美的幾何學(xué)：從簡單元素開始

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

幾何學(xué)的固有規(guī)則及其描述的形式一直激勵著藝術(shù)創(chuàng)作，并為許多藝術(shù)作品的完美創(chuàng)作提供了準(zhǔn)則。讓我們思考一下繪畫、建筑和雕塑中使用的一些幾何圖形的美感。自然形態(tài)幾乎總是給建筑帶來靈感，通過形狀、功能、材料和技術(shù)之間的深入對話來獲得美感。一切都趨向于實現(xiàn)一個共同的目標(biāo)；由于這種知識的共通性，在不同的設(shè)計選擇中，形狀會隨著所處的歷史時期而有不同的發(fā)展。不同領(lǐng)域之間的對話是找到最佳選擇的基礎(chǔ)，以實現(xiàn)在建工程的各種美感。這項工作的目的是了解如何從一個簡單的幾何圖形（如平面多邊形）出發(fā)，通過合成過程和簡單的變換，獲得非常復(fù)雜的三維表面。這些表面通常被描述為具有非凡美感的結(jié)構(gòu)，在許多自然生長形態(tài)的配置中、在一些以完美和未來主義形狀為特征的令人贊嘆的建筑結(jié)構(gòu)中，以及最后在一些當(dāng)代精致美感雕塑的描述中都可以辨認出來，在這些雕塑中，光線被添加到形狀中，以標(biāo)示其美感。

1 三角形

非常簡單的幾何圖形也能創(chuàng)造出具有相當(dāng)美學(xué)價值的作品，這種意識令人難以置信，同時也非常奇妙。這就是我們講故事的目的。我們將始終從一個簡單的圖形——多邊形——出發(fā)，展示如何通過幾何變換獲得更復(fù)雜的圖形，并通過合成過程描述自然和人工生長之美：這些現(xiàn)象在藝術(shù)和建筑的表現(xiàn)形式中都是值得欣賞的。我們可以說，我們反復(fù)出現(xiàn)的主題如下：一開始總是一個多邊形！

讓我們從邊數(shù)最少的多邊形開始：三角形。

這種幾何圖形在我們的日常生活中隨處可見；想想路標(biāo)，三角形在這種情況下表示危險，必須注意。在這種情況下，我們不想討論象征或宗教方面的問題，也不想討論各種哲學(xué)和心理含義；我們將只討論幾何圖形，它是屬性和原理的來源，也是高度穩(wěn)定構(gòu)型的代表。在三維空間中，由三角形組成、面數(shù)最少的實體是四面體；通過這些形式構(gòu)建的三維表面是四螺旋體，它是一種自支撐結(jié)構(gòu)，理論上可以無限延伸。

二十世紀五十年代，美國二十世紀最偉大的文化倡導(dǎo)者之一巴克明斯特·富勒（R. Buckminster Fuller，1895-1983 年，洛杉磯）首次對四螺旋進行了研究。他是一位建筑師、工程師、哲學(xué)家和大自然學(xué)者，他的項目靈感都來自大自然，其主要目標(biāo)是造福人類，改善人類的生存環(huán)境。讓我們回到三角形，記住它雖然是最簡單的形狀，卻有著非常重要的結(jié)構(gòu)，在自然界中，三角形是最穩(wěn)定的形狀。還要記住，通過三角形，我們還可以在平面和空間上描述許多其他形狀。柏拉圖在《蒂邁歐篇》中以三角形為起點解釋了自然元素，為上述觀點提供了佐證： “......平直的表面是由三角形構(gòu)成的。所有三角形都來自兩個三角形，每個三角形都有一個直角和兩個銳角。那么，在這些三角形的每一邊中，有些三角形的直角部分相等，由相等的邊分隔；而有些三角形的直角部分不相等，由不相等的邊分隔"。

我們知道，任何三角形都可以從它的一條高分解成兩個直角三角形，而這兩個直角三角形又可以用同樣的方法分解成其他三角形。

根據(jù)柏拉圖的觀點，這些形體自行組合，在空間中形成曲面，這些曲面隨后被命名為柏拉圖實體（圖 1）。

圖1： “De quinque corporibus regolaribus ”柏拉圖實體復(fù)原圖，皮埃爾路易吉·基安達（Pierluigi Ghianda），1994 年。吉安達家族檔案

