運用初等方法研究數(shù)論的新理論體系

運用初等方法研究數(shù)論的新理論體系

摘要：本文采用基礎(chǔ)的方法，避免復(fù)雜的解析技術(shù)，對正整數(shù)固有的規(guī)律進行了系統(tǒng)性研究，進而構(gòu)建了一套新的數(shù)論理論框架。

數(shù)論的新理論體系通過構(gòu)建多個等差數(shù)列的組合，形成一個正整數(shù)空間。在這個空間內(nèi)，素數(shù)和合數(shù)都可以用一個固定的項數(shù)N來表示，同時確保這個選定的正整數(shù)空間與其他空間相互獨立。由此，可以導(dǎo)出“合數(shù)項公式”和相對應(yīng)的“素數(shù)項公式”，進而利用這些公式探究素數(shù)與合數(shù)在正整數(shù)中的固有規(guī)律。

借助這一理論體系，我們能夠?qū)χT如a^2+1猜想、孿生素數(shù)猜想、哥德巴赫猜想等古典數(shù)論難題進行證明。本文的核心基礎(chǔ)理論即是“正整數(shù)空間”，也就是（Ltg-空間理論）的概念。

關(guān)鍵詞：L-tg空間理論、素數(shù)分布規(guī)律、素數(shù)項公式、哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)猜想。

說明：“新正整數(shù)空間”這一概念容易與數(shù)學(xué)史上已有的正整數(shù)空間概念相混淆，因此我們將其重新命名為“L-tg空間理論”。這一理論體系的本質(zhì)在于使用等差數(shù)列組構(gòu)建正整數(shù)的結(jié)構(gòu)空間。在本文的論述中，正整數(shù)空間的概念將統(tǒng)一采用L-tg空間理論中的術(shù)語。

目錄：

第一章、數(shù)論基礎(chǔ)理論部分

第一節(jié)、數(shù)論里基本問題的提出

第二節(jié)、正整數(shù)空間概念的出現(xiàn)和它的意義

第三節(jié)、不同類型空間特性

第二章、Ltg-空間理論的應(yīng)用

第一節(jié)、a^2+1猜想證明

第二節(jié)、孿生素數(shù)猜想證明

第三節(jié)、哥德巴赫猜想證明

第一章 數(shù)論基礎(chǔ)理論部分

第一節(jié) 數(shù)論里面基本問題的提出

一、 數(shù)論幾個基礎(chǔ)概念

1. 正整數(shù)的分類是：

單位：1

素數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23……

合數(shù)：4、6、8、9、10、12、14、15、16……

素數(shù)的定義：一個大于1的正整數(shù)，如果它僅有的“因子”是1和它自己，這個數(shù)就是素數(shù)，反之就是合數(shù)。

2. 歐幾里得用優(yōu)美的方式證明了，在正整數(shù)里面的素數(shù)是無窮多的。

3 . 等差數(shù)列的常識

等差數(shù)列可以分成三種：

1） 奇數(shù)等差數(shù)列，比如2N+1=1、3、5、7……

2） 偶數(shù)等差數(shù)列，比如2N+2=2、4、6、8……

3） 奇偶混合等差數(shù)列，比如3N+1=1、4、7、11……

3N+2=2、5、8、13……

二、舊數(shù)論理論面臨的問題

1、 關(guān)于素數(shù)公式的探索

數(shù)論和幾何圖形自古以來便是人類文明知識體系的核心組成部分。盡管早在兩千年前，人類對幾何圖形及其計算的理解已經(jīng)相當(dāng)成熟，但在正整數(shù)領(lǐng)域內(nèi)，尤其是素數(shù)的規(guī)律，至今仍未形成一個完善的科學(xué)體系，問題的復(fù)雜性令人望而卻步。主要障礙在于，盡管人們投入巨大的努力，卻始終未能揭示素數(shù)在自然數(shù)序列中的分布規(guī)律，數(shù)學(xué)家們孜孜以求的“素數(shù)公式”似乎并不存在，例如費馬和梅森公式等嘗試均告失敗。此外，像n^2-n+41和n^2-79n+1601這樣的公式，隨著n的增加，它們產(chǎn)生的結(jié)果并非素數(shù)，因此不能被視為“通用的素數(shù)公式”。

實際上，素數(shù)公式的存在并非必然，其不存在本身就是一種客觀規(guī)律。我們無需刻意去尋找它。然而，一個普遍的誤解在于，一些人試圖通過“概率離散分布”的方法來探究素數(shù)在自然數(shù)中的規(guī)律，這實際上是一個嚴(yán)重的錯誤。素數(shù)在自然數(shù)中的分布并非無規(guī)律可循，也不是隨機的，它們遵循著自己獨特的規(guī)律。

