自然·物理評論：控制具有復雜節點的復雜網絡

導語

從互聯網、人類社會網絡到生物網絡，真實世界的網絡常包含數百萬個異質節點。這些復雜網絡不僅節點之間的連接模式復雜，單個節點也可能很復雜。要如何控制具有如此多復雜節點的復雜網絡呢？今年3月發表于 Nature Reviews Physics 的綜述文章“Controlling complex networks with complex nodes”指出，結合統計物理和控制理論可以為此提供新視角，架起微觀節點和宏觀網絡的橋梁。該綜述回顧了領域最新進展，并提供了一份研究指南。今天的文章是對綜述文章的全文翻譯。

關鍵詞：復雜系統，復雜網絡，統計物理，控制理論，機器學習

Raissa M. D’Souza, Mario di Bernardo & Yang-Yu Liu | 作者

朱欣怡 | 譯者

胡一冰 | 審校

論文題目： Controlling complex networks with complex nodes 論文地址： https://www.nature.com/articles/s42254-023-00566-3

目錄

摘要

1. 引言

2. 背景

3. 現有建模范式

4. 新范式和建模技術

5. 研究指南

摘要

真實世界的網絡常含有數百萬個異質節點，這些節點有跨時間尺度和空間尺度相互作用。為理解、建模和控制這些系統，統計物理 （statistical physics） 和控制理論 （control theory） 等領域都提供了不同的視角。這些領域之間更多的交互和新范式 （如異質性和多層次表示） 的集成，對解決現實系統來說是必要的。研究者們可以結合統計物理拓展模型、整合 （正負） 反饋的概念和拓展控制理論公式，從介觀角度進行分析 （mesoscopic analysis） 以計算整體自由度的平均值。同時，還需要整合理論模型、機器學習和數據驅動等控制方法。本綜述回顧了最新的進展，并發現了有助于理解和控制真實系統 （從振蕩器網絡和社會網絡到生物和技術網絡） 的新契機。

1. 引言

統計物理學 主要關注節點集的平衡 （equilibrium） 和宏觀系綜性質，并為理解和預測大量簡單和相同實體的集體行為提供了一個框架。這種行為的典型實例包括描述氣體粒子的麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布，還包括當材料被冷卻到居里溫度 （Tc） 時的鐵磁相變。

相反，傳統的控制理論逐漸演變為動力系統和工程的一個分支，致力于按照預期自動地控制系統或設備，使其能夠忽略噪聲、延遲和擾動。這涉及到設計反饋策略，在理想情況下希望通過影響相對較少的微觀自由度，引導目標系統的動力學行為與期望演變同步。

然而現代網絡規模巨大 （如互聯網或人類交互網絡） ，人們無法完全了解每一個自由度及其相互聯系，更不用說對所有自由度進行控制。因此，亟需架起宏觀和微觀的橋梁，建立平衡和動力學方法之間的聯系，以控制具有復雜節點的復雜網絡 （complex networks with complex nodes） 。本文強調“復雜”這一形容詞，與復雜系統 （complex systems） 意義上的“復雜”相同，這意味著此系統是具有非線性行為的潛在異構系統。具體而言，“復雜網絡”是指節點之間的連接模式，“復雜節點”是指單個節點有非線性行為。

本文的組織結構如下：

首先，介紹研究背景。具體包括（1）關于復雜網絡和控制理論在統計物理的學科交叉點；（2）一般反饋控制理論和在真實網絡應用中的挑戰。

接著，介紹并討論現有的方法與思想，主要為適用于指導和控制復雜網絡行為的統計物理和控制理論。然后，文章提出了可能有效的新方法和建模技術。

最后，作者總結了一套研究指南，以促進未來跨學科發展。

在此明確貫穿全文的兩個控制理論中的基本概念：可控性 （controllability） 和可觀測性 （observability） 。

可控性是指控制輸入的存在性，描述了人們在有限時間內通過合適的輸入選擇，引導動力系統從任何初始狀態到任何期望的最終狀態的能力。

可觀測性是通過衡量系統的輸入和輸出來估計系統內部狀態的能力，通常識別攜帶足夠信息的變量子集來重構系統的行為。注意，文中使用術語“控制理論”來指代專注于分析和設計反饋系統以實現預期目標的工作主體。

2. 背景

2.1 統計物理與結構可控性

1990年代后期，隨著互聯網和萬維網迅速發展、基因組數據和基礎設施系統逐步完善、經濟全球化勢不可擋，網絡科學[1]應運而生。統計物理的工具 （如：隨機圖模型、生成函數和速率方程等） 有助于人們更好地理解復雜網絡的性質和行為——通常被描述為具有廣泛規模、跨越幾個數量級的潛在度分布。網絡結構帶來的關鍵影響是對隨機干擾魯棒、對針對攻擊脆弱以及潛在的缺乏傳染閾值。除了度分布，網絡的顯著結構特征包括小世界性、模塊性和三元閉包[2] （圖1） 。