柏拉圖將這些多面體與自然元素聯(lián)系在一起：土、空氣、水、火，此外，哲學(xué)家還通過這些實體描述了宇宙的結(jié)構(gòu)。多面體在藝術(shù)作品中占據(jù)了壓倒性的地位；除了達芬奇的著名柏拉圖實體作品、雅各布·德·巴爾巴里的盧卡·帕喬利肖像之外，我們還可以考慮阿爾伯特-丟勒的Melancolie、薩爾瓦多-達利的作品以及阿爾貝托-賈科梅蒂的立方體。

三角形是各種藝術(shù)表現(xiàn)形式中最廣泛的形式之一。

有一些作品，甚至是近期的作品，都是以三角形的構(gòu)成和變換為結(jié)構(gòu)的；一個值得記住的歷史性例子是我們剛剛提到的學(xué)者巴克明斯特·富勒（R. Buckminster Fuller）的多面穹頂。富勒獲得了美國的穹頂專利，盡管第一個大地穹頂是在第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束后由卡爾·蔡司光學(xué)工業(yè)公司的總工程師沃爾特·鮑爾斯費爾德設(shè)計的，并于1922 年建成，用于容納一個天文館。1967年，富勒在加拿大蒙特利爾世博會上展示了他的多面穹頂；這是一種堅固、輕便、易于組裝和拆卸的結(jié)構(gòu)（圖 2）。

圖2：蒙特利爾的生物圈(加拿大)，1967年

其構(gòu)造原理是將正二十面體（有二十個三角形面的多面體，在柏拉圖實體中為等邊三角形）投影到球面上。多面體的每個面（即三角形）都被分割成更小的三角形面，例如分割成四個或九個面等，然后投影到球面上。面被分割的次數(shù)稱為大地圓頂?shù)摹盎∠禂?shù)”或“頻率”。蒙特利爾穹頂?shù)念l率為16！二十面體被分割成的所有三角形都接近球面。顯然，頻率越高，與球面的近似程度就越高。此外，三角形的內(nèi)在剛度也保證了結(jié)構(gòu)的超強穩(wěn)定性。大地圓頂是上世紀中葉提出的最重要的建筑解決方案之一；它以最小的表面容納最大的體積。

應(yīng)該記得，1967 年，富勒為斯波萊托市建造了一個大地圓頂，他稱之為 Spoletosfera（如圖）（圖 3）。

圖3：意大利斯波萊托的大地圓頂，1967 年

受富勒建筑原則的啟發(fā)，近代以來，許多建筑都應(yīng)用了同樣的原則，特別是在屋頂方面；其中兩個例子是Fuksas在米蘭博覽會上設(shè)計的“帆船”和諾曼·福斯特在倫敦大英博物館和圖書館設(shè)計的“大法院”（圖 4）。

圖4：馬西米利亞諾·福克薩斯（Massimiliano Fuksas）在米蘭博覽會上的作品“航行”和諾曼-福斯特（Norman Foster）在倫敦大英博物館和圖書館的作品“大宮廷”。L. Caruzzo 檔案館

2 一個特殊的多邊形：黃金矩形

兩個全等的直角三角形有一個公共斜邊，可以在平面上描述一個矩形。我們將討論黃金矩形。

高為底的黃金分割的矩形稱為黃金矩形。或者，如果我們愿意，大底和小底之間的比值就是黃金數(shù)，它用希臘字母 ? 表示，其值約為 1.618......，具有無限而非周期性的數(shù)位。

黃金分割是黃金數(shù)的倒數(shù)（黃金數(shù)與黃金分割的比值等于 1）；其值約為0.618......但是，眾所周知，黃金分割和黃金數(shù)都只能通過無理數(shù)以完美形式表示。

我們需要記住，我們也發(fā)現(xiàn)這個概念在歐幾里得的《幾何原本》(XI命題，第二冊)中以如下形式描述:“根據(jù)極端和中間比例劃分給定的直線末端”。

