女士們,先生們,老少爺們兒們!在下張大少。
本文闡明了一種網(wǎng)格的存在——四維埃舍爾網(wǎng)格。這種網(wǎng)格使用四維空間中的透視來(lái)產(chǎn)生德羅斯特效應(yīng),參考埃舍爾作品《畫(huà)廊》中固有的埃舍爾網(wǎng)格。考慮到埃舍爾網(wǎng)格是二維的,推測(cè)為四維人產(chǎn)生德羅斯特效應(yīng)的網(wǎng)格本身可以在三維空間中產(chǎn)生。由于網(wǎng)格可以解釋為基于通過(guò)旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展埃舍爾網(wǎng)格的正方形而獲得的圖形,因此可以解釋為四維埃舍爾網(wǎng)格是通過(guò)旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展立方體而獲得的圖形。為了生成四維埃舍爾網(wǎng)格,首先提到了嵌套、透視和維度之間的關(guān)系,并且揭示了存在具有增加的消失點(diǎn)維度的“消失線”。埃舍爾網(wǎng)格中正方形的旋轉(zhuǎn)軸是畫(huà)的消失點(diǎn),該點(diǎn)是二維平面上關(guān)于x和y對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)。考慮到這一點(diǎn),可以看出消失線,也就是四維埃舍爾網(wǎng)格的旋轉(zhuǎn)軸,是在三維空間中x、y、z方向上與立方體對(duì)稱(chēng)的線,也就是立方體的體對(duì)角線。綜上所述,可以說(shuō)四維埃舍爾格子的底是一個(gè)立方體繞身體對(duì)角線軸旋轉(zhuǎn)展開(kāi)得到的圖形。
1導(dǎo)言
1.1德羅斯特效應(yīng)(Droste effect)
德羅斯特效應(yīng)是一種圖片遞歸出現(xiàn)在自身內(nèi)部的效果,出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)中預(yù)期會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似圖片的地方,是自參照系統(tǒng)令人眩暈的循環(huán)的視覺(jué)示例。圖像的大小隨著每次迭代以幾何方式減小,因此只要圖像分辨率允許,它就會(huì)繼續(xù)。圖像的大小隨著每次迭代以幾何方式減小,因此只要圖像分辨率允許,它就會(huì)繼續(xù)。
1.2 埃舍爾的作品
荷蘭版畫(huà)藝術(shù)家埃舍爾(M.C. Escher)也有一幅利用德羅斯特效應(yīng)的欺騙性繪畫(huà)作品(圖1)。畫(huà)廊里有一個(gè)正在看畫(huà)的年輕人。當(dāng)你觀察這個(gè)年輕人觀看的畫(huà)面時(shí),你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)人本身就是畫(huà)面的一部分。
![]()
圖1:M.C.埃舍爾的《畫(huà)廊》,1956 年。
之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的效果,是因?yàn)橛幸环N叫做“埃舍爾網(wǎng)格”的原始網(wǎng)格創(chuàng)造了德羅斯特效應(yīng),這張圖就是基于它繪制的(圖2)。
![]()
圖2:埃舍爾網(wǎng)格
在每個(gè)方格之后,每個(gè)較小的方格都被轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的放大方格中。通過(guò)這種方法,屏幕的放大可以自動(dòng)完成。具體來(lái)說(shuō),圖3-a中的矩形 KLMN 被轉(zhuǎn)換成圖3-b中的 K'L'M'N'。
![]()
圖3:埃舍爾網(wǎng)格的具體例子,引自[1]
1.3推理
埃舍爾在一個(gè)二維網(wǎng)格上繪制了一個(gè)具有德羅斯特效應(yīng)的神秘三維空間。這意味著有可能在我們的空間中創(chuàng)建一個(gè)三維網(wǎng)格,使四維人產(chǎn)生德羅斯特效應(yīng)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),將埃舍爾網(wǎng)格曲線近似為一條直線。實(shí)際上,埃舍爾最初試圖使用直線,但最終憑直覺(jué)決定使用曲線。使用這種方法,原始正方形可以更忠實(shí)地保留其原始形狀(圖4)。
![]()
圖4:埃舍爾網(wǎng)格的初始和演化類(lèi)型
認(rèn)為圖像失真是因?yàn)樗倪呅蔚男螤钔ㄟ^(guò)將曲線近似為直線而失真,但是可以認(rèn)為德羅斯特效應(yīng)的本質(zhì)部分沒(méi)有丟失。然后,這個(gè)網(wǎng)格被解釋為通過(guò)圍繞消失點(diǎn)旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展一個(gè)正方形而獲得的網(wǎng)格(圖5)。