圖1. 復雜網絡中的常見指標。a.節點度（k）在較大尺度上的分布（P）；b.集聚系數；c.社區結構：節點可以被分配到組內的連接密度高于組之間的連接密度的組。d.小世界屬性：大多數節點不直接相連，而是通過網絡上的短路徑鏈接。e.相變，例如滲流相變，其中網絡的最大連通片大小S隨著平均度的增加而表現出相變。

2011年，統計物理與復雜網絡控制之間建立了重要聯系，以分析研究具有線性動力學和任意度分布的網絡系綜 （network ensemble） 的可控性[3]。這種聯系建立在結構控制的框架上，20世紀70年代的一篇文章[4]，通過圖論方法解決了線性動力學網絡上的可控性問題。問題在于，當應用在特定節點 （[3]中的“驅動節點”(driver nodes)） 時，如何確定是否存在控制輸入能在有限時間內引導動力系統從任何初始狀態到任何期望的最終狀態，即使其可控。解決此問題的關鍵靈感來自于將識別最小驅動節點集的問題映射到網絡上的最大匹配問題 （圖2） ，然后使用統計物理學的空腔方法 （在“統計物理方法”一節中深入討論） 進行分析解決。

圖2. 結構控制框架中的驅動節點的識別和相變。

a. 線性節點動力學（狀態變量）有向網絡上最大匹配問題的求解。能夠識別最小驅動節點集，保證整個系統的結構可控性。對于一般有向網絡（如圖），可能有多個最大匹配（紅色連邊集）。因此，可以識別多個最小驅動節點集合（藍色節點）。對于每個驅動器節點，必須施加確保結構可控性所必需的唯一控制信號（ui，藍色波浪形箭頭）。

b. 控制魯棒性（robustness）和核心滲流（core percolation）。量化不可避免的邊故障下控制的魯棒性，可以通過計算連邊l的類型：

1）臨界（critical，lc），若其不存在，則必須增加驅動節點的數量以保持對系統的完全控制。換句話說，lc是網絡的所有最大匹配的一部分。

2）冗余（redundant，lr），移除此類邊不影響當前的驅動節點集。也就是說，它不屬于任何最大匹配。

3）一般（ordinary，lo），既非關鍵，也不冗余。

lr作為平均度函數的非單調行為（上半部分）與網絡中的核心滲流躍遷（下半部分）密切相關，其中ncore是核中節點的比例。當不同的最大匹配的數量開始呈指數增加時，發生核心滲流，這使得冗余連邊的比例下降。

對于有向ER隨機網絡，核心滲流發生在平均度=2e時（下半部分）。圖經許可改編自參考文獻[3]。

在結構控制中，連邊是否存在 （即結構） 比連邊的權重更重要。傳統上，結構控制框架假設節點根據線性非時變動力學演化： （有關非線性動力學的詳細信息和擴展，請參見“新范式和建模技術”一節） 。這種線性意味著：可以用線性代數的工具來闡明網絡結構和可控性之間的聯系，包括網絡結構中的相變連接[5，6]。此外，還建立了可控性轉變和控制狀態軌跡的非局部性和控制輸入的非局部性之間的平衡。

除了結構控制之外，許多研究已經深入理解了控制能量 （control energy） [8]、控制配置文件 （control profiles）（基于控制流模式） [9]和來自現實世界系統的約束[10]。相關更全面的綜述，請參見參考文獻[11，12]。物理學家的控制理論綜合入門，見參考文獻13。然而，如何從統計物理的方法擴展到動態、非平衡、非線性的系統？這個問題仍然懸而未決。

2.2 控制理論綜述

在經典的控制范式中，人們感測和控制感興趣的特定系統或設備的行為，例如汽車、飛機或機器人。控制設計通常從感興趣的系統的結構和動力學的數學 （或計算） 表示開始，并且包括合成反饋控制策略，該反饋控制策略通過感知系統行為來計算所需的輸入以驅動系統達到期望的狀態。負反饋提供了穩定行為的能力，即使在存在噪聲、延遲或擾動的情況下，也具有保證魯棒性的一些期望性能。相反，正反饋可以用于在非線性系統中實現雙穩定性和分叉，驅動系統能達到多個穩定狀態。

順著控制策略的思想，已經發展了許多針對線性和非線性系統的數學公式[14]。這些方法中，許多是分布式或分散式的，并且有些使用了復雜的非線性、自適應、計算和時變方法[15]。多數方法集中在單個系統上，這意味著所有相關的自由度及其動力學和耦合都是已知的 （圖3a） 。然而，這一經典范式面臨著新興應用的挑戰——如何應用到大規模、通過復雜的網絡關系相互作用的動力學系統中 （圖3b） 。當下，控制這種復雜的網絡來協調它們的集體行為是控制理論的核心問題和熱門研究主題，最早可以追溯到?iljak在20世紀70年代后期的開創性工作[16]。

