《線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課》特別加餐：透視復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的核心——特征值與特征向量初探（上）

導(dǎo)語

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中，單個(gè)節(jié)點(diǎn)或邊的局部性質(zhì)往往不足以解釋系統(tǒng)的整體行為，真正起作用的，是網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中隱藏的整體模式與耦合關(guān)系。為此，我們需要一種能夠在“整體層面”刻畫結(jié)構(gòu)、并自然連接動(dòng)力學(xué)過程的數(shù)學(xué)工具。線性代數(shù)，尤其是圍繞矩陣、特征值與特征向量建立起來的分析框架，為理解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)提供了一種高度凝練、卻又極具解釋力的結(jié)構(gòu)語言。本講圍繞復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、高階網(wǎng)絡(luò)，符號(hào)網(wǎng)絡(luò)等相關(guān)的多種矩陣特征值和特征向量，探討網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和連邊的中心性，包括各種基于結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)的中心性。

在本系列《》課程中，諸葛昌靖老師從基礎(chǔ)概念出發(fā)，系統(tǒng)梳理線性空間、矩陣運(yùn)算、特征值與分解等核心理論，逐步建立起線性代數(shù)作為“通用建模語言”的整體圖景。而周進(jìn)教授的加餐課程，則以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為具體應(yīng)用場(chǎng)景，橫向展開這些工具在真實(shí)系統(tǒng)分析中的使用方式，聚焦它們?nèi)绾沃苯臃?wù)于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)解析、動(dòng)力學(xué)理解與關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（邊）的識(shí)別。通過這一加餐，我們希望幫助學(xué)習(xí)者將主課程中形成的理論認(rèn)知，進(jìn)一步連接到復(fù)雜系統(tǒng)研究的實(shí)際問題之中，體會(huì)線性代數(shù)在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的具體“落點(diǎn)”。

集智學(xué)園聯(lián)合清華大學(xué)數(shù)學(xué)博士諸葛昌靖老師推出「」，并邀請(qǐng)武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院周進(jìn)教授于1月20日、1月27日就特征值與特征向量在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用做特別加餐分享。課程已于12月20日開啟，歡迎加入課程群交流。在本系列課程中，諸葛昌靖老師從基礎(chǔ)概念出發(fā)，系統(tǒng)梳理線性空間、矩陣運(yùn)算等核心理論，逐步建立起線性代數(shù)作為“通用建模語言”的整體圖景。而周進(jìn)教授的加餐課程，則以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為具體應(yīng)用場(chǎng)景，橫向展開這些工具在真實(shí)系統(tǒng)分析中的使用方式，聚焦它們?nèi)绾沃苯臃?wù)于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)解析、動(dòng)力學(xué)理解與關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（邊）的識(shí)別。

課程主講人

周進(jìn)，武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。二十年來，開展數(shù)學(xué)、復(fù)雜性科學(xué)、智能科學(xué)交叉研究，聚焦于復(fù)雜系統(tǒng)的集群控制和動(dòng)力學(xué)分析。曾獲國(guó)家自然科學(xué)二等獎(jiǎng)，教育部自然科學(xué)一等獎(jiǎng)，湖北省自然科學(xué)一等獎(jiǎng)，獲全國(guó)優(yōu)秀博士論文提名及湖北省優(yōu)秀博士論文。共發(fā)表學(xué)術(shù)論文71篇，其中第一作者/獨(dú)立通訊作者論文65篇，全部為SCI或EI收錄，包括物理學(xué)頂刊Physical Review Letters, 控制學(xué)三大頂刊IEEE Transactions on Automatic Control (長(zhǎng)文和短文)、Automatica及SIAM Journal on Control and Optimization。所發(fā)表論文被國(guó)內(nèi)國(guó)際引用總計(jì)近四千次。主持國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目5項(xiàng)；參與專項(xiàng)研究項(xiàng)目1項(xiàng)，面上項(xiàng)目多項(xiàng)。指導(dǎo)的博士生獲得國(guó)家自然科學(xué)基金青年學(xué)生基礎(chǔ)研究項(xiàng)目 (博士研究生) 1項(xiàng)。作為骨干成員參與科技部國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃1項(xiàng)。受邀在2024年第二十屆全國(guó)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)大會(huì)、2021年第十七屆中國(guó)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)論壇及2016年第十二屆全國(guó)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)大會(huì)上做大會(huì)特邀報(bào)告；2021年在“集智俱樂部”組織的第二期和第三期復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)課程中，分別作了題為“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步”和“多層網(wǎng)絡(luò)及其動(dòng)力學(xué)”的專題講座。

引入：從“網(wǎng)絡(luò)圖”到“結(jié)構(gòu)語言”

