“科學之母”數學的熱點何在

鄧煜：芝加哥大學數學系教授。他的研究主要聚焦于非線性色散方程與波動方程、流體動力學、調和分析、偏微分方程中的概率方法以及統計物理學。他于2007年至2009年期間曾就讀于北京大學，2011年獲得麻省理工學院數學學士學位，2015年獲得普林斯頓大學數學博士學位。他獲得了眾多杰出榮譽，包括MCA獎（2025）、斯隆研究獎（2021）、波特·奧格登·雅各布斯獎學金（2015）、威廉·洛厄爾·普特南獎學金（2010），以及國際數學奧林匹克競賽金牌（2006）。

問：當今數學研究的主要方向是什么？

答：AMS（美國數學學會）的Mathematics Subject Classification列出了60個左右的分支，大致也就是分析/概率、代數/數論、幾何/拓撲這幾大塊。我的工作方向主要在PDE（偏微分方程）上。

簡單來說，PDE的研究對象是由多元函數或向量場等（例如空間密度函數或流體的速度場）描述的，滿足一定物理規律（如Einstein方程或Schrodinger方程等）的系統。PDE發展到如今，已經能夠回答許多經典問題，并對某些簡單的方程給出完整刻畫。當然未解問題也還有很多。傳統的分析視角（基于線性和多線性估計，以及對守恒律與單調律等方程結構的利用）經過一個世紀的發展已經相當完善，但單一視角或許存在其固有的局限性。

問：數學領域還有哪些“未解之謎”？解決它們需要什么樣的突破？

答：所謂“未解之謎”還是有很多的。比如克雷（Clay）著名的七大千禧年問題目前就只解決了一個。這里簡單介紹一下和分析/概率相關的兩個問題。

Navier-Stokes方程的整體適定性：Navier-Stokes方程是流體力學中最基本的方程之一，而其是否對任意光滑初值存在整體光滑解，也是最基本的問題之一。這一問題長期未解決的原因是其“超臨界”性，即方程可能在小尺度上產生奇性（比如解在某一點處趨于無窮）；而已知的分析工具（能量不等式等）在這類問題上并不能給出足夠的估計。

Yang-Mills量子場論的構造：這一問題涉及Yang-Mills場論的量子化的構造及其性質（如mass gap）的證明。從分析和概率角度（存在不同視角如拓撲量子場論，限于篇幅這里不展開），需要構造的是某個無窮維聯絡空間上，形式上由Yang-Mills泛函定義的概率測度。

問：數學與當今熱門技術如AI、量子技術的關系是什么？

答：我簡單解釋一下數學與AI的關系。我對量子技術了解不多，但如果量子計算能夠突破并實用化，或將帶來算法和算力的雙重飛躍，對數學研究也可能產生深刻的影響。

簡單來說，存在著所謂“Math for AI”和“AI for Math”的兩個研究方向。前者關注（神經網絡等）AI技術的數學基礎，本質上在試圖回答“為什么神經網絡用來近似任意函數能夠如此有效”這一問題。就我所知的范圍，目前這一方向尚缺少重大的突破性進展，受到的關注也相對較少。

同時，“AI for Math”最近則受到了數學界和AI學界的高度關注。在這方面，近幾年的進展大致可分為以下幾類：

（1）用AI尋找PDE可能的近似解（profile），并結合區間算術與計算機輔助證明來嚴格構造方程的特殊解。

（2）用AI進行“數學實驗”，從已知結果與數據中尋找規律，并以此為基礎尋求已有結果的改進，或進一步總結出一般結論并證明。在此方向，AlphaEvolve團隊的論文報告了在各不同領域取得的進展。

（3）AI自動證明。目前各主流大語言模型均有一定書寫數學證明的能力，各大AI企業也在同時研發專用于數學證明的模型。就目前而言，這些大模型的能力似乎足以解決一般的數學競賽級別題目，對部分較困難的題目則需依賴更強的算力。

（4）AI自動形式化，即用大模型將自然語言書寫的數學證明轉化為Lean等形式語言，從而自動驗證其正確性。這一目標比起自動證明似乎更簡單些，但如能實用化將大大簡化數學界的審稿流程。同樣地，目前大模型的能力似乎局限于在人類提供部分幫助下，形式化一些篇幅較短的證明（如最近Math Inc.的智能體Gauss成功形式化了素數定理的證明）。

問：基礎數學研究與算力、算法的關系？

答：就目前而言，AI（算法和算力）的發展對基礎數學的影響仍較為有限。主要原因是，當前AI for Math依然局限于特殊領域的特殊問題（如尋找PDE的近似解）與一般領域的簡單問題（最近AI幫助解決了數個Erdos問題，但多數情況下AI所做的仍是從文獻中發掘已有的證明，而非原創證明）。

隨著將來AI算法和算力的進一步發展，當AI工具的能力足以真正在數學研究中發揮一定作用時，基礎數學的研究方式亦可能隨之改變。到那時（如果有的話）AI是會作為研究助手還是獨立研究者存在，人類數學家又將扮演怎樣的角色，目前還不得而知。

問：對于當代青少年來說，數學素養應包含哪些要點？

答：對一般青少年的期望自然與對專業數學家不同，我也非數學教育方面專家，只能從個人角度嘗試討論一些重點。

（1）邏輯：邏輯可謂人類思維中最重要的部分之一，它不僅是數學的基礎，也在日常生活與決策中起到重要作用。當然并非生活中所有問題都可簡化為邏輯判斷，但良好的邏輯素養能使人形成良好的直覺，后者在很多情況下都是大有助益的。

（2）統計：在當代乃至近未來，每個人接觸到的信息量會越來越大，這就需要從大量信息中總結提取最重要和有用的部分。同樣，這里的“統計”未必指向具體理論，而是一種“掌握宏觀趨勢，而不被微觀個例所迷惑”的直覺。

（3）分析：在分析學中，最重要的能力之一是從某個整體的不同部分貢獻中分離主要與次要成分。這一點對普通人也有著重要意義：對一件復雜事物，如何抓住起主要作用的因素，并對其進行控制以達到想要的結果。此外，也包括如何分析事物的變化趨勢等等。

（4）結構化：相對于分析學，代數學的重點則是“抽象”或“結構化”，即在本質相同的不同事物間建立聯系。顯然這點在生活中也是相當重要的：其有助于看清不同事物的本質并作出相應的決策。

總之，數學素養不同于數學知識或數學能力，但對數學的了解有助于獲得良好的數學素養。以此為目標該如何對青少年進行教育和培養，尚有待數學教育專家的研究。

原標題：《“科學之母”數學的熱點何在》

欄目編輯：馬丹

本文作者：新民晚報 張炯強