圖3. 控制范式。

a）經典反饋控制范式。系統的控制輸出y被傳感器測量或估計；測量輸出反饋回比較節點（黑灰色），測量和參考信號（Ref）的差；控制誤差e被饋送到控制器，該控制器再根據某個控制規則計算控制輸入（u1）；計算的輸入通過一組驅動器在系統的實際輸入（u）中實現；在這種情況下，所有相關的自由度及其耦合都是已知的。

b）分布式分散牽制控制策略。一些網絡節點（黃色圓圈）向控制器（粉色方塊）發送包含其狀態或輸出的信息（藍色箭頭）。控制器合作（黑邊）制定網絡控制策略，然后選擇性地干預網絡中部分節點（紅色箭頭）的行為，以實現一些期望的集體行為。

圖片由Davide Salzano提供。

從控制的角度來看，復雜網絡是由許多連續時間或離散時間單元組成的大規模動態系統的例子，這些個體可以通過靜態或時變的互連網絡進行交互[16,17]。

因為需要在我們感興趣的宏觀行為 （如共識或同步） 與微觀行動之間建立反饋聯系，以設計所需的集體動力學機制，所以關鍵問題就成了

1.判斷給定網絡是否滿足基本的控制屬性 （例如可控性和可觀測性） ；

2.如何在不同尺度上閉合反饋回路 （圖4） ？

實現控制的方法有：控制網絡節點、賦予邊動力學屬性、通訊協定 （communication protocol） 、控制網絡本身的結構或組合以上方法。一個突出的例子是牽制控制 （pinning control） [18 -21]，其中只需控制相對小部分的網絡節點或邊緣就能夠控制系統的集體行為朝一些參考平衡或漸近軌跡[22，23]發展。然而，我們還想要設計策略控制更一般的、有更廣泛節點動力學的系統 （如，網絡結構隨時間或是節點動力學函數演變） 。

圖4. 復雜網絡中的閉合反饋回路需要在不同尺度上進行感測、計算和驅動（actuation）。感測和制動可以在圖中描繪的任何尺度下執行。在該圖中，為了簡單起見，我們描繪了集中式控制策略；然而，當處理網絡系統時，控制策略通常是分布式和分散式的。注意r是表示系統的期望行為的參考信號。圖片由Marco Coraggio提供。

2.3 復雜網絡背景下的控制

交叉學科真實世界網絡對控制主要提出了三點挑戰：

一、可能存在多個長度尺度和時間尺度的行為和交互，包括個體之間會相互影響的自組織行為。在某些情況下，我們只關注集體行為 （例如，感染總人數） 。然而在其他情況下，我們有可能對微觀細節感興趣 （例如，哪些特定的人被感染） 。同樣地，對于測量和輸入控制信號與自由度相互作用的能力，可能存在約束。此外，有時我們或許不需要非得將系統控制到特定狀態，只需要簡單地控制，使系統遠離不期望的狀態 （例如系統崩潰） 或朝向期望狀態可能就足夠了。參考文獻[10，24，25]中有對真實系統的干預中的高維性，非線性和約束所帶來的挑戰的深入討論。

二、網絡本身具有模糊性。在大腦網絡中，節點可以是單個神經元、神經元塊、甚或是跨越大量神經元的腦區。研究節點之間的交互，學習連接模式 （如“線路圖，wiring diagram”） 此類的實驗成本很高，并且無法學習到完整的連接模式。注意，單個邊的存在與否對介數中心性之類的屬性有明顯的影響。此外，網絡上發生的動力學活動與拓撲結構同樣重要。例如，在交通網絡中，確定擁堵模式的是網絡流和網絡拓撲。長程序就這樣從節點動力學和網絡結構的相互作用中涌現而出[26，27]。

三、將異質性 （heterogeneity） 和多尺度結合起來意味著，系統的不同部分可能需要不同類型的表征。其中一些能夠用離散時間動力學建模，而另一些可能需要基于連續時間；某些方面可能需要用常微分方程 （ODE） 描述，另一些方面則需要用偏微分方程 （PDE） 描述。例如，在交通管理應用中，ODE能很好地描述車流的運動；而PDE在描述個體級別的車輛接受信號燈或其他信號的建模中，更具優勢。如何整合這種分析仍然懸而未決，還有噪音和不確定性在旁“蠢蠢欲動”。最后，此應用領域的跨度也很大，從電網到社會網絡到生物系統，各自有不同的目標和約束，這就意味著我們必須謹慎地選擇一個恰當的建模范式。

建模時的關鍵問題是：

1.我們測量什么？

2.什么因素有影響？

3.何時影響？

4.如何影響？

此外，研究如何收斂到目標狀態與保持復雜網絡控制策略魯棒性和彈性的恰當方法也至關重要。

3. 現有建模范式

3.1 統計物理方法

統計物理學的概念和技術已廣泛用于研究復雜網絡的結構和動力學特性[2，28，29]，研究領域覆蓋網絡生長 （network growth） ，相變和級聯故障 （cascading failures） 等復雜網絡基本行為。從統計物理學的角度研究控制這些行為并不是為了嚴格滿足可控屬性，更像是在控制系統：例如，引導它遠離臨界點或減少故障發生。直接應用統計物理工具來研究復雜網絡的傳統控制性質主要涉及到可控性和可觀測性。我們將在接下來討論這些主題，并將方法總結在表1中。

