《用初等方法研究數論文選集》連載 038. 公理與證明

《用初等方法研究數論文選集》連載 038

038. 公理與證明

數學這門學科，無論是基礎的算術還是數論，都建立在一些基本的公理之上。這些公理是數學體系的核心，它們是無需通過其他命題來證明的最基本事實。例如，當我們說3+5=8時，這個等式本身就是成立的，不需要進一步去證明它的充分性或必要性，因為它是一種直接且公認的真理。同樣地，在平面幾何中，歐幾里得提出的五大公理也具有這樣的性質。這些公理構成了整個幾何學的基礎，并且被認為是不言自明的事實，因此不需要額外的證明過程。

當一個新的“數學體系”被提出并確立后，其中所包含的基本假設和規則就成為了該體系內的公理。這些公理不僅被視為顯而易見的真理，而且作為后續推導與論證的起點，它們的存在使得整個數學體系能夠穩固地發展下去，而無需對這些最基礎的部分進行反復驗證。

當然，有一些數學理論尚未形成完整的體系，存在一定的缺陷。在這種情況下，就需要從基本的定義出發，通過嚴密的邏輯推導出相關的定理，而這些定理必須經過嚴格的證明才能被認可。然而，如果作為邏輯起點的定義本身存在問題或者錯誤，那么基于這些定義所推導出的定理的證明過程就會變得極其復雜和困難，甚至可能根本無法完成證明。

但令人遺憾的是，一些所謂的數學專業人士往往以“保持嚴謹性”和“實現規范化”為借口，將原本簡單的問題過度復雜化。這種做法不僅沒有推動數學的發展，反而使得數學變得更加晦澀難懂，從而顯得自己更加專業，同時也讓數論等數學領域逐漸脫離大眾的認知范圍。長此以往，數學在公眾眼中會被披上一層神秘的面紗，甚至引發不必要的迷信化傾向，讓人們誤以為數學是遙不可及的學問，而非一種可以理解和應用的工具。

實際上，數論這門學科本質上就是我們日常接觸的普通數學，它屬于基礎數學的范疇。當我們用簡單、通俗易懂的方式去理解它時，就會發現它其實就是數學中最根基的一部分。無論是小學生還是中學生，只要具備一定的數學基礎，都能夠輕松地接觸和學習數論知識。我之所以致力于推廣數論，并通過科普的方式將其呈現給更多的人，正是希望將這門看似高深但實際上非常貼近生活的學科重新交還到大眾手中，讓更多人了解它的魅力與價值。這也是我從事科普工作的核心目標之一。

在之前的講解中，我們曾經提到過一個非常有趣的數學概念——“Ltg-空間理論”。這個理論提出了一個獨特的視角，將所有的正整數劃分成了無數個獨立的空間。為了幫助大家更好地理解這一抽象的概念，我們可以將其形象化地比喻為：把正整數1、2、3……看作是一大群充滿好奇心的旅游者。而這些旅游者需要入住一座由等差數列構建而成的宏偉旅館。這座旅館的設計極為特殊，每一層樓都擁有無限數量的房間，并且這些房間足以容納所有的正整數。

然而，這座旅館有一個非常嚴格的規定，那就是所有的正整數不能隨意分散居住，而是必須全部集中在某一層樓內。換句話說，每一個正整數都只能被分配到該樓層的一個特定房間中，而且每個正整數所對應的房間是唯一的，不允許出現混亂或者重復的情況。這種規則的存在確保了整個旅館的秩序井然，同時也體現了“Ltg-空間理論”中關于正整數分布的獨特邏輯和嚴謹性。通過這樣的安排，不僅展現了數學中的對稱美與規律性，也讓我們更加深刻地體會到數字世界中隱藏的奇妙結構。

在將所有的正整數安排到各自對應的房間之后，并不是每一個正整數就此被完全固定在那個位置上而無法改變。實際上，在這座由正整數構成的大廈之中，存在著一些特殊的房間，這些房間被設計得別具一格，它們可以開設后門。而后門的存在就仿佛是打通了不同區域之間的壁壘，通過這些后門，正整數能夠順利地進入到其他的樓層里面去。

如此一來，原本看似固定在一個個房間中的正整數，就不再處于那種被牢牢限制住的狀態了。它們更像是具備了生命力一般，像流動的信息那樣，可以在整個大廈內部活動起來。從某種意義上來看，這座由正整數所構建而成的大廈就好比是一臺精密而又復雜的儀器，而在這臺儀器當中運轉著的正整數，就如同信息流在儀器里穿梭、交互一樣，充滿了一種動態的活力與奇妙的規律性。

