優思學院｜Cpk 和 Ppk：到底誰更有說服力？

你的供應商把你要的流程能力圖（process capability charts）發過來了。圖做得相當漂亮，一看就是用什么高級軟件生成的——各種統計指標一應俱全，比如 Cpk、Ppk、σ水準（sigma level）、超出規格的ppm 等等。圖好看得很，看起來你的供應商簡直棒極了。你注意到其中一張能力圖上，Ppk = 1.14，而 Cpk = 2.07。這倆為什么不一樣？算了，不重要。反正 Cpk 大于 1.33，正好是你當初要求供應商達到的。那好，換個事情干吧。

你剛剛，錯過了一個關于供應商品質表現（performance）的非常關鍵信息。知道是什么嗎？

Cpk 和 Ppk 是衡量流程能力（process capability）的兩個常用指標——也就是你的流程滿足顧客規格要求的程度。現在的軟件（software）很方便，只要把數據一丟進去，結果唰地就出來了。但很多時候，我們拿到這些結果，就直接往前走了，根本沒仔細想過它們真正代表什么。本期優 思學院就來深入聊聊 Cpk 和 Ppk：它們是什么？它們在測什么？這些數值到底意味著什么？你該更相信哪一個？有些答案，可能會出乎你的意料。

流程能力回顧（Process Capability Review）

流程能力分析（process capability analysis）要回答的問題是：你的流程在多大程度上滿足規格——不管是顧客給的規格，還是你內部自定的規格。要計算流程能力，你需要三樣東西：

- 流程平均值的估計值
- 流程標準差（standard deviation）的估計值
- 規格限（specification limits）

算 Cpk 和 Ppk 都是這三樣，我們這里假設數據服從正態分布（normal distribution）。

流程能力指數（process capability indices）可以理解成一個比值：從流程平均值到某個規格限的距離，與流程“自然變差”的比。這里流程的自然變差通常取 3 倍流程標準差。圖1 給出了基于上規格限（USL）計算流程能力指數的一般示意，其中 s 是流程變差的度量。

流程能力指數：

流程能力指數 = (USL – 平均值)/(3s)

要算流程能力，你必須能“合理地”估計流程平均值和流程標準差。注意，這不只是做個公式計算那么簡單。這兩個統計量必須是“有效的”（valid），后面我們會展開說。

Cpk 和 Ppk 回顧（Cpk and Ppk Review）

Cpk 和 Ppk 都是“兩個能力指數中的較小值”。它們的公式如下：

Cpk = min{ (USL ? X?)/(3σ), (X? ? LSL)/(3σ) }
Ppk = min{ (USL ? X?)/(3s), (X? ? LSL)/(3s) }

這里 X? 是整體平均值（overall average）。

在 Cpk 的公式里，用 σ 來估計流程變差，這個 σ 是用極差控制圖（R 控制圖）估算出來的流程標準差（standard deviation estimate）。
在 Ppk 的公式里，用 s 來估計流程變差，這個 s 是用全部數據直接算出來的標準差。

所以，Cpk 和 Ppk 的根本差別，就是“流程變差”的估計方式不一樣。那這兩種變差估計，差在哪里呢？

組內變差 vs 整體變差

Cpk vs Ppk 的問題，本質上就是：組內變差（within subgroup variation, σ）和整體變差（overall variation, s）之間的差異。

先看整體標準差 s，它的公式是：

s = √[ Σ (Xi ? X?)2 / (N ? 1) ]

N 是全部數據點的個數。看根號下面那個求和項，就是把每個單個數據點和整體平均值的差值平方后加起來（見圖2）。

從公式的含義看，你可以把 s 理解為：每個數據點“平均離整體均值有多遠”。由于計算時用到了所有數據，所以這個標準差 s 有時也叫整體變差（overall variation）——它把數據里存在的所有變差都算進去了。

現在我們看 σ，也就是通常說的組內變差（within subgroup variation）。這個 σ 是從極差控制圖（range control chart）估出來的流程標準差。

比如，你用的是 X?-R 控制圖，子組（subgroup）大小為5。每次抽 5 個樣本，這 5 個點的平均值就是 X?，畫在 X? 圖上；這 5 個點的極差 R = 最大值 ? 最小值，畫在 R 圖上（見圖3）。R 就是這個亞組內部的變差度量。

然后用下面這個公式估計 σ：

σ = R? / d?