表1. 基于統計物理的概念和方法，用于研究復雜網絡的結構、動力學或控制特性

為了研究復雜網絡的生長，特別是以冪律分布而聞名的無標度網絡[30]，已經有了許多具有強烈統計物理色彩的分析方法，例如連續統理論[31]、主方程方法[32]和速率方程方法[33]。

統計物理學的一個核心研究點是相變 （臨界點外部控制參數的小擾動，使系統宏觀行為發生劇烈變化的現象） [34]。在網絡的背景下，有一個著名的相變，就是滲流相變 （圖1e） ，可以使用隨機圖模型進行分析[35]。這些模型基于統計系綜的概念，是統計物理學的基礎。

網絡的統計系綜 考慮給定的一組屬性，例如指定的度分布。系綜中的每個體系是具有特定節點和連邊構型的網絡實現，并有其出現的概率（即，統計權重）。除了給定的屬性集之外，我們假設其他屬性都是完全隨機的，因此它們可以通過使用一些平均場方法在整個系綜上平均，例如基于分支過程和樹假設的生成函數形式[36，37]。

滲流相變描述了網絡中大規模連通片的突現，逐漸連通過程中的小擾動可以控制臨界點的位置，并可能導致爆炸性滲流[38，39]。對于臨界轉變，已有研究表明，系統到達臨界點時，預測的漲落和自相關時間會增加，這可以作為早期的預警信號[40，41]。

統計物理學中自組織研究的理論基礎是自組織臨界性 （self-organized criticality, SOC） 的范式[42]。在SOC中，競爭力的平衡 （例如驅動和耗散） 會導致系統接近臨界點，從而引發遵循冪律分布的級聯故障。這種級聯故障在復雜網絡 （如電網和腦網絡） 中時有發生[43]。通過驅動力的性質來控制SOC是統計物理學文獻中的一個重要主題[44 -47]，正如最近“龍王”事件[48 -51]備受關注 （‘dragon king’ events，災難轉變前兆） 。

統計物理工具在可控性和可觀測性方面的直接應用是存在的。下面，我們將介紹幾個完全從網絡結構 （或連接模式） 的角度，研究控制特性的典型案例。

其一是應用空腔法 （cavity method） 來解決結構控制問題[3]。由于結構可控性定理[4]的圖形解釋，人們可以簡單地檢查網絡結構，來檢查網絡結構是否可控，而避免依賴復雜的邊權矩陣運算。特別地，我們可以識別動力節點 （driver nodes） 的最小集合，其時間相關控制 （time-dependent control） 足以控制系統的整個動力學。這種識別可以通過將結構控制問題映射成為最大匹配的純圖論問題來實現[52 -54]。利用統計物理學的空腔方法[55 -57] （及其在解決最大匹配問題[58]中的進一步應用） ，可以分析計算具有指定度分布的網絡系綜的某些控制屬性[3]。這些屬性包括：最大匹配的大小，它與確保結構可控性的驅動器節點 （或控制輸入） 的最小數目直接相關；以及不同最大匹配的總數，它與不同控制配置的數量直接相關，并且會因此影響控制魯棒性。

另一典例是電網的可觀測性研究。在該系統中，可以使用相量測量單元 （phasor measurement units，PMU） 來確定節點的電壓 （還可看作狀態變量） 。PMU能夠測量其對應節點的實時電壓和線路電流，因此PMU不僅能確定其所放置的節點的狀態變量，還能確定其所有最近鄰居的狀態變量。在這種情況下，可觀測性問題可以映射成一個純粹的圖論問題。事實上，PMU的隨機放置會導致網絡可觀測性轉換[59]，可以使用母函數形式 （generating function formalism） 進行分析研究[36，37]。此外，識別電網中傳感器節點 （即PMU） 的最小集合問題可以映射成為經典的圖論問題：盡管它通常求解困難，但最小支配集問題可以通過消息傳遞算法 （源于自旋玻璃理論） 來解決，該算法提供了接近最優的解決方案，并且在真實網絡中表現良好[60]。

如何將控制問題映射為純圖論問題？任何控制屬性 （如控制能量成本） ，都需要相關領域的具體知識，而且純粹的圖論解釋和相應的統計集成方法在此無用武之地。隨機矩陣理論[61]中可以直接處理復雜網絡邊權重的技術，這對適當的網絡系綜的建模來說必不可少。一般來說，具體的結構和動力學都很重要[62]。

3.2 控制理論方法

傳統控制理論方法的目的是分析和操縱特定系統的行為。控制問題可以概括成如下三個：確定需要感測什么、需要控制什么以及如何用感測信息實現控制目標。因此，任何控制設計的三個關鍵要素是感測、計算和驅動[14]。表2中總結了一些方法。

