博爾赫斯的阿萊夫和康托爾的天堂

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾、作家豪爾赫·路易斯·博爾赫斯以及博爾赫斯短篇小說《阿萊夫》的主人公卡洛斯·阿根蒂諾·達內(nèi)里在這里被視為一個謎題的三塊拼圖。我們將這三塊拼圖拼在一起，就會發(fā)現(xiàn)一個驚人的數(shù)字。

1. 格奧爾格·康托爾

格奧爾格·費迪南德·路德維希·菲利普·康托爾（1845-1918年）出生于俄羅斯圣彼得堡，但他一生的大部分時間是在德國度過的，11歲時隨家人遷居德國。他被認為是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他看待數(shù)學(xué)的方式令人驚嘆。他認為數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由，并建議將純數(shù)學(xué)稱為自由數(shù)學(xué)[13]。他催生了集合論，大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）將集合論描述為：

康托爾為我們創(chuàng)造的天堂，沒有人能把我們驅(qū)逐出去。[16]

康托爾認為，不可能只有一個無窮大，但一定有比其他無窮大更大的無窮大。在集合論中，數(shù)被視為集合，為了區(qū)分它們，他定義了無窮數(shù)。他還談到了絕對無窮（用Ω表示），他將其與上帝相提并論，并認為絕對無窮無法用數(shù)學(xué)形式化。康托爾將“小的”無限數(shù)（相對于上帝而言是小的）命名為阿萊夫0、阿萊夫1、阿萊夫2（表示為?0、?1、?2）等。此外，他還定義了它們之間的運算。

盡管康托爾塑造了一個天堂，但他的身心卻生活在地獄中，因為他與精神疾病作斗爭，他在哈勒的一家精神病院度過了最后的歲月。此外，在1901年，他的天堂似乎坍塌了，因為伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）指出，他的集合論本身就包含一個悖論。事實上，康托爾的理論并不排除存在一個包含所有不屬于自己的集合的集合：

R = {S ：S是集合，且S不是S的元素}。

這個集合屬于它自己嗎？任何答案都會導(dǎo)致矛盾，這一悖論的發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)界對康托爾理論的穩(wěn)健性產(chǎn)生了懷疑。后來，數(shù)學(xué)家恩斯特·澤梅洛（Ernst Zermelo）、阿道夫·亞伯拉罕·哈列維·弗蘭克爾（Adolf Abraham Halevi Fraenkel）和阿爾伯特·索拉爾夫·斯科萊姆（Albert Thoralf Skolem）對集合論進行了新的公理化，成功地將康托爾的天堂從悖論中解脫出來。然而，康托爾的生命卻沒有得到挽救，今天，月球黑暗面上的一個隕石坑就是以格奧爾格·康托爾的名字命名的，以紀念他的黑暗命運。

2. 博爾赫斯的數(shù)學(xué)

豪爾赫·弗朗西斯科·伊西多羅·路易斯·博爾赫斯·阿塞韋多（1899-1986 年）出生于阿根廷布宜諾斯艾利斯，卒于日內(nèi)瓦，一生留下了不朽的文學(xué)遺產(chǎn)，其中包括充滿創(chuàng)造力、想象力、夢想和數(shù)學(xué)的奇妙作品。1971年，當諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎和圖靈獎獲得者赫伯特·西蒙采訪他時，博爾赫斯說：

“我的許多想法都是對的：的確，我的許多想法都來自于對邏輯和數(shù)學(xué)書籍的閱讀。但話雖如此，每當我開始閱讀這些書籍時，我都會覺得它們打敗了我，我還沒能完全理解它們。[24]”

我讀過博爾赫斯的許多作品，我相信他實際上能夠充分理解許多令他著迷的數(shù)學(xué)概念。他利用這種能力創(chuàng)造了奇跡。博爾赫斯的做法與《愛麗絲漫游奇境記》[11] 的作者、數(shù)學(xué)家劉易斯·卡羅爾的做法相似。也就是說，他推倒了人類筑起的一堵將數(shù)學(xué)與文學(xué)隔開的墻。

關(guān)于博爾赫斯在寫作中運用數(shù)學(xué)的文獻浩如煙海（參見[1, 2, 10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 25]）。他的作品中經(jīng)常出現(xiàn)的兩個數(shù)學(xué)概念是悖論和無限。關(guān)于時間的無限性，他說：

