1月11日周日開講：審其陰陽，以別柔剛 |《拓撲學的思維革命：從空間直覺到系統科學》第七課

導語

在完成了對“洞的結構化刻畫”之后，拓撲學進一步提出了一個更深的問題：局部的信息，究竟如何在整體尺度上積累、轉化并顯現其宏觀效應？拓撲學與同調群又如何與分析學和幾何學更緊密地結合起來，并更好地定量計算？這一追問，正是上同調理論的出發點。回顧微積分的發展歷史，當人們開始思考“一個空間中的量如何沿著路徑、曲面乃至高維區域整體地流動與守恒”時，便已經踏入了上同調的思想世界。此外，如果時間允許，本講還將介紹曲率的一些基本概念和應用。

注：本節標題語出《黃帝內經素問·陰陽應象大論篇第五》，原文為：“……審其陰陽，以別柔剛，陽病治陰，陰病治陽；定其血氣，各守其鄉……”

主題：同調與上同調、曲率與整體性）

課程簡介

目標：理解上同調與龐加萊對偶的意義，掌握曲率與拓撲的聯系。

上同調不僅是同調的對偶，更與幾何/拓撲對象的整體結構關系密切。它或直接定義，或以微分形式為語言，將局部可測的微分幾何量與整體不變量聯系起來，這使拓撲結構能夠與積分、物理中的可積性/守恒律及場論等深刻理論自然銜接。本講將多角度介紹上同調的基本思想，并通過龐加萊對偶等定理等揭示同調與上同調之間深刻而優美的對稱結構——恰如“陰陽互補”的整體觀。

課程將從大學微積分中的幾個基本定理——微積分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式談起，引入外微分形式、De Rham上同調，再從對偶的角度定義上同調群。之后通過De Rham 定理與Stokes 定理，展示同調與上同調、連續分析如何與離散拓撲精確對應。最后將引入上同調中的乘積概念，從而將上同調群升級為上同調環。而“曲率”則是微分幾何中用外微分形式刻畫的一個重要概念，它首先標定了幾何上的彎曲程度；。而通過高斯–博內–陳省身定理，曲率則成為連接局部微分信息與全局拓撲不變量的關鍵橋梁。我們將看到：空間的整體“柔性”拓撲性質，竟由“剛性”的幾何給出的曲率積分所編碼。

最后，本講將講解微分形式、上同調、微分形式和曲率的一些應用，從而將其放入更廣闊的科學圖景中理解。微分形式不僅可用于積分，還在各基礎數學分支和工程中有根本性地位；，而上同調則可分類用于拓撲對象數學中的分類問題，并且在數學和物理的諸多領域中應用廣泛。而刻畫“彎曲”的曲率在各尺度中也廣泛存在：在宇觀層次，曲率刻畫時空的彎曲，構成廣義相對論的核心要素；在微觀尺度上，粒子物理的規范場與相互作用由纖維叢的曲率來刻畫；而在宏觀世界的工程與力學系統中，曲率與上同調思想揭示約束、守恒與整體行為之間的內在聯系。由此，拓撲、幾何與物理在“整體性”“局部-整體關系”和“對偶性”等核心概念下深刻地統一起來。

課程大綱

• 梯度、散度、旋度；

• 從微積分到微分形式：微積分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式、麥克斯韋方程；

• 微分形式的空間（外代數），外乘積，外微分算子d，微分形式的積分（選講）

• De Rham上同調與Stokes定理；

• 上同調群的定義與De Rham 定理；

• 上同調的（范疇論）性質與對偶性，龐加萊對偶定理

• 上同調中的乘法；

• 外微分的應用：積分、幾何、工程、生物；

• 和上同調理論的應用：數學中的拓撲分類問題（流形與纖維叢）、其他領域中的應用（數論與代數幾何、表示論、動力系統）、物理中的應用（場論、弦論、凝聚態中的拓撲序）、其他潛在應用（生物、化學、拓撲數據分析）；

• 曲率的概念，高斯絕妙定理（選講）與高斯–博內–陳省身定理；

• 曲率的應用（選講）：宇觀：時空曲率（廣義相對論）、微觀：纖維叢曲率（規范場理論）、宏觀：力學系統

關鍵詞

上同調、麥克斯韋方程、微積分基本定理、格林公式、高斯-奧斯特羅格拉德斯基公式、斯托克斯公式、de Rham上同調、龐加萊引理、Stokes定理、de Rham定理、上同調環、上積、龐加萊對偶、辛幾何、哈密頓力學、有限元、示性類、拓撲序、霍奇猜想、計算機圖形學、拓撲數據分析、曲率、高斯絕妙定理、高斯–博內–陳定理、廣義相對論、規范場、復雜網絡。

課程信息

課程主題：審其陰陽，以別柔剛——同調與上同調、曲率與整體性

課程時間：1月11日（周日）晚19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內通知）；集智學園網站錄播（3個工作日內上線）

課程主講人

金威，北京大學基礎數學博士，博士后。主要研究方向為拓撲學和數學物理。現從事人工智能的基礎理論和算法研發，并致力于數學和系統科學方面的教育/科研和科普活動。《基本粒子：數學、物理學和哲學》一書中文版譯者，《返樸》公眾號作者。研究興趣：屬性論和屬性數學、拓撲學和數學物理、系統科學和復雜網絡、中醫等。

課程適用對象

1. 理工科領域研究者及高年級學生：適合具備基礎數學背景（微積分、線性代數、復變函數、常微分方程）的理工科高年級本科生、研究生及科研人員。尤其適合關注復雜系統、非線性動力學、統計物理、信息科學等方向，或希望將數學思想應用于物理、工程、生命與智能/認知系統的學習者。

2. 喜愛探索和創新學習者：面向對抽象思維、系統建模與跨學科分析有興趣的學生與研究者。鼓勵具備問題意識、善于邏輯推理與思維開放的學習者，通過拓撲學培養結構化與整體化的科學思維。

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播，集智學園網站錄播，部分課程設置線下課。

2. 課程周期：2025年11月23日-2026年1月，線上課程每周日19：00-21：00進行。

3. 課程定價：前兩節課程免費，全部課程原價599

付費流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開發票

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

課程群內討論交流

拓撲學課程：從空間直覺到系統科學

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統中會出現周期軌、可約化結構和“奇怪吸引子”模式？為什么神經網絡、量子物理甚至心理結構，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學不僅是數學的抽象分支，更提供了系統的思維方式，讓我們理解連續性、結構不變性乃至復雜系統的整體規律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結，從量子場論到思維科學與腦科學，拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

集智學園聯合北京大學博士金威老師開設，課程于11月23日開啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請見：