數(shù)形結(jié)合解分段——2024年荊州四月調(diào)考第24題

數(shù)形結(jié)合解分段

2024年荊州四月調(diào)考第24題

近期各地的四月調(diào)考卷紛紛出爐，命題質(zhì)量都比較高，都在各自教學導向上對2024年省考進行了模擬，從壓軸題命題角度，可以看出已經(jīng)超越了元調(diào)框架，并結(jié)合往年自身的特點進行了“預測”。

2024年荊州四月調(diào)考，整卷命題質(zhì)量高，尤其是在壓軸題中堅持考察分段函數(shù)，值得學習。

題目

如圖，已知經(jīng)過點A(-2,0)和B(x,0)(x>-2)的拋物線y=-1/4x2+1/2mx+n(m>0)與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D.

(1)請用含m的代數(shù)式表示n和點D的坐標；

(2)設(shè)直線EF垂直平分OC，垂足為E，交該拋物線的對稱軸于點F，連接CF，DF，∠CFD=90°，求m的值；

(3)若在(2)的條件下，若點Q是拋物線上在y軸右側(cè)的一個動點，其橫坐標為t，點Q到拋物線對稱軸和直線CD的距離分別是d1，d2，且d=d1-d2，①求d關(guān)于t的函數(shù)解析式；②當0

解析：

01

(1)將點A坐標代入拋物線解析式中，得0=-1-m+n，所以n=m+1；

由CD∥x軸，可知點D與點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，不妨將拋物線解析式化為頂點式，y=-1/4(x-m)2+1/4m2+m+1，可知對稱軸為x=m，因此點D橫坐標為2m，縱坐標與點C相同，為m+1，所以D(2m,m+1)；

02

(2)仍然由拋物線的軸對稱性，CF=DF，且∠CFD=90°，所以得到等腰Rt△CDF，其中對稱軸與斜邊CD交點為G，如下圖：

FG是直角三角形斜邊上的中線，由此可得FG=1/2CD=m，而CE=1/2OC=(m+1)/2，由CE=FG可列方程m=(m+1)/2，解得m=1；

03

(3)①在m=1的條件下，拋物線解析式為y=-1/4x2+1/2x+2，化為頂點式為y=-1/4(x-1)2+9/4，對于點Q，不妨設(shè)它坐標為(t,-1/4t2+1/2t+2)，題目描述中，它在y軸右側(cè)，涉及到兩個距離，其一是點Q到拋物線對稱軸的距離d1，其二是點Q到直線CD的距離d2，因此需要考慮點Q在不同位置下，距離的表示不同，所以需要分類討論：

Q在對稱軸左側(cè)
Q在對稱軸右側(cè)
CD上方
CD下方
CD上方
CD下方

由于點C在y軸上，因此只剩下三類需要討論，分別對應(yīng)的t范圍是0 2，下面我們分別來寫d關(guān)于t的函數(shù)解析式：

②對于分段函數(shù)的圖象，學生作圖要求比較高，由于是草圖，首先要能分別繪制每一段函數(shù)圖象，并確定各自的自變量范圍，其次要明確分界點(線)，最后是求出各函數(shù)分支與x軸、直線y=1的交點；

在0

在1

在t>2范圍內(nèi)，d=-1/4t2+3/2t-1與x軸的交點是(3+√5,0)，與y=1交點為(2,0)，(4,0)；

依據(jù)上述信息作草圖如下：

請注意，d≠0，但d可以是1，因此，滿足0

解題反思

對于二次函數(shù)的教學要求，我們先來讀新課標，如下圖：

作為二次函數(shù)壓軸題，無論難度如何，都是按課標要求命題，本題也不例外。其中針對畫函數(shù)圖象，很多老師也在平時教學中注重課堂上學生的動手操作，但依然存在面對本題第3問，作圖出現(xiàn)困難，這個教學上的問題如何解決？

在張欽博士工作室系列研題視頻中，至少有10位以上的老師在反思中提到了學生作圖，也不止一次提到了平時教學中要多讓學生作圖，只是個人認為，似乎還缺少了一點什么。這道題我給自已班學生也做過，并且站在部分學生旁邊看著他們作圖，經(jīng)過觀察之后，才發(fā)現(xiàn)作圖能力的培養(yǎng)，并不是簡單的“多畫”就能解決，單純的時間累加，并不能促進學生作圖能力的成長，關(guān)鍵在于對函數(shù)概念和圖象的深刻理解。

作圖之前必先算，這是原則，這個所謂算，包括特殊點坐標、特殊線段長、特殊解析式等，而是否“特殊”則依賴于對函數(shù)概念的理解，例如頂點、坐標軸上的交點等。

我想起曾經(jīng)課堂上的某個片段，關(guān)于函數(shù)概念：

函數(shù)是研究兩個變量間的關(guān)系，那什么是變量間的關(guān)系？我們列舉一個最容易理解的例子，你手里有一個糖盒，我手里也有一個，并且我的糖果數(shù)量始終是你的2倍，這就建立了一種關(guān)系，將你我手中的糖果分別作為兩個變量x、y，則y=2x則是它們之間的關(guān)系，這就是一種函數(shù)關(guān)系；

生活中的實例可以有很多，關(guān)鍵是用函數(shù)去理解它們，你得想到用它，這和我們多次研題時，總是在探討學生如何想到如出一轍，所以我們才不斷研究課堂、研究教材、研究學生等。

因此，在畫函數(shù)圖象之前，不妨先讓學生想一下，估一下，你的圖可能畫成什么樣？打個樣在旁邊，再正式開始畫，當你按列表、描點、連線的規(guī)范步驟完成之后，再和旁邊打的樣對比，這個過程就是培養(yǎng)作圖思維的過程。其實作為老師用幾何畫板用圖，本質(zhì)是一樣的，我自已解題，也是徒手作圖，然后才到電腦上去作圖，去驗證一些徒手完成不了的步驟。

關(guān)于分段函數(shù)，新課標中也有它的例題，如下圖：

對于每個界點，我們需要明確它的實際意義，而在本題中，也是同樣的要求，分段函數(shù)的分支中是一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)，都可以用于命題。

上圖中有一句話頗有深意，“在許多情況下，有效的教學不僅能從條件推演結(jié)果，也可從結(jié)果想象條件。”達到這個層次，我覺得函數(shù)就學得不錯了。