我們在第六冊問題X命題XXX中也以另一種形式認識到:“……矩形面積等于建立在最大部分上的正方形的面積”。

黃金矩形之所以重要，是因為除其他無限元素外，它始終是描述美的元素。事實上，許多藝術(shù)家過去相信，現(xiàn)在仍然相信，在所有矩形中，最“賞心悅目”的是底和高都符合黃金比例的矩形。我們不再贅述黃金分割和斐波那契數(shù)字之間的已知聯(lián)系。但是，在繼續(xù)我們的故事之前，我們應(yīng)該記住，許多藝術(shù)作品（建筑、繪畫和雕塑）都是在尊重黃金分割法則的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出來的，這是真正的美的典范[3]。

在眾多例子中，讓我們考慮一下雅典帕臺農(nóng)神廟的研究、皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡對《鞭打基督》的研究，以及蒙特城堡的建筑研究等（圖 5）。

圖5：蒙特堡(安德里亞)的門戶。

不要忘記，勒·柯布西耶本人（本名查爾斯·愛德華·讓納雷特·格里斯，1887-1965年）就是受黃金分割和斐波那契數(shù)字的啟發(fā)，設(shè)計了他的Modulor，目的是提供“一系列和諧的尺寸，以滿足人的維度，普遍適用于建筑和機械事物”。勒·柯布西耶在他的作品《Le Modulor》中寫道“數(shù)學(xué)是人類為了解宇宙而想象的高超建筑。絕對與無限、可把握與不可捉摸在這里交匯。在它們面前聳立著高高的圍墻，在圍墻前，你可以毫無結(jié)果地走過又走過；有時會遇到一扇門；你打開它，進入它，你就來到了另一個地方，神靈所在的地方，偉大系統(tǒng)的鑰匙所在的地方。這些門就是奇跡之門。穿過其中一扇門，工作的不再是人：而是同一個人在任何地方接觸到的宇宙。在他面前，無限組合的巨大地毯被展開并照亮"。黃金矩形是可以迭代的，也就是說，你可以從第一個矩形開始，構(gòu)建出無數(shù)個永遠是黃金色的矩形。要迭代黃金矩形，只需將較小的邊投影到較大的邊上，從而將矩形分成兩部分：一個正方形和一個矩形，而后者仍然是黃金矩形。通過多次重復(fù)構(gòu)建，然后進行迭代，就可以得到“無限”的黃金矩形。(圖6)

圖6：黃金矩形的迭代

3從黃金螺旋到螺旋面

讓我們參考一個黃金矩形和它的迭代當(dāng)我們考慮正方形和新的黃金矩形分離和連接它們的點時，我們可以描述一條曲線，稱為黃金螺線，它是一種特殊的對數(shù)螺線。這種螺旋是許多生物形態(tài)生長的基礎(chǔ)，包括動物(例如鸚鵡螺)和植物(如向日葵)(圖7) [2]。

圖7：黃金矩形中的黃金螺旋

如果我們現(xiàn)在想象將螺旋繞軸旋轉(zhuǎn)和平移，就會得到一個錐形螺旋體（這是 Turritella 和許多其他貝殼的形狀）（圖 8）[6]。

圖8：錐形螺旋體是 Turritella 和許多其他貝殼的形狀

螺旋形是建筑結(jié)構(gòu)中最古老、最迷人的形式之一，尤其是在樓梯、塔樓以及用作裝飾和點綴的扭曲柱子中。一些被稱為“螺旋”樓梯的例子可見于巴塞羅那圣家堂的塔樓，以及羅馬巴貝里尼宮內(nèi)貝爾尼尼和博羅米尼的兩座樓梯。在烏爾比諾，連接 Mercatale 廣場和 Sanzio 劇院的螺旋樓梯；錫耶納建筑師弗朗切斯科-迪喬治-馬爾蒂尼的作品，以及最后在 Certosa di Padula（南澳大利亞）的螺旋樓梯，該樓梯采用自支撐白色大理石，可通往圖書館（圖 9）。

