點、線、面——追隨希爾伯特、康定斯基

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

康定斯基試圖發展系統的繪畫基本要素理論的關鍵一步是出版《點線面》一書。這本書間接受到本世紀初關于幾何基本要素的討論的影響，并在某種意義上與之相關。我們研究了康定斯基與幾何學之間現有的一些聯系，指出他看待線條生成的方式具有令人驚訝的“矢量場”內涵。

1923年，康定斯基在魏瑪度過。在經歷了第一次世界大戰和俄國革命時期的中斷后，他一回到德國就再次遇到了一些老朋友，如保羅·克利（Paul Klee）和阿列克謝·馮·雅夫連斯基（Alexej von Jawlensky）。他重新開始了1914年夏天在博登湖畔的戈爾達赫進行的一項計劃：撰寫他在1912年出版的前一本書《藝術中的精神》的發展?？刀ㄋ够哪繕耸菫槔L畫基本要素的系統理論奠定基礎，在對色彩進行處理之后，他考慮的是形狀（在他的計劃中，第三個組成部分是主題）。因此，他花了3年時間撰寫了《Punkt und Linie zu Fl?che- Beitrag zur Analyse der malerischen Elemente》一書。

這本書即使出版于1926 年，也是在20世紀初的氛圍中誕生的，當時，不同文化圈（正如我們今天所看到的那樣）之間的思想、關鍵詞和隱喻的滲透十分激烈。

對于數學家來說，點、線、面等詞在這種情況下會讓人立即聯想到幾何學基礎的系統化。1899 年，大衛·希爾伯特（David Hilbert）出版了《幾何基礎》（Grundlagen der Geometrie）一書，這本書同時也是自帕施（Pasch）、皮耶里（Pieri）、帕多瓦（Padoa）、皮亞諾（Peano）等人以來對初等幾何進行整理和公理化的漫長工作的最后一步，也是一個新紀元——形式化時代——的起點。希爾伯特在與弗雷格的爭論中寫道，對數學家來說，Punkte、Geraden 和 Ebenen 這三個詞除了公理所強加的（邏輯）含義外，沒有其他含義，可以用Tische、Stühle 和Bierseidel來代替。嚴謹和客觀理論（用康定斯基的話說）的概念在數學和藝術中是不同的，康定斯基不會寫出像《Tische und Stühle zur Bierseidel》這樣的書。

事實上，重點在于另一點。希爾伯特的設定是關鍵的一步，它（由于其內在價值和作者的聲望）改變了我們的思維方式和闡釋數學的方式。另一方面，毫無疑問，在那些年里，關于這一主題的討論是激烈而開放的。我們可以讀一讀龐加萊（Poincaré）對希爾伯特的《基礎》一書所寫的評論（幾年后，他在《科學與數學》（Science et méthode）一書中幾乎逐字逐句地重復了同樣的觀點）：

他似乎只對邏輯觀點感興趣。給定一連串命題，他驗證所有命題都是從第一個命題推導出來的。第一個命題的基礎是什么，它的心理起源是什么？他沒有考慮到這一點……因此，它的工作是不完整的，但這不是我對他的批評。每個人都必須承認自己是不完整的。我只想說，他的著作對于數學哲學來說，是一個進步，可以與洛巴切夫斯基、黎曼、赫爾莫茨和李的進步相媲美。

在這兩位數學巨匠之間的小小爭論中，我們要強調的是，龐加萊說的是數學哲學的進步（而不是數學的進步）。費德里戈·恩里克斯（Federigo Enriques）于 1901 年發表了《幾何公設的心理起源》（Sulla spiegazione psicologica dei postulati della geometria）一文，試圖研究幾何公設的心理起源。

龐加萊的憂慮也具有教學性質：

那么，為了理解一種理論，僅僅驗證自己所走的道路沒有被障礙物打斷是不夠的。我們有必要了解選擇這條道路的原因。如果我們想從一開始就賦予一種理論以它的最終形式，即無懈可擊的邏輯所強加的形式，而不去追溯導致這種組織的任何附帶條件，那么是否可以說我們理解了這種理論呢？不，我們不會真正理解它，我們也無法記住它，或者我們只能通過用心學習來記住它。

無論如何，即使我們今天很容易在希爾伯特形式主義和布爾巴基教學法的熏陶下，從數學的角度將點、線、面等實體的含義視為非問題，但康定斯基寫作此書時的情況有所不同。如果我們成功地從希爾伯特的范式來看待問題，就更容易在正確的背景下理解康定斯基的工作。

首先是點。馬里奧·皮耶里（Mario Pieri）是希爾伯特之前初等幾何系統化的作者，在那個被認為更加優雅和完整的時代，他只使用了兩個原始概念：點和剛性運動，直線被定義為派生概念（他順便指出，也可以使用點和omography 作為原始概念，但從教學的角度來看，這將是一個輕率的選擇）。皮耶里認為，我們不能不使用點的概念，因為它是所有幾何構造的基礎?？刀ㄋ够J為，點是絕對的簡潔，它通過繪畫創造線條。值得注意的是，希爾伯特本人在1894年曾寫道：幾何是基于我們所能做的最簡單的實驗，也就是基于繪畫。點和線都是抽象概念，主要來自繪畫經驗，而非視覺或觸覺經驗。這些觀點在另一本奠基性著作《Les étapes de la philosophie mathématique》中得到了發展，該書由萊昂·布倫施維奇（Léon Brunschvicg）撰寫于1912年，正是《關于藝術中的藝術家》（Uber das Geistige in der Kunst）出版的那一年。Brunschvicg認為繪畫實踐是幾何真理的起源。

