自然·物理：改變單個節點，讓復雜系統恢復如初

摘要

眾所周知，預測復雜系統的崩潰是極其困難的。而找到一種使系統恢復正常的方法則更為困難。Nature Physics的一項理論研究，指出如何通過恢復崩潰網絡中的一個節點，來恢復其功能。

研究領域：復雜網絡，臨界點，拓撲重構，網絡彈性，系統功能恢復

Patrick Desrosiers，Xavier Roy-Pomerleau| 作者

劉培源、郭瑞東| 譯者

論文題目： Reviving a failed network through microscopic interventions 論文地址： https://www.nature.com/articles/s41567-021-01474-y

論文摘要：從大規模物種滅絕到細胞死亡，復雜的網絡系統經常會由期望突然轉換為無法發揮功能的狀態。這些轉換通常是由拓撲擾動(如節點或鏈路刪除，或降低鏈路強度)引起的。而逆轉拓撲擾動，例如恢復丟失的節點或加強鏈接，并不能確保系統恢復到初始狀態。事實上，許多相關的系統表現出滯后現象，盡管重建了損壞的拓撲結構，但系統仍然處于功能失調狀態。為了應對這個挑戰，我們開發了一個兩步恢復方案: 首先，拓撲重構到系統可以恢復的狀態，然后進行動態干預，以重新點燃系統失去的功能。通過將該方法應用于一系列非線性網絡，我們識別出復雜系統的可恢復階段，在這個狀態下，系統可以被微觀干預重新恢復其功能，例如，僅僅控制一個節點。通過繪制具有這樣特征的動力系統的邊界，我們得到兩步恢復的指導方針。

物種滅絕、癲癇發作和電網斷電，這些都是復雜系統由于臨界轉變（critical transitions）導致功能失調的典型例子。近幾十年里，研究人員一直在努力工作尋找有助于預測臨界點的閾值[1-3]。也就是說超過這個臨界點，系統的狀態會劇烈且常常不可逆轉地發生變化。如何干預一個系統使其從功能失調的狀態中恢復，這是尚未被充分探索的問題。最近的Nature Physics的論文[4]Reviving a failed network through microscopic interventions證明，存在一個局部的干擾，可以使系統回到具有功能的狀態。這項工作讓我們對復雜系統彈性的理解開啟了新篇章。

圖1. 網絡因為連接的拓撲結構而從可發揮功能狀態（右圖）轉為失能狀態（左圖）[4]

在20世紀70年代，結合實驗數據和來自非線性微分方程的定性理論的概念，Crawford S. Holling[5]將彈性（resilience）定義為生態系統吸收變化和擾動而不崩潰的能力。他提出系統會有多個穩定狀態，每一個都有一個相應的“吸引盆”（basin of attraction）。吸引盆是一組初始條件，系統通常會從一組初始條件演化到一個給定的穩定狀態。彈性和吸引盆的大小密切相關。為了說明他的觀點，Holling提出了一個基本但經常被用到的類比：一個受到重力吸引的物體，在一個包含頂峰和平原的景觀中移動（圖2a）。

之后的研究，闡明了臨界值在具有多個穩定狀態的生態系統中的作用，例如描述物種種群演化的模型。將此類系統的平衡態繪制為單個模型參數的函數，有時會呈現如圖2b所示的情況，這意味著動力學的災難（dynamical catastrophe）。后來研究者在考察神經元網絡的全局活動[7]和振蕩器同步[8,9]時，也得到了類似的圖。有趣的是，圖2b包含一個磁滯回線（hysteresis loop），即一個不可逆的ABCD循環——這正是統計物理中一階相變和網絡科學中爆發現象的標志[8]。

新研究的目標，是設計一個真實的擾動策略，使得一個處于失去功能狀態的系統，轉變為有功能的狀態。例如，一個系統位于圖2b中的點B，該策略的目的是找到一個方法，使球恢復到上方的分支上。極端的解決方案，例如用巨大擾動或顯著增加相關參數來自動將狀態推到更高分支，可以與全局性的沖擊（global electroshocks）相比。但這種全局沖擊很難適用于真實系統。研究者們轉而尋找更加溫和、只影響系統中少數組件的策略。

