凱爾特交錯紋飾中的紐結

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文從理論上分析了編結交織飾品中的紐結拓撲類型的統計分布。紐結類型的識別是計算機輔助的。分布是高度分化的：少數結類型是非常常見的，而很大一部分根本沒有發現。

1.介紹

紐結的數學研究始于19世紀70年代，當時有人提出原子可能是以太中打結的漩渦。最初的目標之一是制作一個紐結的目錄，到1900年，已經制作了一個包含84個素紐結，最多有9個交叉點的表。那時，物理學家已經從打結原子假說中走出來，這個項目的原始動機也消失了，但是拓撲學的主題正在興起，而紐結提供了一個測試新代數工具的例子來源。結果表明，目錄是完整的，沒有重復。

數學的某些領域已經被幾乎沒有受過數學訓練的人以一種直觀的方式探索了，而且往往早在數學家意識到有一個學科可以研究之前就出現了。由于紐結目錄是一個相當小的簡單形式的集合，我認為他們的一個重要的比例可能會在交織裝飾中找到。在凱爾特藝術中可以找到各種各樣的紐結設計，我研究了這些，從目錄中確定了它們的組成部分(主要因素)。我失望地發現同樣的幾個結類型反復出現:31、41、62、813和920。我想知道這是一種有意識的藝術選擇，還是只是一種構造方法的結果，我系統地列舉了各種可能性，并確定了每一個結。對枚舉施加了限制，以排除那些藝術家似乎認為太簡單而不具有視覺吸引力的配置。計數和鑒定均采用計算機輔助。結果表明，在各種形狀的編結中，平滑交叉產生了非常不均勻的交替結類型分布，大約一半的設計只屬于73種結類型中的7種，而25種結類型未被代表。

2.紐結及其衍生產品

最簡單、最古老和最普遍的交錯裝飾的例子是用于鑲邊的紐結、鏈條和編織物。紐結是另一種基本設計，有時用于填充古代馬賽克地板的嵌板。最簡單的形式是在每條邊的中點放置一個十字交叉，并以自然的方式連接自由端，從而構建出一個矩形的正方形網格。該過程可以在正方形網格的任何連通子集上執行，并且圖1中展示了基于具有多達四個正方形的九個多聯骨牌圖的一些示例。

圖1：由九個多聯骨牌圖導出的格子。

編結設計有一個明顯的規律性，是由下面的正方形網格造成的。網格的存在可以被掩蓋，簡單重復的單調可以被更有趣的東西取代，同時仍然保持潛在的節奏。這是通過對一些交叉點進行簡單的局部更改，將它們替換為“斷點”來實現的。圖2說明了可能性：(a)和(b)顯示了交叉的兩種可能方向；(c)和(d)顯示消除或“平滑”每種方法的兩種方法。破碎的圓不是設計的一部分，但表示修改的限制：圓外的設計不作任何更改，除了所指示的部分外，設計的任何部分都不包含在圓內。修飾包括用另一個圓的母題替換一個圓的母題。圖2(c) - (d)所示的灰色水平線和垂直線，僅是指示已離開的十字路口位置的標記，并不是最終設計的一部分；它們被包括在下圖中，作為可視化構造的輔助。

圖2：可以在設計的一個小區域內進行的變化。

這種通過在大型編結工作中平滑交叉來構造交錯裝飾的技術是由Allen[2]在他花了20年時間研究凱爾特藝術后提出的構造凱爾特結設計的方法。這種方法現在在書籍[10]和互聯網上有廣泛的記錄，人們還可以從那里下載交互式繪圖工具[17]，只需點擊鼠標就可以平滑地交叉。圖3顯示了通過以各種方式平滑交叉而從編織B派生出來的一些設計。

圖3：可以從編織B中衍生出來的設計。

3.一些紐結理論

飾品的數學研究往往以對稱性為基礎，根據對稱類型進行圖案分析的理論也很完備[7,14,16]。交錯設計的層次感意味著它們可以從上面或下面觀看，所以它們是雙面裝飾的例子。兩個側面花紋的對稱類型被分類為[14]，它們已被用于分析凱爾特結[4]中的飾帶圖案，但一般來說，交錯圖案的分析已在底層圖案上進行，沒有區分上下交叉[6,8]。

應當指出，這里提出的分析具有根本不同的性質。對平面裝飾，甚至是雙面裝飾研究，本質上都是二維的。如果引入了拓撲，只允許設計平面內的變形。然而，結目錄顯示三維形式的圖表。從紐結理論家的角度來看，交錯的設計代表了一種靈活的空間結構，可以在三維空間中操作。例如，圖4中所示的兩個交錯設計作為二維配置是不同的(無限區域遇到不同數量的交叉)。然而，它們是同一種三維形式的圖表:一種設計可以重新排列，看起來像另一種設計，不是通過在平面上滑動線條，而是通過從頁面上提起打結的結構，并以新的方式布局。這些設計據說是環境同位素。