其中 R? 是平均極差，d? 是與亞組大小有關的控制圖常數。
所以 σ 只反映“組內”變差。它是否包含了全部變差，要看流程狀態，后面會看到。

那個“小問題”：統計控制！（That Little Issue of Statistical Control!）

我們之前所有關于流程能力的文章，都一再強調一個前提：流程必須處于統計控制狀態（in statistical control）。現實中，這個前提經常被完全忽略。

較早之前，優思學院六西格瑪課程中提出的“流程能力檢查清單”，用來幫你把流程能力的真實情況說清楚。清單有五項：

1）先用控制圖（control chart）把數據畫出來，判斷流程是否處于統計控制狀態（是否一致、可預測）；
2）對處于統計控制狀態的流程，畫直方圖（histogram），并在圖上加上規格限；
3）對處于統計控制狀態的流程，計算流程數據的自然變差；
4）對處于統計控制狀態的流程，計算 Cp 和 Cpk；
5）把以上四項結果組合起來一起展示，用來說明流程能力。

你注意到了嗎？“對于處于統計控制狀態的流程”這句話出現了多少次？意思很簡單：只要流程不在統計控制狀態，Cpk（以及 Ppk）這些數值就沒有意義。

關鍵點來了：如果你的流程處于統計控制狀態，那么 Cpk 和 Ppk 的數值會非常接近。實際上，你可以用下面的經驗來判斷：

如果 Cpk ≈ Ppk，則流程在統計控制狀態；
如果 Cpk 和 Ppk 差別很大，則流程不在統計控制狀態。

所以，當你看到供應商給你的圖里，Cpk 和 Ppk 差得很大，其實你已經被“提醒”了一件事：供應商的流程不在統計控制狀態——你拿到的未來產品會是什么樣子，并不靠譜。

同樣，如果流程不在統計控制狀態，Cpk 和 Ppk 就基本沒什么意義了。因為流程不一致、不穩定，你不能指望未來再得到類似的值。下面我們會通過一個例子進一步說明：兩個流程用的是同一批數據，只是順序不同。

兩個流程——同一批數據，同一個 Ppk

我們來看兩個流程（Process 1 和 Process 2），它們的數據來源完全一樣（數據取自上一期文章），只是排序不同。假設你每小時取 4 個樣本，組成一個亞組。你想判斷這個流程能否滿足規格要求：LSL = 65，USL = 145。流程1的 30 個亞組數據見表2（略）。

流程2的數據和流程1是同一批，只是順序完全打亂了一下，見表3（略）。

由于本質上是同一批數據，所以表2和表3的數據有同樣的平均值和同樣的標準差：

平均值 = 98.98
標準差 s = 9.89

現在你用表2的數據畫一個直方圖，用表3的數據再畫一個直方圖，然后加上規格限 LSL = 65，USL = 145。你會發現，兩張直方圖一模一樣——這很正常，因為數據是完全相同的一套。圖4就是這個直方圖。

從圖上看，這個流程表現很不錯——整體分布完全在規格范圍里。你當然很滿意。接下來，你計算流程1和流程2的 Ppk。由于均值和標準差完全一樣，兩個流程的 Ppk 也必然一樣。計算如下：

所以，流程1和流程2的 Ppk 都是 1.14。

兩個流程——同一批數據，不同的 Cpk

等等，那 Cpk 呢？兩個流程的 Cpk 一樣不一樣？答案：不一樣。

記住，Cpk 是基于組內變差（within subgroup variation）算出來的。雖然兩套數據本質上相同，但亞組的“分組順序”不一樣，就會導致“組內變差”不同。

算 Cpk 時，你需要通過 R 控制圖估算標準差 σ，并通過 X? 控制圖估算整體平均值。注意，這是 Ppk 和 Cpk 之間一個非常重要的區別：Ppk 只是對所有數據直接做計算；Cpk 是通過控制圖來估算平均值和流程變差——這是一種“用于預判未來”的方法。