2、 關(guān)于等差數(shù)列表示素數(shù)的問題

諸如3N+1、4N+3、5N+2、6N±1、7N+5、8N+5等眾多的等差數(shù)列，均能表示素數(shù)。自古以來，無論是專業(yè)的數(shù)學(xué)家還是業(yè)余的數(shù)學(xué)愛好者，都對這一問題抱有濃厚的興趣，并進行了無數(shù)次的研究。然而，在這些研究中，成果最為顯著的當(dāng)屬數(shù)學(xué)家狄利克雷。

如果我們把等差數(shù)列寫成kN+A的形式，那么就會有一個級數(shù)，N+A，2N+A，3N+A，4N+A，……kN+A……

如果k ｜A 互素，那么這個等差數(shù)列kN+A 里面就含有素數(shù)。

這是“狄利克雷定理”。

我們深刻體會到了這一理論的局限性及其引發(fā)的問題。以3N+1和8N+5等差數(shù)列為例，盡管我們可以利用狄利克雷定理來判斷它們是否含有素數(shù)，但該定理無法闡釋這些數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系。實際上，這個問題的重要性遠(yuǎn)超證明孿生素數(shù)猜想和哥德巴赫猜想，這一點在學(xué)術(shù)界常常被忽略，人們往往過分強調(diào)“哥德巴赫猜想”的重要性。然而，我的“Ltg-空間”理論成功攻克了這一難題，我的發(fā)現(xiàn)和理論在深度和廣度上都超越了狄利克雷定理。

以數(shù)列5N+2為例，這是一個包含素數(shù)的數(shù)列，其中可能包含的素數(shù)有2、7、12、17等。然而，我們無法確定這個數(shù)列中的素數(shù)是否無限多，也無法確定它與其他數(shù)列之間的關(guān)系。例如，數(shù)列中的7可以被表示為N+7、2N+5、3N+4等多種數(shù)列形式，這導(dǎo)致了混亂，似乎沒有實際價值。只有當(dāng)我們將5N+2數(shù)列置于“多維正整數(shù)空間”5N+A中時，它才顯得有意義。

在多維正整數(shù)空間5N+A中，可以將五個數(shù)列組合成一組，從而代表所有自然數(shù)。如下表（圖一）

從表格中我們不用證明就會看到，含素數(shù)數(shù)列5N+1、5N+2、5N+3、5N+4四個數(shù)列中的素數(shù)都是有無窮多的。

證明狄利克雷定理的過程是極其復(fù)雜的，但借助Ltg-空間理論，我們無需再對狄利克雷定理進行證明。通過查看表格，我們可以發(fā)現(xiàn)狄利克雷定理實際上已經(jīng)成為了“公理”。

第二節(jié)、正整數(shù)空間概念的出現(xiàn)和它的定義

一、正整數(shù)空間概念的出現(xiàn)過程和定義

1、正整數(shù)空間出現(xiàn)的過程

眾多科普書籍中都探討了“數(shù)論”領(lǐng)域的問題，我在2002年春天被這些問題深深吸引。當(dāng)時，我思考著無論哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)對猜想、勒讓德猜想，還是費馬大定理和狄利克雷定理等，數(shù)學(xué)家們似乎總是在“自然數(shù)的范疇內(nèi)”尋求解答。我開始思索，是否應(yīng)該從“自然數(shù)的范疇外”來審視自然數(shù)，探尋它們的規(guī)律。如果能夠發(fā)現(xiàn)這樣的“規(guī)律”，那么這些難題是否就能迎刃而解呢？

關(guān)于“自然數(shù)外部”與“自然數(shù)內(nèi)部”的概念，可能對一些人來說難以理解，因為這并非一個普遍存在的概念。數(shù)學(xué)不僅是一種思想，一種思維方式，更是一種“數(shù)學(xué)思維”的能力，它與個人的思維習(xí)慣息息相關(guān)。

當(dāng)我們采用“第三視角”來觀察問題時，我們是在事物的外部審視其全貌。數(shù)學(xué)亦是如此，數(shù)學(xué)家們通常在“數(shù)學(xué)內(nèi)部”將正整數(shù)視為一個整體，并研究其局部問題。而當(dāng)你站在“正整數(shù)的外部”，將正整數(shù)視為一個整體來尋找其整體規(guī)律時，你就是在正整數(shù)的外部進行研究。這正是正整數(shù)內(nèi)部與外部研究的區(qū)別所在。