圖9：Certosa di Padula(SA)中的自立式白色大理石螺旋樓梯。l .庫爾希奧檔案

關(guān)于塔，伊拉克的薩馬拉尖塔（公元 851 年）、哈里發(fā)穆塔瓦基爾大清真寺的螺旋尖塔馬爾維亞（Malwiyya）等都是例子，經(jīng)常被誤認為是傳說中的巴別塔。事實上，許多關(guān)于巴別塔的藝術(shù)表現(xiàn)形式都受到了這種形式的啟發(fā)。我們要討論的最后一個例子是弗朗切斯科-博羅米尼（Francesco Borromini）設(shè)計的羅馬圣伊沃-阿拉-薩皮恩扎（Sant'Ivo alla Sapienza）教堂的燈籠。博羅米尼對自己的作品充滿信心，他回答校長說，他無意逃避這一義務(wù)，而是想增加這一義務(wù)，只要按照他的要求完成委托工程，他的繼承人也將承擔(dān)這一義務(wù)。今天，我們?nèi)匀豢梢孕蕾p到輝煌的 Lanternino。

如今，塔樓的演變已經(jīng)變成了螺旋形狀的摩天大樓；扎哈·哈迪德（Zaha Hadid）在米蘭設(shè)計的斯托爾托（Storto）實際上就是一個螺旋體，但其他建筑，如多倫多的瑪麗蓮-夢露塔和阿布扎比的 DNA 塔也是螺旋體，后者的靈感來自 DNA 的螺旋形狀（圖 10）[1]。

圖10：弗朗切斯科·博羅米尼(1599–1667)圣伊沃阿拉薩皮恩扎(Lanternino)——羅馬。扎哈·哈迪德“Lo Storto”，米蘭。瑪麗蓮·夢露大廈，密西沙加—多倫多—2012—MAD有限公司和Burka建筑師事務(wù)所。l .卡魯佐檔案館

說到螺旋和螺旋線，最后我想回顧一下幾年前發(fā)生的一件有趣的教學(xué)事件，當(dāng)時蒙扎 Maxi-Experimental 藝術(shù)學(xué)院（即今天的 “南尼-瓦倫蒂尼 ”藝術(shù)高中）的班級和教師參與了這一事件。

在這一交流過程中，對形狀進行了分析，通過將不同大小的四邊形組合在一起（一個疊在另一個上面）來描述螺旋形，從而通過也是一個疊在另一個上面的假金字塔形樹干來描述螺旋形。接下來是對不同類型外殼形狀的描述，最后是在實驗室中制作三維模型。這里有一些段落。這一次，我們從一個不規(guī)則的四邊形開始，在小底邊上繪制另一個以第一個四邊形的小邊為大邊的四邊形，重復(fù)操作幾次，我們注意到結(jié)構(gòu)有點彎曲(圖11)。

圖11：從四邊形開始的螺旋表示法

通過同樣的結(jié)構(gòu)和其他四邊形，我們注意到，圖形趨向于卷入自身，假定了一個真正的對數(shù)螺旋過程，即使很明顯，這個過程的離散性只允許用多邊形來近似曲線。

我們可以在三維空間中重復(fù)剛才在平面圖中看到的結(jié)構(gòu)，這次從一個假金字塔主干開始，然后在小基座上添加另一個假金字塔主干，將其作為大基座（圖 12）。

圖12：通過組裝金字塔的主干來表示外殼

通過不斷重復(fù)這個過程，可以得到一個自我滾動的三維結(jié)構(gòu)，在這個結(jié)構(gòu)中可以認識到殼體形狀的生成原理。

羅伯托·迪·馬蒂諾（Roberto Di Martino）使用 Cabri II 軟件在一個教育項目中完成了所有的構(gòu)造，該項目顯然比上述例子要廣泛得多，可以在參考文獻[5]第 5 點中的文章中閱讀到。