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，圖并不是終點(diǎn)，而是起點(diǎn)。通過鄰接矩陣、Laplacian 矩陣及其各種推廣形式，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)被嵌入到一個(gè)代數(shù)空間中，節(jié)點(diǎn)與邊的關(guān)系被轉(zhuǎn)化為可計(jì)算、可比較、可推演的對(duì)象。不同類型的 Laplacian 矩陣，并非技術(shù)細(xì)節(jié)的堆砌，而是對(duì)網(wǎng)絡(luò)約束方式、邊權(quán)結(jié)構(gòu)以及高階關(guān)聯(lián)的不同抽象方式。從經(jīng)典 Laplacian 到 Grounded Laplacian、廣義 Laplacian、超 Laplacian 與 Hodge Laplacian，矩陣逐步承載起網(wǎng)絡(luò)從“連接關(guān)系”到“結(jié)構(gòu)功能”的全部信息。

當(dāng)動(dòng)力學(xué)過程被放置在網(wǎng)絡(luò)之上時(shí)，線性代數(shù)的意義進(jìn)一步顯現(xiàn)。同步是否能夠發(fā)生？擾動(dòng)會(huì)迅速衰減還是持續(xù)放大？擴(kuò)散過程是否存在臨界閾值？這些問題表面上屬于動(dòng)力系統(tǒng)，實(shí)則深深植根于矩陣的譜結(jié)構(gòu)之中。Laplacian 的最小與次小特征值刻畫了網(wǎng)絡(luò)整體的連通性與協(xié)同能力，鄰接矩陣的最大特征值決定了動(dòng)力學(xué)過程的穩(wěn)定邊界，而譜分布的形態(tài)，則為系統(tǒng)演化提供了整體視角。特征值不再只是“計(jì)算結(jié)果”，而是系統(tǒng)行為的壓縮表達(dá)。

與特征值相對(duì)應(yīng)的特征向量，則為我們提供了一種理解系統(tǒng)“角色分工”的方式。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，并非所有節(jié)點(diǎn)與連接都同等重要。某些節(jié)點(diǎn)在全局傳播中扮演關(guān)鍵角色，某些邊則可能成為限制系統(tǒng)協(xié)同行為的瓶頸。通過特征向量，我們可以在整體結(jié)構(gòu)中識(shí)別這些關(guān)鍵成分，而這種“重要性”并非主觀賦予，而是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身自然決定的。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的線性代數(shù)

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究版圖中，線性代數(shù)不僅是工具，更承擔(dān)著三個(gè)核心的認(rèn)知角色：

1. 結(jié)構(gòu)表達(dá)的載體：網(wǎng)絡(luò)的連通性是緊密還是松散？層級(jí)是扁平還是垂直？冗余度是高還是低？這些定性的描述，被精確地封裝矩陣的稀疏與稠密、特征值譜的連續(xù)與跳躍中。

2. 結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)之間的橋梁：網(wǎng)絡(luò)上的同步、擴(kuò)散、傳播與控制等過程，其可行性與穩(wěn)定性往往由少數(shù)關(guān)鍵特征值所決定。靜態(tài)結(jié)構(gòu)在這里直接塑造了動(dòng)態(tài)行為的邊界。

3. 系統(tǒng)重要性的量化標(biāo)尺：在大規(guī)模系統(tǒng)中，“誰更重要”不再依賴經(jīng)驗(yàn)判斷，而體現(xiàn)在特征向量對(duì)結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)貢獻(xiàn)的自然分配之中。

通過這次加餐，學(xué)習(xí)者將逐步理解：為什么特征值與特征向量幾乎不可避免地出現(xiàn)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析中；為什么它們常常成為系統(tǒng)行為的“隱含參數(shù)”；以及為什么這些概念能夠在不同類型的網(wǎng)絡(luò)與動(dòng)力學(xué)問題中反復(fù)出現(xiàn)。

特征值、特征向量在復(fù)雜系統(tǒng)中的關(guān)鍵思想

在復(fù)雜系統(tǒng)語境下，特征值與特征向量具有清晰而直觀的系統(tǒng)含義：

• 特征值：描述系統(tǒng)的整體性質(zhì)

• • 網(wǎng)絡(luò)的連通性與協(xié)同性

  • 動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性與脆弱性

  • 擴(kuò)散、同步等過程的臨界條件

• 特征向量：刻畫結(jié)構(gòu)中的“角色分工”

• • 哪些節(jié)點(diǎn)在全局中更有影響力

  • 哪些連接主導(dǎo)信息與擾動(dòng)的傳播

  • 哪些局部結(jié)構(gòu)決定了系統(tǒng)的演化方向

課程目標(biāo)

本次線性代數(shù)加餐，旨在打破學(xué)科壁壘。我們將以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為經(jīng)，以線性代數(shù)為緯，編織一張知識(shí)的網(wǎng)。 這不再是枯燥的行列式計(jì)算，而是將抽象的數(shù)學(xué)工具重新放回鮮活的“問題現(xiàn)場(chǎng)”，讓你看到那些冰冷的公式如何在真實(shí)世界中熠熠生輝。

