“永遠(yuǎn)”的備選方案——面積法

“永遠(yuǎn)”的備選方案——面積法家長會

初中數(shù)學(xué)的面積法其實(shí)是個概述，并沒有統(tǒng)一的規(guī)定，只要是利用圖形面積關(guān)系的方法，皆可稱面積法，正由于這個模糊不定的界定，它不如某些大名鼎鼎的方法那樣容易被想到，一般會屈居幕后，耐心等待學(xué)生遍歷其余方法，實(shí)在走投無路，才會想到它。

但是考場上時(shí)間有限，不允許學(xué)生遍歷所有可能用到的方法，一旦初次選擇有誤，不能首發(fā)命中，極大概率是在復(fù)雜的計(jì)算中迷失，從而導(dǎo)致時(shí)間上的浪費(fèi)。解決這種“想不到”的難題，一般也沒什么靈丹妙藥，老老實(shí)實(shí)積累解題經(jīng)驗(yàn)就好。作為教師能做的事情，就是幫助學(xué)生在盡可能減輕負(fù)擔(dān)的前提下，積累足夠多的經(jīng)驗(yàn)。

例1

已知:AB是⊙O的直徑,OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C,點(diǎn)D是OB的中點(diǎn),OB=4,點(diǎn)P是劣弧CB上的一個動點(diǎn),點(diǎn)Q是線段CB上的一個動點(diǎn),連接PC,PB,PQ,當(dāng)△PCB面積最大時(shí)，求PQ+√10/10CQ的最小值.

解析

典型的線段和最值問題，脫胎于“將軍飲馬”問題，基本思路是將它們轉(zhuǎn)化到一條線段上；

雖然題目中有兩個動點(diǎn)P和Q，但“當(dāng)△PCB面積最大時(shí)”，點(diǎn)P已經(jīng)確定，因此真正的動點(diǎn)其實(shí)只有一個；

對于△PCB而言，底邊BC固定，所以在弧BC上找到一個點(diǎn)，使其到弦BC距離最遠(yuǎn)即可，我們可以較容易找到這個點(diǎn)就是弧BC中點(diǎn)P；

結(jié)論P(yáng)Q+√10/10CQ中，PQ比較好辦，哪條線段長是√10/10CQ，需要多觀察圖形，我們過點(diǎn)D作DE⊥BC，如下圖：

由OC=OB=4，得OD=2，且∠DBE=45°，所以DE=√2=BE，CD=2√5，在Rt△CDE中，CE=3√2

，于是CD=√10DE，我們找到了符合要求的一組線段；

只要形狀與△CDE相同，那么斜邊一定是較短直角邊的√10倍，就利用這個特征，我們來構(gòu)造新的直角三角形，如下圖：

過點(diǎn)Q作DG⊥CD，我們在新構(gòu)造出的Rt△CDG中，可同樣得到CQ=√10QG，即QG=√10/10CQ；

這樣我們完成了前面的任務(wù)，找到了一條線段QG符合要求，現(xiàn)在可以完成轉(zhuǎn)換了，我們只需要求出線段PG的最小值即可；

顯然當(dāng)PG⊥CD時(shí)，PG最??；

學(xué)生遇到的困難在于，如何求PG的長？

PG是一條垂線段，所以它的另一個身份，是某個三角形的高，我們連接PD、OP，如下圖：

由此出發(fā)，考慮△CDP的面積，是從四邊形ODPC中減掉△COD得到，而四邊形ODPC的面積又可以由△COP和△ODP相加得到，如下圖：

我們可證得OP是∠BOC角平分線，因此點(diǎn)P到邊OB和OC的距離相等，且這兩個距離分別是△ODP和△OCP的高，分別是2√2，而OD=2，OC=4，所以△ODP的面積是2√2，△OCP的面積是4√2，因此四邊形ODPC的面積是6√2，而△COD的面積是4，所以△CDP的面積是6√2-4，我們可求得CD=2√5，最后得到PG=(6√10-4√5)/5.

例2

已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn).

(4)如圖4，已知BC=4，若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AP于點(diǎn)F，設(shè)線段BE的長度為a，線段CF的長度為b，試求出點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中，a+b的最大值.

解析

前面的探究中，我們已經(jīng)得到了△ABE≌△CAF，所以BE=AF=a，AE=CF=b；

我們將BE看作是△ABP的高，CF看作是△ACP的高，如下圖：

△ABC的面積為4，故△ABP與△ACP面積之和為4，可得AP×(a+b)=8，即a+b=8/AP；

當(dāng)AP最小時(shí)，a+b最大，顯然當(dāng)AP與AD重合時(shí)，依據(jù)垂線段最短，此時(shí)AP最小值為2，因此a+b最大值為4.

解題思考

這兩道例題中，學(xué)生解題過程中遇到了困難，也嘗試了不同方法，例1中有學(xué)生建系，試圖用解析法，雖然理論上所有幾何問題都可以通過建系轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，但是本題轉(zhuǎn)換后計(jì)算量較大，并不容易求解；例2中，面對a+b最大值，有學(xué)生觀察到了a2+b2=8，嘗試用不等式最值，同樣也遇到了困難。

所以學(xué)生解題中遇到的困難，反映出學(xué)生對面積法運(yùn)用仍然不夠，對于垂線段同時(shí)也是高，沒有足夠認(rèn)識。由此反思我們的教學(xué)中，是否對面積法足夠重視，還是在講完其它方法之后，問學(xué)生“還有別的方法嗎？”，再展示面積法，如果是這樣的課堂，那注定面積法永遠(yuǎn)是備胎。

課堂教學(xué)中，對于多種解法的處理非常關(guān)鍵，教師很難做到自已講解時(shí)沒有偏好，事實(shí)上講題時(shí)不經(jīng)意的態(tài)度也流露出該方法在教師心目中的地位，同時(shí)也會傳遞給學(xué)生，因此，究竟是學(xué)生沒有重視面積法，還是教師自已沒有重視面積法，是個值得思考的問題。

如果是教師自已經(jīng)過嘗試之后，不得不選擇面積法，那應(yīng)該將嘗試的經(jīng)歷通過某種方式告訴學(xué)生，幫助他們避坑；如果教師首先就想到了面積法，那應(yīng)該將自已如何想到的經(jīng)驗(yàn)傳遞下去，讓學(xué)生也能積累方法選擇的經(jīng)驗(yàn)。

這又繞回到最初的教學(xué)問題，如何幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，課堂上創(chuàng)設(shè)盡可能豐富的情景，讓學(xué)生的思維更加開放，同時(shí)正確評價(jià)每一種解題思路，把方法的選擇權(quán)交還給學(xué)生，在這個時(shí)候，不要老師覺得簡單，而要讓學(xué)生覺得簡單；不要學(xué)生覺得老師覺得簡單，而要學(xué)生自已覺得簡單。