最后，Cinzia Tresoldi根據(jù)描述在實驗室制作了一些殼體的三維模型。

在照片中，我們提出了兩個用金屬和樹脂玻璃板建造的外殼模型(圖13)。

圖13：在車間制作的外殼模型

總是從多邊形出發(fā)，得出“美”。

在故事的最后，我們要介紹一種不同類型的藝術(shù)品：藝術(shù)家用任何多邊形創(chuàng)作的奇妙雕塑。

保羅·馬祖費里（Paolo Mazzuferi）是一位當(dāng)代藝術(shù)家，他憑借精湛的幾何知識開始創(chuàng)作；事實上，他從正多邊形開始，通過幾何變換，在正多邊形的基礎(chǔ)上建立螺旋體，螺旋體沿著整個雕塑展開，由于顯而易見的原因，雕塑結(jié)束了，但它可以繼續(xù)無限生成，同時仍然保持形狀。

我們應(yīng)該通過一些簡單的段落來理解上述內(nèi)容，例如，從一個簡單的正方形是如何生成螺旋形的[4]。

如果我們將正方形紙片堆疊起來，就會得到一個平行六面體；然后，如果我們將紙片圍繞中心軸旋轉(zhuǎn)，作為直線段的側(cè)邊就會變成環(huán)繞形狀的螺旋（圖 14）。

圖14：用方形薄片堆疊而成的平行六面體。平行六面體旋轉(zhuǎn)后得到的螺旋體。

在平行六面體和這種新形式之間，存在著許多超乎想象的相似之處。兩種形式的生成正方形保持等價和全等，但最重要的是，平行四邊形的側(cè)邊可以描述為半徑等于零的螺旋。因此，產(chǎn)生這兩個實體的運動是平移和旋轉(zhuǎn)，但如果在平行六面體中用半徑為 r 的螺旋線代替?zhèn)冗叄覀儗⒌玫铰菪€本身不再具有包圍性的形式。因此，產(chǎn)生這些實體的運動將是平移和擺動，其形式范圍非常廣泛，這也是由于它們可以擴展到所有棱柱形式；我們強調(diào)，平移和旋轉(zhuǎn)平移是作為特例配置的。藝術(shù)家將垂直于棱柱軸線的部分定義為 “prisma elicoforo”（帶來螺旋形的棱柱），這些部分被轉(zhuǎn)化為四邊形，失去了全等，但保持了等價性（圖 15）。

圖15：帶螺旋邊的棱鏡

多邊形再次發(fā)揮了核心作用，正如我們已經(jīng)說過的那樣，多邊形保留了等價性。美國數(shù)學(xué)家愛德華-卡斯納（Edward Kasner，馬丁·加德納的叔叔）在 20 世紀初首次研究了由這些操作產(chǎn)生的新多邊形，并將其稱為 “中點多邊形”（“The Group Generated by Central Symmetries, with Application to Polygons”，《美國數(shù)學(xué)月刊》，1903 年 3 月）。

我們所描述的就是我們在以下照片中展示的雕塑背后的原理。在下面的例子中，所產(chǎn)生的雕塑具有越來越復(fù)雜的纏繞，其中一個雕塑的多邊形產(chǎn)生形式非常明顯。

作者以這些形式為基礎(chǔ)，使其成為一種藝術(shù)語言的元素，抓住不斷創(chuàng)新的幾何程序所提供的機會，并將其轉(zhuǎn)化為有關(guān)自然形式起源的敘述。盡管這些作品的結(jié)構(gòu)異常復(fù)雜，但充斥在這些雕塑中的光線成為了觀賞者的絕對主角，給人一種驚人的統(tǒng)一感和簡潔感（圖 16）。

圖16：保羅·馬祖費里的雕塑。T. Pelucchi 檔案館

參考文獻

1. Alati M, Curcio L, Di Martino R, Gerosa L, Tresoldi C (2005) From natural forms to models. Nexus Netw J 7(1)

2. Cook TA (1979) The curves of life. Dover, New York

3. D’Arcy Wentworth Thompson (1992) Crescita e forma, Bollati Boringhieri

4. Gamwell L (2016) Mathematics and art. Princeton University Press, Princeton

5. Glaeser G, Polthier K (2009) Bilder Der Mathematik. Springer, Spektrum

6. Mazzuferi P (2012) Forme elicoidali, Centro Internazionale di studi Urbino e la prospettiva

7 Liliana Curcio, The Geometry of Beauty

青山不改，綠水長流，在下告退。

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