)的一個(gè)例子，也就是二維對稱。在邊界圖案中可以發(fā)現(xiàn)三種不同的線性對稱性：雙鏡(Mm)、垂直鏡(M1)和平移(11)。

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系張大少本尊。