每一個空間都具備獨特的性質，且相互獨立，擁有適配自身空間的公式和理論體系，但同時也與其他空間存在關聯。

這是N+A(A=1)空間

這是2N+A(A=1,2)空間

這是3N+A(A=1,2,3)空間

每一個空間都包含著全部正整數，這些空間是有無窮多的。

我們看2N+A空間里，素數都包含在2N+1數列里。

在3N+A空間里，素數都包含在3N+1和3N+2空間里。

這難道真的還需要用到狄利克雷定理嗎？我們大家都知道，這個狄利克雷定理的證明過程是極其復雜的，其中包含了很多深奧難懂的數學知識和推理邏輯，對于一般的普通人來說，想要完全看明白這個定理的證明過程幾乎是不可能的事情。而且，就算是專業數學人士，在研究這個定理的證明時，也常常會存在疑問，不確定這個證明到底是不是完全正確無誤的呢。然而，在我們所探討的這個體系里面，“等差數列可以包含素數”這樣一個在傳統數學理論中需要狄利克雷定理來支撐的重要結論，卻根本不需要像傳統數學概念那樣去追求成為眾人皆知的定理或者定律，而是直接被我們當作一個不言自明、無需證明的基本公理來看待了。僅僅憑借這一點，就足以充分地說明“Ltg - 空間理論”具有多么非凡而重要的意義和價值了。它能夠以一種全新的視角和獨特的邏輯體系，重新構建數學概念之間的關系，使得一些原本復雜的問題變得簡單明了，這也正是“Ltg - 空間理論”獨特魅力之所在。

我并不是在自吹自擂，也不是為了炫耀自己的能力。實際上，在二十多年前，我就已經發現了這個數學領域的奧秘。那個時候，如果有人能夠理解我的發現，并給予應有的重視，或許我早就不用再為其他事情操心了。憑借這一發現，我完全有可能被公認為世界上最偉大的數學家之一。然而，現實卻與理想截然相反。在這二十多年的時間里，我經歷了無數的冷眼和不公，受盡了來自各方的侮辱、歧視以及無端的謾罵。這些年來，我不僅沒有得到應有的認可，反而一次次地被迫為自己堅信的理論進行辯護。即使到了今天，我仍然不得不通過撰寫文章來澄清事實，為自己的研究成果正名。這究竟是怎樣的世道？一個本應屬于科學探討的問題，為何會演變成如此令人寒心的局面？

不同的空間都有一個“合數項公式”，維數越高越復雜。但是每一個“合數項公式”都不能通用，必須是針對自己的空間的。比如在N+1空間里，合數項公式是

Nh=a(b+1)+ba,b≥1

在2N+A空間里，合數項公式是

Nh=a(2b+1)+b a,b≥1

這些合數項公式不能通用，不能混淆，必須與選用的空間的表格相對應。

當前，我們身處在一個被定義為2N+A的空間之中，接下來我們就在這個特定的空間范疇內，深入探討一下“合數項公式”到底是如何產生的。在近期，出現了一些人，他們完全無視這個空間本身所具有的特性與限制條件，僅僅憑借一種固化且缺乏靈活性的思維方式去對待問題。他們非常固執地認定合數項公式存在著不嚴謹之處，并且煞有介事地要求給出證明，證明合數項公式成立所必須滿足的充分必要條件到底是什么。不僅如此，他們還進一步提出質疑，想要知道合數項公式是否能夠將區間[0，∞)全部涵蓋進去。這種表現就好像是在非常認真、嚴肅地胡言亂語一樣，讓人感覺既有些滑稽可笑，又令人十分惱火。

我們就以下面這個表格為依據，這是一個獨立的系統。

1）我們發現數列2N+1里面所有的合數都是素數3,5,7…，但是不包括2，這一點極其重要。

2）我們聯想到在數列2N+1上取兩個奇數，它們的相位數分別是a和b，即（2a+1）和（2b+1）。

3）這兩個式子相乘就代表了數列2N+1的所有合數，

即 ， （2a+1）（2b+1）= 2N+1

這個公式整理后就是： Nh=a(2b+1)+b a,b≥1

這個公式僅僅適用于2N+A這樣的特定空間范圍內，并且要與相關的表格配合起來使用才行。在這個完整的體系之中，這一公式已然成為了如同公理一般的存在。它能夠涵蓋數列2N+1里面處于區間（0，∞）之中的全部合數項，這已經是不言自明的事情了，哪里還需要什么額外的證明呢？這種要求證明的想法簡直是荒謬至極呀！

我們來對這個等式進行展開運算，（2a+1）（2b+1）=4ab + 2a + 2b + 1，將其與2N+1進行對比，我們可以清晰地看到，2N就對應著4ab + 2a +2b，那么N自然就等于2ab + a + b。而我們所定義的合數項Nh，在這里指的就是N的值，所以經過這樣的推導，Nh = 2ab + a + b。我們再對這個式子進行因式分解，可以將其改寫為a(2b + 1) + b，這便得到了我們前面所給出的合數項公式。

這個推導過程完全是基于基本的代數運算和對數列2N+1中合數構成方式的理解，簡單明了，根本無需引入那些高深莫測的數學工具。

把2N+A空間看成是一個獨立的體系，我們針對里面的每一個要素和要素之間的關聯進行分析。而不是脫離了這個空間和相對應的表格去套用一些不現實的理論，從而成了看似很有學問，一本正經牛唇不對馬嘴的胡言亂語。

本人由WPSAI潤色。

2026年1月18日星期日