圖4：87的兩張圖。

我并不是建議用環境同位素來分類交錯設計。這種充分的拓撲靈活性排除了以幾何為基礎的排列思想，而這是構成的基礎。在交錯設計中，交錯始終次于底層模式中包含的結構。在這里，我更感興趣的是看看藝術創造力是如何探索結的領域的，以及裝飾藝術中有多少小結的拓撲類型。

我將簡要回顧結理論的一些術語和結果。進一步的細節可參閱標準文本[1,3,5]。每個文本還包含一個副本的結目錄作為附錄。

“紐結”是一個圓在三維空間中的嵌入。“鏈環”是不相交的紐結的集合。兩個鏈接被認為是等價的，如果一個可以使用R^3.的環境合痕變形到另一個“圖表”是一個鏈接的二維表示，通常被認為是一個三維形式的常規投影，以便可以恢復雙點處的“高于”關系。傳統的注釋是在投影中的每個雙點擦除少部分的交叉鏈。帶注釋的雙點稱為“交叉點”。每一個環節都有無限多不同的圖，即使平面上同胚的圖被認為是等價的。

我們將把交錯的圖案解釋為紐結圖。在許多交錯的設計中，幾乎所有凱爾特的例子中，每條線在穿過十字路口時交替地穿過上方、下方、上方、下方。這樣的圖被稱為“交替圖”，我們將把注意力限制在它們上面。注意，有些鏈接不能用這種方式表示；特別是目錄中的三個八十字節和八個九十字節沒有交替圖。

一個鏈接的復雜性的衡量標準是它的“交叉數”：在它的任何圖中最小的交叉數。結目錄是通過增加交叉數來排序的。每個結都有一個傳統的Nm形式的標簽，其中N和m都是整數；它表示有N個交叉的第m個結。

有時一個結可以被分割成一系列更小的結，連續地系在同一根繩子上。這種紐結被稱為“復合紐結”，它們的基本組成部分被稱為“素紐結”。我們在這里不需要三維的定義，因為一個類似于圖表的概念就足夠了。目錄中只包括質數結。

假設有可能在紐結圖上畫一個恰好與它相交一次的環，這樣交點就是一個交叉點。那么設計就可以簡化，交叉的數量也可以減少，而不需要改變所描繪的結的類型(圖的一部分可以解開)——見圖5(c)。這個圖叫做“可簡化的”。

假設有可能在一個交錯的設計上畫一個環，它恰好在不相交的點上相交兩次，并且在環的內部和外部有一些相交點。然后，設計可以分解成更簡單的部分——例如，圖5(d)可以由兩個三葉形構成。這個圖叫做“可分解的”。

在平滑交叉的地方有兩條線。如果這些是由圖的一個弧連接起來的，而這個弧沒有經過任何其他的交叉點，我們說這個圖“有一個尾巴”——見圖5(b)。(注意，“尾巴”是一個非標準術語——它只在規定的潛在交叉點的網格上下文中才有意義。)

圖5：排除的例子。

交替圖具有一定的剛性，這賦予了它們許多有用的屬性。特別是:

`當且僅當交替圖是可約的時，它可以用較少的交叉點重新繪制[9,12,15].

`當且僅當一個交替圖是可分解的時，它才代表一個非素環[11]。

注意，一般來說，很難確定一個給定的圖是最小的還是描述了一個主鏈接。

4. 案例研究

本文將通過一個典型實例的分析來說明本文的目的和方法。我們將從圖1中提取編織B，并確定通過平滑交叉可以從它派生出哪些結。最初，我們通過以各種可能的方式平滑七個交叉點來產生大量的設計，首先一次一個，然后成對進行，等等。我們放棄具有以下屬性的設計：

(1)有一個以上的組件。

(2)有一條尾巴。

(3)可簡化。

(4)可分解。

(5)交叉太少。

(6)它在幾何上等同于已經發現的設計。

條件1排除鏈接。“無盡的結”是一種常見的交錯裝飾形式，其單一路徑可能象征著無限、永恒或生命的持續循環。單一組件屬性在凱爾特針織中非常重要，即使是在大型復雜的面板中，它也得以保持，有時是以犧牲整體設計的對稱性為代價。條件2和3排除了因在平面內擴散而被稀釋的設計，或包含無效交叉的設計，并且可以簡化。條件4將搜索限制在目錄中列出的質數結。“穿越多少次就夠了”的問題(隱含在條件5中)是主觀的，但是，在凱爾特編織物的例子中，交叉的密度很高，最多三分之一到二分之一的交叉被平滑。對于編織B，我要求在最終設計中至少有四個交叉點。條件6中使用的幾何等價是雙面平面的等距圖：例如，如果一個設計可以在平面上旋轉、反射或翻轉，看起來與以前生產的東西一樣，那么它就被丟棄了。條件1-4排除的設計示例如圖5所示。