表2. 控制理論中用于分析和控制復雜網絡的概念和方法。

多智能體系統中經典控制目標包含一致性 （consensus，即所有單元會朝著同一個平衡點收斂） [63-71]和同步性 （synchronization，即收斂到漸進時變解[asymptotic time-varying solution]） [72-75]，同時也還包括如編隊控制 （formation control） [76 -78]，模式生成 （pattern formation） [79]和多智能體協同運動 （如集群） [80]等目標?？刂颇繕送ǔ８鶕阅?（側重于瞬態特性，例如建立時間、上升時間和超調量） 、穩定性 （例如收斂到狀態空間中的平衡或流形） 以及對噪聲和外部擾動的魯棒性來制定[14]。

從系統的數學 （或數據驅動） 模型和控制目標出發，我們可以嘗試：1.建立系統的可控性和可觀測性；2.設計控制策略，并通過對閉環網絡系統中的這些特性進行適當的嚴格證明，證明該控制策略能保證所需行為的收斂性和穩定性 （圖5） 。

圖5. 經典閉環控制器設計的主要階段。始于真實系統，先建模分析其在沒有控制的情況下的性質。然后設計控制策略以滿足目標要求，須在實施之前進行驗證。通常，這種設計方法在實現精確的控制之前需要多次迭代。丨圖像來源：Gian Carlo Maffettone

我們常希望設計分布式和分散式策略來處理多智能體系統，不必以集中的方式決定感測、制動和控制輸入。某些控制問題也用無需反饋的開環策略來解決，但一旦存在擾動，穩定性和性能要求就無法被滿足，就不夠魯棒。因此在此處，我們只關注閉環反饋控制策略。

可控性問題 是一個存在性問題，關注在給定網絡結構、主體的動力學和連邊交互的情況下，引導集體行為需要控制哪些節點。在復雜網絡的背景下，無法通過秩來判斷是否系統是否能控時，可以使用結構可控性的和Gramians可控性來解決這個問題[81-85]。盡管過去十年可控性問題取得了顯著進展，但仍然存在許多未決的問題，包括理解非線性或時變系統網絡中的可控性，或者當網絡結構隨時間或動力學函數 （狀態依賴網絡演化） 演化時的可控性。

研究可觀測性問題是為了發現哪些變量的信息量足以重現整個系統行為。當應用于大規模復雜網絡時，可觀測性的評估也變得復雜繁瑣，因為它取決于能重塑整體網絡動力學的變量。同樣，控制的方法 （如結構可觀性理論） 也是為了這一目的[82，86-88]。然而現在仍有許多可觀測性問題有待解決 （如研究非線性動力系統的時變網絡結構的可觀測性） 。

由于圖論工具可以補充和增強代數或幾何基礎理論，復雜網絡的可控性和可觀測性方法與傳統的控制理論方法相比有明顯變化。這一重要研究方向在20世紀70年代末由?iljak的早期工作[16]中首次得到承認，并在后來的工作中得到進一步發展[82]，它使得處理大量相互作用的動態變量具有可行性。 （我們注意到，使用圖論方法來研究網絡問題至少可以追溯到20世紀60年代的數學社會學社群。[89]）

如果已經分析了目標系統的基本特性，就可以設計反饋控制策略 （閉環策略） 了。通過觀測信息和控制輸入，來操縱系統以實現控制目標。驗證控制策略的一個基本問題是分析和證明受控網絡系統從不同的初始條件 （穩定性） 和外部擾動 （魯棒性） 下的收斂性。通過借鑒同類系統的穩定性和魯棒性方法，現已推廣出許多研究動力系統復雜網絡穩定性和魯棒性的方法。 （關于可用方法，詳見參考文獻[17，21-23，90-95]） 。

關于穩定性，研究給定復雜網絡系統的局部或全局穩定性的方法包括兩方面：

1.將網絡系統視為一個整體，研究其在擾動下的穩定性的方法；

2.研究節點以某種方式耦合時，系統保持穩定的方法。

考慮整個網絡系統的分析工具包括：基于李亞普諾夫直接法的方法[90]或基于線性化工具 （如主穩定性函數方法，master stability function） 的方法[96]。其他的有效方法包括增量穩定性和使用收斂工具，如收縮理論[23,92-95]或增量被動性[91]。這些理論工具也適用于研究連接穩定性[16]相關概念的其他問題，譬如前面提到的另一個核心問題——底層網絡結構如何影響發生在其上的動力學。

控制設計的方法在文獻中比比皆是，各領域基于動態優化控制理論的控制設計方法包括：最優控制、博弈理論、自適應控制、智能控制、非線性控制、模型預測控制和魯棒控制等等。目前，基于機器學習的數據驅動方法和控制策略也越來越多地被用于控制復雜網絡的行為。更多信息詳見參考文獻[97，98]，在“新范例和建模技術”一節中，我們也有討論。

盡管在控制理論的研究領域有許多進展，但仍有許多挑戰有待解決。最近控制學界致力于研究噪聲對網絡中系統集體行為的影響、抗擾動能力 （包括結構擾動） 、發展協同和共識策略以保障節點的隱私，以及網絡系統中擾動傳播分析與控制[99-109]。