恩里克斯在上文引述的《幾何學假設的心理學啟示》（Sulla spiegazione psicologica dei postulati della geometria）一文中認為，點是空間概念表征的起始元素（他的認知方法是以點為基礎的，根本不是態勢學）——沒有點，就不可能賦予幾何實體以意義。

這些話題都很流行。弗朗斯·布倫塔諾（Frans Brentano）是一位非常有影響力的學者，他在給瓦拉蒂的一封信中討論了歐幾里得公理，暗中試圖揭示點和直線等原始概念的本質。瓦拉蒂回答說：

幾何的公理是什么？在我看來，如果不先行回答另一個問題，就不可能給出準確的答案：哪種方式最能使我們對空間性質的認識有序化，從而使它們成為數量有限的基本假設的結果？在可以實現這一目的的多種方法中，有些方法可能對某些特性更為可取，而另一些方法則對其他特性更為可取（例如，有些方法對假設的大量證據更為可取，而另一些方法則對假設的有限數量更為可取）。

在那些年里，抽象藝術界對數學家的“發現”很感興趣，有時甚至著迷。普特奧小組的成員（庫普卡、萊熱爾、格萊澤斯、梅辛格、狄龍、杜尚、勒福索尼耶——或者至少其中有人）閱讀了普安卡雷和一些愛因斯坦的作品，甚至試圖在他們的作品中融入這些作品的一些暗示。例如，四維空間是一個反復出現的主題——我們必須記住，這是一個幾何四維空間，與時空的混合是一個現代事實。與此同時，試圖用圖像表現運動的嘗試也產生了與康定斯基的方法有關的結果。例如，我們可以看看庫普卡，他用線條描繪物體的運動軌跡——點的運動產生曲線。

當然，這些藝術界人士同時也在閱讀普安卡雷和布拉瓦茨基夫人的著作，但從某種意義上說，這也是那個時代的典型特征。康定斯基本人追隨彼得·烏斯賓斯基（Peter Ouspensky），認為精神世界是一個多維結構——有人試圖用幾何學的新發現來解釋超自然或超自然現象。有人展示了耶穌是如何通過四維空間進入所有門都關閉的餐廳的。

弗拉基米爾·列寧(！)在《唯物主義和經驗主義》中攻擊了龐加萊，因為他關于多維空間的理論為唯心主義者和唯心論者提供了論據。

無論如何，即使杜尚等藝術家的理論解釋在今天看來顯得幼稚（例如，當他試圖解釋繪畫中的每個三維物體都是四維物體的投影時），其藝術效果，就像《La mariée mise à nu par ses célibataires》一樣，也是非凡的。

康定斯基在書中研究了平面上一個點的運動問題，他的分析基本上是局部的。一個點受到兩種拉力的作用，第一種是水平拉力，第二種是垂直拉力——這兩種力的組成就是運動的方向。隨著基本力強度的變化，這種構成每時每刻也會發生變化。這是一種非?！笆噶炕钡那€生成思想，讓我們想起了矢量場和積分曲線。

對康定斯基來說，線條并不是單點的簡單結合。它們的連續性是強大而不可分割的。在某一特定時刻，他開始談論移動點的標記。在恩里克看來，這正是曲線的心理起源，他將繼續把曲面視為由曲線系統生成。相反，對于物理學家龐加萊來說，眼前的現實是三維的，我們通過超平面截面得到面和點。不過，請注意，康定斯基也說過，線的一個特征就是生成曲面。

這些點上的張力是由內在感知產生的。在此必須指出的是，康定斯基提出的這一形狀理論是他得以脫離具象藝術的理論工具，同時又不失作為一般藝術結構構成要素的預言價值。如果我們放棄對物體的表現，如何保持藝術的預言功能？康定斯基的解決辦法是轉而表現內心的感知，這就造成了點與點之間的緊張關系。關于點和線，康定斯基談到了靈魂體驗。因此，線是由一個點在一個非各向同性的平面上從自身出來而產生的，在這個平面上，兩個特定的方向（水平=溫暖，垂直=寒冷）具有不同的含義。因此，康定斯基尋求繪畫基本元素的內在生成，恩里克斯則尋求相同元素的心理基礎。

康定斯基用更現代的話說，在抽象思維中，在我們的“觀念”中（不管這種說法的含義是什么），點是理想的小，理想的圓，就像一個無限小的圓，當我們畫出它時，它就具體化了：他所涉及的就是今天所說的形象方面和概念方面之間的辯證關系?？刀ㄋ够鶗性佻F的點的不同形狀被稱為基本特征的相對色彩變化，而基本特征是不可改變的。

最后一點。當我們將康定斯基的觀點與學生在課堂上處理幾何圖形的最初構造時的言行進行比較時，就會發現他的觀點具有令人驚訝的解釋力。例如，當然有水平方向和垂直方向，但通常還有對角線方向，即與水平方向和垂直方向成 45?角的方向。其他線條只是與對角線或多或少的偏差。為什么孩子們要區分水平線和垂直線？這是很自然的；但為什么當他們處理歐幾里得幾何或形式推理時，這種直觀的非各向異性仍然會影響他們呢？為什么他們會說“豎起來的長方形”，或者他們不能識別非正則位置上的梯形？這些都是數學教學中眾所周知的問題。

康定斯基認為有三個基本角度：直角、銳角（=45?）和鈍角（=135?），其他角度只是這些角度的變體，具有不同的個性?？刀ㄋ够姆治鲇兄谖覀兝斫?，為什么對許多學生來說，不受物體或畫布位置的影響而進行幾何創作是如此困難。

康定斯基用他的藝術力量告訴我們，幾何元素在圖形上的表現充滿了意義和輕描淡寫，在心理上是非中性的。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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