在正整數(shù)的領(lǐng)域之外探索其規(guī)律，我?guī)缀跸萑肓巳斓纳钏际鞈]，終于在一個夜晚，凝視著墻上的瓷磚，獲得了靈感。請看圖二。

這個靈感就是：“所有的正整數(shù)都可以用1、2、3三個等差數(shù)列一組來表示”。

2、正整數(shù)空間的定義

為了研究問題的方便，我們不再使用等差數(shù)列的教科書的形式，而采用KN+A的形式表示等差數(shù)列。其中只要K與N互素，這個等差數(shù)列就是“含素數(shù)數(shù)列”，數(shù)列所含的素數(shù)都是無窮多的。如果把每一個正整數(shù)空間都像圖一那樣做一個表格，狄利克雷定理就失去了意義，在表格上這個現(xiàn)象就成了公理。

正整數(shù)空間的定義：

所有正整數(shù)1、2、3 ……均可由一組等差數(shù)列表示，這些等差數(shù)列按序1、2、3 ……構(gòu)成無限空間。選定特定等差數(shù)列空間后，這個空間自然就要與其他空間隔離，此時全部正整數(shù)（包括素數(shù)及合數(shù)）均獲得固定位置，并對應(yīng)唯一項數(shù)N。因此，素數(shù)及合數(shù)的出現(xiàn)均遵循特定規(guī)律而非隨機離散發(fā)生。

設(shè)Zk為全體正整數(shù)空間，則有公式：

Zk=kN+A （公式 1）

其中：k表示維度，k=1,2,3…

N為各正整數(shù)對應(yīng)的項數(shù)，N=0,1,2,3…

A為特定空間內(nèi)等差數(shù)列的順序號，A=1,2,3…

用代數(shù)式可以這樣表示：

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1，5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

許許多多……

kN+1，kN+2，kN+3，kN+4…… kN+k 。

上面的橫向每一組等差數(shù)列（空間）都可以代表全部整數(shù)，當(dāng)選定某空間后其它空間里面的等差數(shù)列就不會進入到這一個空間里來了，實現(xiàn)了空間隔離。

圖三表示如下，

這個表格中橫向的每一組等差數(shù)列都可以代表全部正整數(shù)，從1至無窮。當(dāng)然這些等差數(shù)列可以轉(zhuǎn)換成代數(shù)式，就是初等函數(shù)的直線方程。

二、正整數(shù)空間具有的意義

1、 正整數(shù)空間N+1 的意義

1）合數(shù)項數(shù)列與合數(shù)、素數(shù)產(chǎn)生的原因

正整數(shù)空間N+1，圖四表格如下，

有了“正整數(shù)分空間”的定義后，我們完全可以把全部正整數(shù)看成是一個空間，此時與以往數(shù)學(xué)家們研究的不同是這里增加了一個“序號”項數(shù)N，這就與過去的研究方法有了天壤之別。數(shù)列N+1就代表了全部正整數(shù)。并且每一個正整數(shù)，包括素數(shù)和合數(shù)都有一個項數(shù)N相對應(yīng)。

注意在用等差數(shù)列研究正整數(shù)的規(guī)律時，必須首先注明是在哪一個“正整數(shù)空間”里研究，只有這樣這些等差數(shù)列才具有真實的指向和現(xiàn)實的意義，否則等差數(shù)列都是混亂和無效的。

利用項數(shù)N我們可以寫出按次序無數(shù)多的合數(shù)項數(shù)列，如下

1k+0

2k+1

3k+2

5k+4

7k+6……

Sk+n……

這些合數(shù)項數(shù)列公式可以寫成，Sk+n 的形式。

S是一個素數(shù)，k是系數(shù),取值范圍0、1、2…… ，n是合數(shù)出現(xiàn)的初項位。

我們看3k+2 合數(shù)項數(shù)列。

當(dāng)k=0時，合數(shù)項數(shù)列3k+2=2.注意這個2是項數(shù),代入N+1數(shù)列，得3。后面都是以3為周期的合數(shù),6、9、12……

我們是可以把正整數(shù)1、2、3……看成是一個等差數(shù)列，為何不直接使用“合數(shù)數(shù)列”而是使用“合數(shù)項數(shù)列”？

就是增加了一個項數(shù)N就與過去的研究方法有了天壤之別，現(xiàn)在我們研究的是“正整數(shù)空間”里面的N+A(A=1)空間，這時這個空間與其他空間屏蔽，其他空間里面的等差數(shù)列，比如3N+A，4N+A等等不再進入這個空間里來。

同時我們注意關(guān)鍵的一點，一旦每一個正整數(shù)包括素數(shù)都被項數(shù)固定后，這個等差數(shù)列就可以表示成了“函數(shù)形式”。所以說：“Ltg-空間”理論是“等差數(shù)列至函數(shù)的一座橋梁”。這一點非常重要，這是Ltg-空間理論的重大價值之一。