經受住這些條件的設計如圖3所示。8字形結41出現在五種幾何形狀不同的設計中。在這個例子中，它們在平面上都是同胚的，但不一定是這樣(見圖4)。

5.結果

剛剛描述的產生設計的程序被計算機化并應用于圖1中的所有格子。瓊斯多項式用于識別產生的結。這個紐結不變量是使用遞歸過程計算的，該過程通過平滑它們來消除交叉點，并且與編織藝術的研究很好地匹配。除了圖6所示的結對之外，它可以區分多達九個交叉點的所有結(素結和復合結)。因為圖是交替的，簡單的視覺檢查就足以區分這兩種情況:從編織F導出的所有候選都是合成的；編織E，L，Z的是89。

圖6：這兩個紐結具有相同的瓊斯多項式。

只有三葉結31可以從編織A衍生出來；編織B的結果已在前一節中討論；C和D有10個交叉點，計算機搜索有6到9個交叉點的結；其他編織有12或13個交叉點，而搜索僅限于有8或9個交叉點的編織。小交替質數結的設計頻率分布見表1。圖7-10顯示了每種結類型的一個例子。

圖7：一些可以從編織D導出的素紐結。

圖8：可以從編織F導出的一些素紐結。

圖9：一些可以從編織E導出的素紐結。

圖10：編織T特有的兩個結。

很難直接比較表1的列，因為起始編織具有不同的交叉數量和不同的對稱程度和類型。如果將每一列的條目轉換為該列的百分比，并在每行中計算這些百分比的平均值，那么最常見的七種結類型是(按順序排列，最常見的排第一個)62、82、813、84、920、88和42，它們幾乎占了設計的一半。在凱爾特藝術作品中，線性多米諾(A, B, D, E)或正方形(F)的編織是大多數設計的基礎。每種類型中最常見的結按等級順序列在表2中。

表1：每根編織上每種交替結型的設計數量。

表2：每個編織最常見的結類型。

有些結在設計中根本沒有表現出來。這在一定程度上是交叉密度要求的結果。從一個足夠大的編織開始，并平滑足夠的交叉，就可以創建任何交替的結類型。圖11顯示了從編織e中獲得73的一種方法，這種方法在中間有一長串扭轉;創建這些扭轉需要平滑許多交叉點，并且很可能違反交叉密度約束。結83、93、94、97和912也需要長序列的扭轉，在枚舉中沒有找到。

圖11：這個結是不存在的，但如果放寬交叉密度要求就會出現。

我們如下形成一個多角體的脊線：在每個正方形的中心放置一個頂點，如果它們的正方形共享一條邊，則用一條線連接這些頂點。請注意，三個正方形的多邊形C和D具有相同的脊線，并且表2中的列C和列D相等。同樣的道理也適用于四角形E、L和Z。這五個格子的刺是頂點價不超過2的樹。編織T和F是例外，因為它們的脊骨分別包含一個三價頂點和一個圈。

結理論家可能會注意到，三橋結似乎很難產生，而那些被發現的結來自于具有特殊刺的編織:810,816,817和818是編織F所特有的，815和928是編織t所特有的。其他三橋結是916和所有在922-941范圍內的結都沒有在枚舉中產生。

多達九個交叉點的結的原始目錄足以證明這里提出的觀點。然而，它限制了搜索空間，并且產生的許多設計僅僅因為是鏈接或者有太多交叉點而被丟棄。在計算機的幫助下，結表得到了擴展，另外還有1778種具有10-12個交叉點的素交替結類型，其中一些將由具有四方形多邊形的編織產生。此外還有鏈接表——參見[13]中的9個交叉點。

參考文獻

[1] C.C. Adams, The Knot Book: An Elementary Introductionto the Mathematical Theory of Knots, W.H. Freeman and Co., New York, 1994.

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[3] G. Burde and H. Zieschang, Knots, de Gruyter, Berlin, 1985.

[4] P.R. Cromwell, Celtic knotwork: mathematical art, Math. Intelligencer 15(1) (1993), pp. 36–47.

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[13] D. Rolfsen, Knots and Links, Publish or Perish Inc., Berkeley, CA, 1976.

[14] A.V. Shubnikov and V.A. Koptsik, Symmetry in Science and Art, Plenum Press, New York, 1974.

[15] M.B. Thistlethwaite, A spanning tree expansion of the Jones polynomial, Topology 26 (1987),pp. 297–309.

[16] D.K. Washburn and D.W. Crowe, Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis, University of Washington Press, Seattle, 1987.

[17] D. Zongker, Celtic Knot Thingy, Available at: http://isotropic.org/celticknot/

[18] Peter R. Cromwell, The distribution of knot types in Celtic interlaced ornament

青山不改，綠水長流，在下告退。

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