永恒是一種絢麗的藝術(shù)，它把我們從時間流逝的難以忍受的壓迫中解放出來，哪怕只是片刻。[4]

他在《卡夫卡和他的先驅(qū)們》[9]、《阿喀琉斯和烏龜?shù)挠篮愀傎悺穂3]和《烏龜?shù)幕怼穂5]中，從哲學(xué)和數(shù)學(xué)的角度討論了阿喀琉斯和烏龜?shù)你Ｕ摗Ｔ凇端劳雠c指南針》[7]中，他利用了這一悖論，但并未明確提及：

沙爾拉赫，當你以其他化身追捕我時，在 A 處假裝犯罪（或確實犯罪），然后在距離 A 處8公里的 B 處第二次犯罪，然后在距離 A 和 B 處4公里的 C 處第三次犯罪，在這兩個地方的中途。稍后在 D 處等我，D 處距離 A 和 C 兩公里，再次位于兩者的中途。

博爾赫斯在接受赫伯特·西蒙（Herbert Simon）[24] 的采訪時也說過，他從羅素的數(shù)學(xué)著作中獲得了靈感。因此，羅素悖論經(jīng)常以各種形式出現(xiàn)在博爾赫斯的作品中也就不足為奇了。例如，博爾赫斯多次提到[22]一幅地圖，約西亞·羅伊斯在其著作《世界與個人》[23]中將其描述為一幅在英格蘭的一部分土地上完美描繪的英格蘭地圖。這幅地圖如此精確，以至于它包含了一幅地圖的地圖，而這幅地圖又包含了一幅地圖的地圖，如此等等。這種自指地圖讓人聯(lián)想到羅素悖論；我們在博爾赫斯的《巴別圖書館》[6] 中也能找到類似的想法：

像所有圖書館的人一樣，我年輕時也曾旅行；我曾漫步尋找一本書，也許是目錄中的目錄；

以及《阿萊夫》[8]。這就是我們現(xiàn)在要進一步分析的故事1。

3. 卡洛斯·阿根蒂諾·達內(nèi)里

博爾赫斯的短篇小說《阿萊夫》[8]中只有兩個活躍的人物：一個是博爾赫斯本人，另一個是被博爾赫斯描述為狂妄自大的詩人卡洛斯·阿根蒂諾·達內(nèi)里。卡洛斯小時候在地窖里發(fā)現(xiàn)了一個“阿萊夫”：

空間中包含所有其它點的點之一。……世界上唯一一個所有地方都在的地方……從每個角度看，每個地方都清晰可見，沒有任何混淆或融合。

自從發(fā)現(xiàn)了它，卡洛斯就對它著了迷。因為他能從阿萊夫看到宇宙的每個角度，所以他想寫關(guān)于世界每個角度的詩句。但博爾赫斯并不欣賞卡洛斯的詩歌和個性。他甚至無法完全理解他們，直到有一天，他在卡洛斯的地窖里親眼看到了阿萊夫：

我從每一個點和角度看到了阿萊夫，在阿萊夫中我看到了世界，在世界中看到了阿萊夫，在阿萊夫中看到了世界；我看到了自己的臉和自己的腸子；我看到了你的臉；我感到頭暈?zāi)垦＃飨铝搜蹨I，因為我的眼睛看到了那個秘密的、猜想中的物體，它的名字是所有人都知道的，但卻沒有人看過--無法想象的宇宙。我感到無限驚奇，無限憐憫。

4. 博爾赫斯的阿萊夫和康托爾的天堂

盡管博爾赫斯的“阿萊夫”在概念上與康托爾的“阿萊夫數(shù)”大相徑庭，但博爾赫斯顯然想向康托爾的集合論致敬。這不僅體現(xiàn)在名稱的選擇上，也體現(xiàn)在對羅素悖論的引用上（在阿萊夫數(shù)中我看到了世界，在世界中看到了阿萊夫數(shù)，在阿萊夫數(shù)中看到了世界），還體現(xiàn)在博爾赫斯對這一主題的了解上。在短篇小說的結(jié)尾，博爾赫斯在談到包含所有其他點的那個點的名字時，也直接提到了康托爾的著作。他說，他從卡洛斯那里聽說了“阿萊夫”這個名字，但他不知道卡洛斯是從哪里知道這個名字的。他說，?是希伯來字母表的第一個字母，也是 Mengenlehre（德語，集合論）中用來表示無窮級數(shù)的字母。有趣的是，康托爾的名字并沒有出現(xiàn)在這篇短篇小說的西班牙文原版中，但卻出現(xiàn)在由諾曼·托馬斯·迪·喬瓦尼與博爾赫斯合作翻譯的英文版中。