先看流程1。流程1的 R 圖如圖5所示。

R 圖處于統計控制狀態，說明組內變差是穩定、一致、可預測的。于是你可以通過下面公式估計標準差：

σ = R? / d? = 22.50 / 2.357 = 9.54（約）

因為 R 圖在統計控制狀態，所以基于組內變差得到的 σ 是“有效的”：產生這些數據的流程是一致、可預測的，只要流程不變，未來也會保持這種水平。

接下來算 Cpk 還需要一個流程平均值，這個來自 X? 控制圖。流程1的 X? 圖如圖6所示。

X? 圖也處于統計控制狀態，說明你對流程平均值的估計是可靠的“有效”估計。于是你可以用這個平均值和 σ 來算 Cpk：

Cpu = (USL ? X?)/(3σ) = (145 ? 98.98)/(3×9.54) = 1.61
Cpl = (X? ? LSL)/(3σ) = (98.98 ? 65)/(3×9.54) = 1.19
Cpk = min{Cpu, Cpl} = 1.19

現在比較一下流程1的 Ppk 和 Cpk：

流程1：Ppk
s = 9.89
Ppu = 1.55
Ppl = 1.14
Ppk = 1.14

流程1：Cpk
σ = 9.54
Cpu = 1.61
Cpl = 1.19
Cpk = 1.19

你會發現兩套結果非常接近。只要流程在統計控制狀態，情況總是這樣——因為：

當流程處于統計控制狀態時，組內變差是整體變差的一個好估計，也就是說 σ ≈ s；
在這種情況下，Cpk 基本等同于 Ppk，它們在講同一件事。

現在看流程2。流程2的 R 圖如圖7所示。

R 圖同樣處于統計控制狀態——也就是說組內變差穩定、可預測。于是可以估計標準差：

σ = R? / d? = 12.87 / 2.357 = 5.46（約）

接下來算 Cpk，仍然需要整體平均值 X?，這個要從 X? 控制圖來。流程2的 X? 圖如圖8所示。

但這一次，X? 圖不在統計控制狀態：有點超出控制限，有長串點都在平均線一側，等等。總之，流程“亞組間”的變差不穩定、不可預測。

這意味著，你對流程平均值并沒有一個“靠譜”的估計。均值在來回飄，你根本說不準下一組的平均值會到哪里。流程不一致、不穩定，所以從未來角度看，你其實“沒法”算一個有意義的 Cpk。

但在實際工作中，很多人對這一點直接視而不見，還是照樣硬算 Cpk。反正算出來的平均值也是 98.98。于是按公式算：

Cpu = (USL ? X?)/(3σ) = (145 ? 98.98)/(3×5.46) = 2.81
Cpl = (X? ? LSL)/(3σ) = (98.98 ? 65)/(3×5.46) = 2.07
Cpk = min{Cpu, Cpl} = 2.07

這就得到流程2的 Cpk = 2.07。現在把流程1和流程2的結果并排比較一下：

流程1 & 流程2：Ppk（相同數據）
s = 9.89
Ppu = 1.55
Ppl = 1.14
Ppk = 1.14

流程1：Cpk
σ = 9.54
Cpu = 1.61
Cpl = 1.19
Cpk = 1.19

流程2：Cpk
σ = 5.46
Cpu = 2.81
Cpl = 2.07
Cpk = 2.07

可以看到，流程2 的 Cpu、Cpl 與 Ppu、Ppl 差別非常大。歸根到底，就是統計控制的問題：當 σ 和 s 差距很大時，Cpu 與 Ppu、Cpl 與 Ppl 之間差距也會很大——這強烈暗示流程不在統計控制狀態。

總結：到底誰更“靠譜”：Cpk 還是 Ppk？

現實中，Cpk 更適合用來評估流程“潛在能達到的水平”（potential capability）。它代表在“理想狀態下”你的流程能做到多好——所謂理想狀態，就是組內變差和組間變差基本一樣，也就是流程處于統計控制狀態。

當流程處于統計控制狀態時，Cpk 和 Ppk 基本相等，因此這時候其實不太需要 Ppk，多看 Cpk 就夠了。

而如果流程不在統計控制狀態，那你真正該干的事，是先讓流程“穩定下來”，而不是糾結 Cpk 或 Ppk 的數值高低。此時這兩個數值大體上都沒什么實際意義——唯一有用的信息就是：如果 Cpk 和 Ppk 差很多，那八成說明流程不穩定、不受控。

不過說實話，你本來就應該知道這些，因為你在用優思 學院的流程能力檢查清單。任何關于流程能力的分析，都應該從控制圖開始——先看看數據是不是在統計控制狀態。只有在這個前提下，談 Cp、Cpk、Ppk 才有意義。