• 主課程（縱向）以線性代數(shù)自身的邏輯為主線，系統(tǒng)梳理概念、方法與理論結(jié)構(gòu)，建立完整的知識(shí)框架。

• 本次加餐（橫向）以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為主線，橫向貫通線性代數(shù)中的矩陣、特征值與特征向量，幫助學(xué)習(xí)者理解這些概念在復(fù)雜系統(tǒng)分析中的真實(shí)作用與思想內(nèi)涵。

通過加餐，學(xué)習(xí)者將能夠：

• 將線性代數(shù)概念自然映射到復(fù)雜系統(tǒng)問題中

• 理解特征值與特征向量在網(wǎng)絡(luò)分析中的系統(tǒng)含義

• 為進(jìn)一步學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、控制與 AI 奠定結(jié)構(gòu)性認(rèn)知基礎(chǔ)

當(dāng)線性代數(shù)被放回復(fù)雜系統(tǒng)的語境中，你會(huì)發(fā)現(xiàn)： 它絕不僅是一門關(guān)于Ax=λx 的“計(jì)算工具課”， 而是一種理解結(jié)構(gòu)、預(yù)測(cè)行為、識(shí)別關(guān)鍵的高維系統(tǒng)語言。這門加餐，不是終點(diǎn)，而是一個(gè)跳板。 它希望帶你完成一次關(guān)鍵的認(rèn)知躍遷——從“學(xué)會(huì)線性代數(shù)”，走向“用線性代數(shù)思考系統(tǒng)”。

課程大綱

1、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與矩陣特征

• 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與矩陣特征

• • 鄰接矩陣

  • Laplacian 矩陣

  • Grounded Laplacian

  • 廣義 Laplacian

  • 超 Laplacian

  • Hodge Laplacian

• 各類矩陣的結(jié)構(gòu)意義與基本性質(zhì)

• 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)與矩陣特征

• • Laplacian 最小、次小、最大特征值、特征值譜

  • 鄰接矩陣最大特征值、特征值重?cái)?shù)

  • Grounded Laplacian 最小特征值

  • 歸一化Laplacian次小特征值

• 特征值及其對(duì)應(yīng)特征向量的系統(tǒng)含義

• 特征值譜與動(dòng)力學(xué)行為的整體解釋

• 邊在結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)中的角色

• 動(dòng)力學(xué)相關(guān)邊中心性：

• • Fiedler 序中心性

  • 結(jié)構(gòu)相關(guān)邊中心性

  • 邊介數(shù)中心性

  • 生成樹邊中心性

  • k-路徑邊中心性

  • 邊度中心性

• 點(diǎn)在結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)中的角色

• 動(dòng)力學(xué)相關(guān)點(diǎn)中心性：

• • 同步終態(tài)中心性

  • ControlRank

  • 點(diǎn)Fiedler序中心性

• 結(jié)構(gòu)相關(guān)點(diǎn)中心性：

• • 點(diǎn)度中心性、點(diǎn)介數(shù)中心性、離心中心性、接近度中心性

  • k-殼中心性、Katz 中心性、特征向量中心性

  • PageRank、LeaderRank、H-指數(shù)中心性

課程信息

• 課程主題：透視復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的核心——特征值與特征向量初探（上）

• 課程時(shí)間：1月20日晚 19:30–21:30

• 課程形式：

• • 騰訊會(huì)議（會(huì)議信息見群內(nèi)通知）

  • 集智俱樂部視頻號(hào)、B站直播

  • 集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3 個(gè)工作日內(nèi)上線）

課程適用對(duì)象

• 已學(xué)習(xí)或正在學(xué)習(xí)線性代數(shù)，希望理解其“真實(shí)用途”的同學(xué)

• 對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)科學(xué)、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)感興趣的學(xué)習(xí)者

• 希望從“結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)多個(gè)層面”理解網(wǎng)絡(luò)與算法的研究者

報(bào)名須知

• 課程形式：騰訊會(huì)議，系列課程前兩節(jié)及課程加餐集智俱樂部視頻號(hào)、B站線上同步直播；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播；

• 課程周期：2025年12月20日—2026年2月，每周六 19:30–21:30，加餐時(shí)間1月20日、1月27日19：30-21：30

• 課程定價(jià)：

• • 系列課程前兩節(jié)課程免費(fèi)

  • 全部課程599 元

可開發(fā)票

https://campus.swarma.org/course/5657

付費(fèi)流程

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)，還是物理與工程，幾乎所有復(fù)雜系統(tǒng)的建模與推理，最終都會(huì)指向同一種底層語言——線性代數(shù)。

它不僅是一組計(jì)算公式，更是一名科研人理解“結(jié)構(gòu)”、刻畫“變換”、判斷“穩(wěn)定性”、提取“有效信息”的基本思維框架。本課程以系統(tǒng)科學(xué)的視角重新解構(gòu)線性代數(shù)，帶你越過技巧，直達(dá)本質(zhì)，在跨學(xué)科的真實(shí)問題中建立起堅(jiān)實(shí)而可遷移的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

詳情請(qǐng)見：