3.3 動力系統方法

正如統計物理學對控制策略的啟發，動力系統方法也打開了控制策略的思路?？刂撇呗猿Ｖ荚诓倏v和影響系統，而不是嚴格的可控。有許多方法直接利用系統的非線性性質，還有利用數據驅動的方法 （如系統識別） 。我們接下來將聊聊這些內容。

給定動力學方程對系統的行為及其吸引子、極限環和吸引盆邊界的相空間進行建模，可以找到利用自然軌跡將系統驅動到相空間的期望區域的蓄意擾動 （strategic perturbations） 。早期，這一領域的控制混沌的后續工作[111 -113]證明了這種可能性是混沌吸引子[110]。最近，學者們已解決了如何通過一系列考慮了擾動約束的策略性反沖來實現控制[114]。雖然利用相空間中的自然軌跡看上去完美，但在實踐中它難以提供傳統控制理論所必需的嚴格性能保障和對噪聲的魯棒性。例如，吸引盆的邊界可以是網狀的或分形的。

在相關文獻中，有大量關于嵌合體狀態 （chimaera states） 控制的工作[115]。嵌合體狀態由對稱耦合的相同振蕩器系統中相干和非相干動力學的共存所定義，故顯示出驚人的對稱破缺性質[116、117]。這方面的研究包括延時反饋控制[118 -120]、牽制控制[121]、周期性強迫[122]、通過拓撲結構控制[123]或耦合修改[124]以及多層網絡中嵌合體的控制[125]。參考文獻[126]以自組織非線性動力系統為中心進行了綜述，雖然還有許多方向有待探索。

通常，系統的運動方程是未知的，甚至連狀態空間也可能是未知的。但是系統上的數據可能很豐富。如果一個系統上的數據，即可觀測量，是它狀態的函數，人們就可以從時間序列數據中推斷出系統的演化。例如，許多文獻中有用于系統識別或網絡推斷的技術 （如文獻[127-129]及其參考文獻） 。在下一節中，我們將討論基于算子理論和稀疏識別技術的最新方法。

4. 新范式和建模技術

本節討論如何改進前述方法，使之更適合真實系統。

4.1 網絡復雜性會增加多少？

近年來，增加網絡復雜性一直是物理學研究的焦點。“網絡”在形式上由元素之間的成對交互的集合組成，但是真實網絡中經?？梢哉业匠蕉母唠A交互作用。例如，在化學反應網絡中，反應進行可能需要三種試劑；在共同作者網絡中，常有多個作者。有人用超圖 （hypergraphs） 和單純復形 （simplicial complexes） 來解決這個挑戰[130，131]。該部分前沿進展包括定義統計系綜[132，133]、分析可接受的同步模式、完全同步[134 -136]和集群同步[137，138]的穩定性以及可控性[139]，但目前特定問題的控制 （ad hoc control） 策略尚未完全開發。

同樣，提供網絡動力學的瞬時描述[140-141]的活動驅動時序網絡 （activity-driven temporal networks） 的范式也富有成效。在這種方法中，每個節點的活動潛力 （activity potential） 是根據該節點相對活動程度來確定的，相對活動程度可以從給定時間窗的時序網絡數據集中測出，活動電位分布函數可以表征系統級動力學。

真實世界系統通常是多層網絡 （multilayered networks） 形式的。例如，每個人有許多種社會身份，關鍵基礎設施網絡通常具有物理分層或邏輯分層結構。這一概念是多層網絡結構控制 （structural control of multiplex networks） [142、143]、使用圖論捕捉分層關鍵基礎架構[144、145]和使用多重控制策略[146]的基礎。

4.2 人們能控制非平衡統計物理模型嗎？

統計物理學方法傾向于關注平衡系統，但對于細致平衡 （detailed balance，嚴格熱動平衡） 的系統仍存在漲落耗散關系 （fluctuation–dissipation relations） 。例如，可以使用雙量子點模型 （double quantum dot model） [147]上的反饋控制方案將熱量轉換為功，這一發現正推動關于反饋控制和漲落的進一步研究[148]。同樣，有幾個經典的驅動遠離平衡系統的模型，如自組織臨界性[42] （在“統計物理方法”一節有敘述） 、Kardar-Parisi-Zhang （KPZ） 方程[149]和不對稱簡單排斥過程 （ASEP） 模型[150]。盡管這些模型伴隨著許多普遍現象 （由一般屬性支配，一般屬性獨立于系統的動力學細節的基本對稱性） ，但我們仍可以用反饋來影響和控制行為。

4.3 結構控制框架較線性模型好多少？

結構控制的經典框架中有一個基本限制：基于線性非時變動力學。

其中A,B中的元素都是零或獨立的自由參數。這個框架基于線性系統的結構可控性的概念。如果我們說系統（A,B）是結構可控的，那就是說，可以在A,B中設置特定非零元素，使得系統可控。這需要滿足卡夫曼可控性判據 （Kalman’s criterion of controllability） ：