我也捫心自問：如果博爾赫斯想讓卡洛斯·阿根蒂諾·達內(nèi)里以某種方式詮釋格奧爾格·康托爾，那會怎樣？卡洛斯是發(fā)現(xiàn)阿萊夫（他說是我的阿萊夫）的人，他對阿萊夫如此著迷，以至于變成了一個瘋子。康托爾是“阿萊夫數(shù)之父”，他曾與精神健康問題作斗爭。但是，康托爾的人生并沒有一個美好的結(jié)局，而卡洛斯在博爾赫斯的故事中確實從他的問題中恢復(fù)過來了（我不會告訴你他是如何恢復(fù)過來的）。我認為博爾赫斯也想給坎特的人生一個圓滿的結(jié)局。我想，在博爾赫斯的這些篇章的結(jié)尾，康托爾又找到了他作品中一貫的自由。

參考文獻

[1] William Goldbloom Bloch, The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel, Oxford University Press, 2008.

[2] William Goldbloom Bloch, “Lost in a Good Book: Jorge Borges’ In escapable Labyrinth,” pages 155-165 in Imagine Math: Between Culture and Mathematics, edited by Michele Emmer (Springer Verlag Italia,2012).

[3] Jorge Luis Borges, “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga,” in Discusión, Bs. As., Manuel Gleizer, 1932.

[4] Jorge Luis Borges, Historia de la eternidad, Viau y Zona, Buenos Aires, 1936.

[5] Jorge Luis Borges, Los avatares de la tortuga, Sur, 1939.

[6] Jorge Luis Borges, “La biblioteca de Babel,” in El Jardín de senderos que se bifurcan (Sur, 1941).

[7] Jorge Luis Borges, La muerte y la brújula, Sur, 1942.

[8] Jorge Luis Borges, “The Aleph,” translation by Norman Thomas Di Giovanni in collaboration with the author, 1945.

[9] Jorge Luis Borges, Otras inquisiciones, chapter Kafka y susprecursores, Sur, 1952.

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[11] Lewis Carroll, Alice’s Adventures in Wonderland, Macmillan, 1865.

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[14] Oscar Antonio Di Marco, “Borges, the Quantum Theory and Parallel Universes,” The Journal of American Science, Volume 2 Issue 1 (2006). doi:10.7537/marsjas020106.01

[15] N. Katherine Hayles, Chaos and order: complex dynamics in literature and science, University of Chicago Press, 1991.

[16] David Hilbert, “über das unendliche,” Mathematische Annalen, Volume 95 (1926), pages 161–190.

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[18] Siva Prashant Kumar, Borges and Mathematics. Los juegos con eltiempoy con lo infinito, Master’s thesis, University of Sydney, 2015.

[19] Ema Lapidot, Borges and Artificial Intelligence: An Analysis in the Style of Pierre Menard, Peter Lang Inc., International Academic Publishers, 1991.

[20] Guillermo Martínez, Borges y la matemática, Seix Barral, 2006.

[21] Floyd Merrell, Unthinking Thinking: Jorge Luis Borges, Mathematics and the New Physics, Purdue University Press, 1991.

[22] Piergiorgio Odifreddi, “Un matematico legge Borges,” Asia – Associazione Spazio Interiore Ambiente, 1997.

[23] Josiah Royce, The World and the Individual, Peter Smith Pub Inc, 1976.

[24] Herbert Simon, “Borges–Simon: detrás del laberinto,” Revista Primera Plana, 1971.

[25] Allen Thiher, Fiction Refracts Science: Modernist Writers From Proust To Borges, University of Missouri Press, Columbia, 2005.

[26] Raffaella Mulas, The Aleph of Borges and the Paradise of Cantor

青山不改，綠水長流，在下告退。

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