![]()
圖5:直型埃舍爾網(wǎng)格
此時(shí),我們?nèi)S人可以感知網(wǎng)格本身,但無(wú)法感知像埃舍爾這樣的人在基于“四維埃舍爾網(wǎng)格”的四維空間中制造的三維空間,就像生活在平地上的二維人無(wú)法感知埃舍爾繪畫(huà)的幻覺(jué)一樣。作為一個(gè)三維人,我能做的就是畫(huà)這個(gè)格子,其中的樂(lè)趣只有四維人才知道。
2創(chuàng)建四維埃舍爾網(wǎng)格的方法
2.1嵌套、透視和維度之間的關(guān)系
作為生成四維埃舍爾網(wǎng)格的過(guò)程,必須首先描述嵌套、透視和尺寸之間的關(guān)系。從二維角度看,圖6看起來(lái)像一個(gè)正方形中的正方形,但是因?yàn)槲覀円灿腥S視角,所以看起來(lái)像是從上面看盒子。這是一個(gè)透視感知,一個(gè)消失點(diǎn)出現(xiàn)在盒子底部的中心。二維中的“內(nèi)部”在三維中變成了“背面”。這里重要的是你有能力在不同的維度上感知同一個(gè)圖形。
![]()
圖6:二維嵌套
然后,當(dāng)增加維度時(shí),正方形中的正方形變成立方體中的立方體(圖7)。我們只能感覺(jué)到“里面”,但四維的人一定能感知到這是“后面”。此時(shí),既然維度更高,那么“消失點(diǎn)(零維)”就應(yīng)該是“消失線(一維)”。考慮到正方形中的消失點(diǎn)是在x和y方向上與正方形對(duì)稱(chēng)的二維點(diǎn),消失線是在x、y和z方向上與立方體對(duì)稱(chēng)的三維線,并且正好是立方體的對(duì)角線。
![]()
圖7:三維嵌套
2.2四維埃舍爾網(wǎng)格的生成過(guò)程
四維埃舍爾網(wǎng)格是通過(guò)旋轉(zhuǎn)和放大立方體的對(duì)角線作為旋轉(zhuǎn)軸來(lái)近似描述的圖形(圖8)。放大和導(dǎo)出的數(shù)量是任意的,因?yàn)樗c埃舍爾網(wǎng)格繪制的細(xì)分程度相同,這是一個(gè)類(lèi)似的數(shù)字。
![]()
圖8:旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展立方體的過(guò)程
圖9展示了離散描述立方體旋轉(zhuǎn)膨脹的結(jié)果。
![]()
圖9:旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展立方體的模型
考慮到通過(guò)增加圖5的維度來(lái)創(chuàng)建四維埃舍爾網(wǎng)格,精確的圖形是其中圖9中生成的每個(gè)立方體的每個(gè)邊都被延伸的圖形。這里,整體復(fù)雜且難以理解,一部分被放大顯示(圖10)。
![]()
圖10:四維渦流效應(yīng)模型的一部分
旋轉(zhuǎn)和展開(kāi)一個(gè)立方體是一個(gè)極其簡(jiǎn)單的過(guò)程,但是通過(guò)把它的旋轉(zhuǎn)軸設(shè)置為x,y,z三個(gè)參數(shù)的立方體對(duì)角線,就產(chǎn)生了一個(gè)不可想象的。這說(shuō)明我們還缺乏對(duì)三維空間的把握能力,而這個(gè)圖形與四維空間相連是非常有趣的。
參考文獻(xiàn)
1. Ernst, B., Toverspiegel, D., van Escher, M.C.: English translation by J.E. Brigham: The Magic Mirror of M.C. Escher. Ballantine Books, New York (1976)
2. Abbott, E.A.: Flatland: A Romance of Many Dimensions. Seeley & Co. (1884)
3 Ikko Yokoyama, Perspective and Illusion in Four-Dimension: Droste-Effect in Four-Dimension Based on Escher’s Work
青山不改,綠水長(zhǎng)流,在下告退。
轉(zhuǎn)發(fā)隨意,轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系張大少本尊,聯(lián)系方式請(qǐng)見(jiàn)公眾號(hào)底部菜單欄。
掃一掃,關(guān)注微信公眾號(hào)“宇宙文明帶路黨”
特別聲明:以上內(nèi)容(如有圖片或視頻亦包括在內(nèi))為自媒體平臺(tái)“網(wǎng)易號(hào)”用戶(hù)上傳并發(fā)布,本平臺(tái)僅提供信息存儲(chǔ)服務(wù)。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.