最近，有學者在結構控制框架的基礎上提出了非線性系統結構可達性（structural accessibility）的概念[151-152]，并將其適用于一般非線性系統：

動力學假設的條件不嚴，要求f(x(t))和g(x(t))是亞純函數 （meromorphic functions） 。亞純函數一詞源于希臘語 (meros) ，定義為兩個整函數之比，只有有限階、孤立的極點和零點，無非必要奇點。結構可達性的概念可以被認為是線性系統中結構可控性的非線性推廣。令人驚訝的是，結構可達性和結構可控性幾乎有相同的圖論條件。二者關鍵區別是，“自循環” （對應內稟節點動力學） 是結構可控性的圖論充分條件，而非結構可達性的充分條件。這種結構可達性框架可以從底層網絡結構中識別驅動節點[151]，并已在生態和生化系統中得到了應用。

4.4 如何處理大型復雜的多智能體系統？

另一個緊迫的眾所周知的控制難題是，如何解決復雜系統的動力學的節點數目限制？或者更準確地說，讓系統出現涌現行為時節點數目仍保持不變。在這種情況下，問題就變成了：找到一個對目標可觀測量 （我們希望控制的） 的宏觀描述。這樣做需要目標變量在宏觀尺度和被控微觀個體層面的閉循環。對于極其復雜和大型的網絡，即使是線性時變的系統，都很難實現除了識別驅動節點之外的任何控制目標。

連續化 （continuification or continuation） 方法[153，154]將由大量常微分方程描述的微觀問題，轉化為描述宏觀水平上目標可觀測量的偏微分方程 （PDE）（連續化階段） 。然后，使用控制偏微分方程[155、156]的技術來設計宏觀控制動作，并且最終將所得的控制律離散化，使得其可以被部署回到微觀個體級別[157]。在這種方法中，挑戰就轉變成了尋找連續化目標問題然后離散化的方法，在微觀水平上進行分布式控制策略。然而主要障礙是當從PDE得到的控制律被離散化時，大多數微觀個體通常會受到控制輸入的影響，這與牽制控制的思想 （控制少的節點實現目標） 相反。

另一個框架是基于線性系統的大規模網絡的圖子控制 （graphon control） [158]。圖子 （graphon） 是收斂圖序列的極限，形成了一種自然的非參數方法來建模和估計超大型網絡[159]。由于其與統計物理、極值組合學和網絡上的非參數統計分析的聯系被廣泛討論[160 -162]，圖子理論 （Graphon theory） 已經成為圖論的一個子領域。

基于圖子的控制復雜大型網絡系統的策略由三個步驟組成：

一、當節點數趨于無窮大時，首先確定有限網絡系統序列S的圖子極限。

二、在此約束下解決相應的控制問題。

三、通過逼近極限系統的控制律，生成沿著有限網絡系統的序列S的任何系統的控制律。

該策略已被用于大規模復雜網絡的狀態控制問題和線性二次型調節器問題。

圖子博弈 （graphon games） 的概念源于網絡博弈和干預的統計框架。此框架是用圖子理論研究大型網絡干預的另一典例。但如何利用圖子理論來控制具有一般非線性動力學的任意大網絡仍有待解決。

隨著研究漸漸開始面向更大規模的網絡，通過控制和觀察介觀尺度來控制目標復雜網絡的問題變得愈發重要，這樣的介觀尺度可以是群體或節點或連邊的集群水平。這個方向有待進一步研究，并且需要從控制的觀點來定義適當的介觀層次。

4.5 我們能用數據重構運動方程嗎？

除了成熟的系統識別 （system identification） 方法之外，還有其他的方法可以重建有效的運動方程。

Koopman算子方法就是其中一種。它是對可觀測向量空間的線性變換，用著名的Koopman算子的特征函數將其表示為線性展開式，以實現從無限維的觀測空間到線性的演化。不穩定性與具有正本征值的模式有關，甚至可以通過相關聯的本征向量中的相對振幅來識別各個節點在不穩定性中的作用。Koopman算子用于動力系統分析的能力已經毋庸置疑[164，165]，并且也可以應用于非線性流[166]中，例如近期在應用最優控制器[167，168]和反饋控制[169 -171]的方法中效果顯著。參考文獻[172]是一本實用的入門書，參考文獻[173，174]介紹了最近的兩個綜合應用。

另一種不同的數據驅動方法依賴于這樣的假設——盡管數據是高維的，但動力學主要只受幾個主要變量的影響，使得方程在可能的函數空間中是稀疏的。稀疏性促進技術和機器學習可以在有噪聲的測量數據上組合使用以識別控制方程，這是一種被稱為非線性動力學的稀疏識別 （sparse identification of nonlinear dynamics，SINDY） [175]的技術。SINDY已被擴展到包括驅動的影響，并且能顯示如何基于有限的噪聲數據增強模型預測控制的性能[176]。