圖2. 動力系統中的彈性。a， Holling對具有兩種不同彈性水平的系統中穩定狀態的類比[5]。球的位置傾向于滾到山谷中，指向系統當前的狀態。從系統中代表功能的吸引盆（藍色）過渡到代表不具有功能的吸引盆（橙色），球必須滾過中間的峰值。b，代表的一般生態系統中，包含多個平衡狀態 χ 作為參數α的函數的圖示。其中實線代表穩定態（a中谷底），中間的虛線代表非穩定態（a中峰頂）。初始狀態（圖中任意點）將按箭頭指示方向收斂到一個穩定狀態上。點A和C表示小的擾動就會使系統轉向另一個分支上的更穩定的狀態（點B和D），參數α1h和α2分別對應于具有最小和最大彈性的系統的閾值。

這篇新論文分別研究了有向、異質與加權的網絡的微觀行為。網絡中的節點代表系統中的單元，連邊代表系統中相互作用的強度。每個節點有自己的活動，整個網絡的狀態由一組非線性微分方程所驅動。在有向網絡中，節點的入度和出度（每個節點所連接的邊數）可用來定義宏觀狀態變量[10]。這樣一個變量的動力學，可近似表示為一個簡單的非線性方程，圖2b中的參數α轉化為平均鄰居節點入度殘差（residual-ingoing degree），這是網絡科學中一個有名的表示結構的變量。

為恢復崩潰網絡的功能，新研究提出了一個兩步走的策略：重建結構，然后重新激發（restructuring，reigniting）。第一步是修改網絡的局部結構（例如增加一些邊）以確保存在一個可發揮功能的狀態。這個步驟大致相當于在圖2b中將α放在α1和 α2之間。第二步中，隨機選擇一個節點。僅對于此節點，其活動被設置為一個有限的值，該至充當重新激發（恢復該節點功能）的強制參數。為了確定所選節點對整體的影響，作者查看了該節點的鄰居節點的活動，然后查看其鄰居節點的鄰居節點的活動，逐步推至整個網絡。

圖3. 兩步恢復的示意圖，左邊描述的第一階段是將網絡重構為想要達到的狀態，右圖的重新激活是通過激活點s，使其范圍擴展，逐步恢復網絡功能

通過一系列近似，研究者設法得到了一組新的方程。這些方程可以預測離強制節點有一定距離的節點的平均活動。該集合中的點的活動取決于三個基本結構參數：平均連接權重，平均網絡互易性，以及平均鄰居節點入度殘差。

通過使系統處于平衡狀態并采用其規模上限，研究者分析推導出一個一維的非線性方程，它為恢復功能狀態的可能性提供了可測試的預測。實際上，這個方程有兩種解：(1)唯一解：對應于原始功能失調狀態的吸引盆；(2)多重解，其中至少有一個對應于可發揮功能狀態的吸引盆。

因此，該工作證明了非線性動力學和系統的基本結構所產生的協同作用，允許在某些情況下，通過刺激單個單元并將其轉換到功能狀態，來驅動整個系統恢復到正常功能狀態。為了驗證其發現，研究者廣泛地做了關于神經元細胞和微生物群落的數值分析。他們在多達104個節點的隨機無標度網絡上和不同真實經驗網絡上的都證實了理論預測。這些真實網絡包括：酵母和人類蛋白質-蛋白質相互作用網絡、人類大腦連接組和腸道微生物組網絡。

通過在微觀上采取行動進而在宏觀上恢復一個復雜系統的功能，有許多相關應用。在一個面臨氣候、科技和社會快速變化的世界里，我們需要不僅僅是能夠預測迫在眉睫的災難性事件，還需要制定扭轉其后果的策略。而這項研究工作，是朝著旨在恢復真實復雜系統正常功能的有針對性干預的一般理論的關鍵步驟。

參考文獻

[1]Schefer, M. et al. Science 338, 344–348 (2012).

[2]Jiang, J. et al. Proc. Natl Acad. Sci. USA 115, E639–E647 (2018).

[3]Arani, B. M. S. et al. Science 372, eaay4895 (2021).

[4]Sanhedrai, H. et al. Nat. Phys. https://doi.org/10.1038/s41567-

021-01474-y (2022).

[5]Holling, C. S. Annu. Rev. Ecol. Evol. Syst. 4, 1–23 (1973).

[6]May, R. M. Nature 269, 471–477 (1977).

[7]Laurence, E. et al. Phys. Rev. X 9, 011042 (2019).

[8]D’Souza, R. M. et al. Adv. Phys. 68, 123–223 (2019).

[9]Tibeault, V. et al. Phys. Rev. Res. 2, 043215 (2020).

[10]Gao, J. et al. Nature 530, 307–312 (2016).

原文地址：

https://www.nature.com/articles/s41567-021-01449-z

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