我們常用降維技術將高維時間序列數據映射到低維子空間，然后用非線性動力學的稀疏識別 （SINDY） 來確定失去的動力學信息。

如果所得到的相空間由幾個固定點組成，我們就可以調節系統，誘導期望的不穩定性和吸引子，從而實現高維、非線性、網絡系統的前饋控制[177]。

4.6 如何使用機器學習和數據驅動的控制方法來征服復雜性？

隨著計算能力的提高，應用中有趣的復雜性問題越來越多，基于機器學習和數據驅動方法的復雜網絡控制方法在各科技領域變得越來越普遍。

典型的例子包括互聯自動駕駛車輛的原型設計。Google Waymo (https://waymo.com) 等公司已經提出使用深度學習設計自動駕駛汽車或實現自動車輛排隊的方法，如卡車排隊。 （https://highways.dot.gov/research/laboratories/saxton-transportation-operations-laboratory/Truck-Platooning）

還有在自主機器人和群體機器人領域中，機器學習的計算技術[178]使用頻率也愈加頻繁。如前所述，已經有很多在不同場景下對網絡進行數據驅動控制的方法，但是我們仍然沒有在更普適的環境中使用這些方法的框架。

然而，當問題太難分析解決時，數據驅動和機器學習方法[179，180]可能是唯一的選擇，例如當無法推導出數學模型或要解決的任務太復雜時。當目標是通過在時間上動力學自適應來實現控制時，其時序網絡的結構會響應動力學的變化，從而各節點的狀態依此進行交互[140、141] （參見參考文獻[181]以獲得更簡單的說明性示例） 。考慮到實際應用中的目標通常是，在存在故障或擾動的情況下，賦予網絡重塑其結構的能力以保持其所需的功能，因此解決這個問題在實際應用中極為重要。例如，自組織電網能夠自我隔離以防止故障或電流過載、自動駕駛車輛或機器人組能改變其互連結構以更好地執行避障或復雜機動的情況。

5. 研究指南

要想推進前沿和解決實際問題，就需要推進多學科和交叉學科的研究。不僅要征服復雜性，還要順勢利用它，來實現更好的控制性能、來解決更復雜的問題。研究目標應該是雙重的：

第一，要彌補學科之間差距，將平均場方法等技術的使用擴展到復雜網絡的控制中去[182]。同時，要考慮到現實的約束條件和實現反饋策略的需要，以保證研究問題所需的穩定性、目標性能和魯棒性。

第二，確定一組范例問題或標準案例用于驗證和對比控制復雜系統的不同方法。這樣做非常重要，因為在許多不同領域中出現的應用程序和在特定領域中開發的技術可以被抽象以解決更一般的問題。例如分析非線性振蕩器 （如神經元） 的動力學相位響應曲線技術，最近就有人利用它來實現更普遍類別的非線性系統的控制 （見參考文獻[183]和其中的參考文獻） 。

為了推動這一領域的發展并促進跨學科的合作，我們需要集體共同努力。為解決控制復雜系統的基本問題，第一個呼吁就是：發起一系列針對標準方法的挑戰！在計算機科學領域，舉行挑戰賽已經成為一種傳統。目前已經有一系列成功的挑戰賽，如微軟想象杯、谷歌人工智能挑戰賽、ImageNet挑戰賽和Netflix獎等等?？梢哉f，這些挑戰 （如ImageNet挑戰） 促進了當今的人工智能的繁榮。同樣地，在系統生物學和醫學領域，也有一個很好的挑戰賽榜樣，即夢想挑戰賽 （DREAM challenges） 。該比賽提供高質量的生物醫學標準數據集，邀請參與者針對指定問題提出解決方案，促進交流并在此過程中建立合作團體。網絡控制領域的研究人員也可以從其他領域現有的挑戰平臺中學習，以進一步推進領域前沿，讓“群眾的智慧”發揮對出最大的科學效益。

由于控制復雜系統具有多學科性質，挑戰不必集中在純理論問題上，也可以是應用甚至是轉化。例如，有人試圖對定向人類蛋白質相互作用網絡進行結構可控性分析，以鑒定疾病基因和藥物靶點[184]，雖然這方面的研究還有待進一步深入。此外，為了設計更好地操縱人類腸道微生物組的方法，控制理論也能有許多潛在的應用 （人類內部生態系統由數萬億微生物組成，相互作用方式很復雜） [185]。譬如，在該領域中一個非常實際的控制問題是設計明確定義的活聚生體組 （consortium of live microorganisms）（通常叫做益生菌混合物、細菌，即藥物或活生物治療產品） 以防止某些病原體寄身，從而預防感染[186]。此外，標準測試方法 （benchmarking methods） 還可以用于保護和控制微型電網 （microgrids，即具有確定電邊界的本地電網，充當單個和可控的實體） [187]。

總之，我們的最終目標是將來自不同科學技術領域的工具和技術結合起來，解決在不同尺度上閉合控制回路的關鍵問題，從而協調大規模復雜系統的集體行為，這將會對大量交叉學科的應用產生極大影響。

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