看這些合數(shù)項公式，我們發(fā)現(xiàn)所謂的素數(shù)和合數(shù)是我們?nèi)祟愖约簠^(qū)分的。不論有沒有人類，自然數(shù)都是按次序1個1個逐漸增多的（這種增多可以在多維空間里進行），我們這里主要探討的是在一維的數(shù)軸空間上的情況，我們?nèi)祟惏涯切┎缓渌蜃拥臄?shù)（1除外）稱作“素數(shù)”。

通過上面的表格和合數(shù)項數(shù)列，我們可以看到素數(shù)與合數(shù)產(chǎn)生的原因。

我們的數(shù)字有兩個屬性，一個“數(shù)量”，代表了大小和多少。另一個就是標(biāo)識了“順序”。

0是無，1是有。出現(xiàn)了1就像在數(shù)軸上形成了一個“空間”，是在桌面上鋪上了一張無邊的以1為單位，帶格子的宣紙通向無窮的遠(yuǎn)方，然后在紙上寫字。

2就是素數(shù)，就是第一個字，它有規(guī)律滿足公式2K+1而寫下去。而第三格，不滿足公式K+0和2K+1必須就要寫第三個字，也就是素數(shù)3……，依次下推至無窮。而這些數(shù)量都有一個標(biāo)識項數(shù)N。數(shù)2、3、5……素數(shù)就是開始寫字的第一筆，而這個第一筆都是出現(xiàn)在沒寫過字的空白里。字可以有連續(xù)的規(guī)律，而出現(xiàn)字的空白處也有規(guī)律，但是這個規(guī)律不是連續(xù)的，不能用我們常規(guī)的函數(shù)公式來表示。這就是素數(shù)與合數(shù)產(chǎn)生的原因，所以數(shù)學(xué)中沒有直接的素數(shù)公式。

這個結(jié)論非常重要，宣布了正好整數(shù)中不存在一般的“素數(shù)公式”。

2）合數(shù)項公式與素數(shù)項公式

這兩個詞語中都包含了一個“項”字，這一點要注意。

我們可以在數(shù)列N+1中建立一個“合數(shù)項”公式，就是

Nh=a(b+1)+b （公式2）

這個公式必須配合數(shù)列N+1的表格使用，否則是無效的和無意義的。

其中，Nh是合數(shù)項，a、b都是項數(shù)，取值范圍是0、1、2、3……

a、b使用時要大于等于1。

比如，我們?nèi)=1 b=5 Nh= 11 代入N+1這個合數(shù)就是 11+1=12 。

我們?nèi)=3b=4 Nh= 19 N+1=20

我們有一個相對的素數(shù)項公式，

Hs=N-Nh （公式3）

這是素數(shù)與合數(shù)的數(shù)量關(guān)系式。

P= Hs/ N（公式4）

這是某一區(qū)間內(nèi)，素數(shù)密度公式。

如果我們遇到一個很大的數(shù)字，如何判定是合數(shù)還是素數(shù)？

K=(N-b)/b+1 （公式5）

把項數(shù)N代入判定式后，方程如果有整數(shù)解就是合數(shù)，無解就是素數(shù)。當(dāng)然數(shù)字很大時人工計算幾乎是不可能的，可以寫程序用計算機進行。

以上就形成了一個“新數(shù)論理論體系”，就有了“素數(shù)在正整數(shù)中分布的規(guī)律，也使數(shù)論具有了自己的靈魂。

第三節(jié)、不同類型空間特性

1、 L(1)空間，公式：Z(1)=N+1

表格見圖四。

它的坐標(biāo)表示法就是數(shù)軸。

它的意義在于是數(shù)量和順序的最原始概念，是素數(shù)與合數(shù)產(chǎn)生的原因，也就是說它就是研究0、1、2、3……的。

這個空間我們叫它：初始空間。

空間代數(shù)公式 Z(1)=N+1

合數(shù)項公式， Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1，b≥1 。

素數(shù)項公式， Ns = N-Nh

合數(shù)素數(shù)判定式， C = ( N-b)/(b+1)

其中，C必須是整數(shù)，所對應(yīng)的項數(shù)N就是一個合數(shù)，否則就是一個素數(shù)。

2） L(O)空間，即偶數(shù)空間，公式 Z(O)=ON+A 。

比如，2N+A(A=1、2)，4N+A( A=1、2、3、4)，6N+A(A=1,2,3…6) 等等，就是那些空間維數(shù)k是偶數(shù)的空間。

它的表格表示法，

比如 2N+A (A=1,2)空間，如圖五。

還有8N+A、10N+A空間等等無窮多的偶數(shù)空間。

在偶數(shù)空間里面有兩類等差數(shù)列，奇數(shù)等差數(shù)列和偶數(shù)等差數(shù)列。

比如，奇數(shù)等差數(shù)列 4N+3=3、7、13、17…… 是可以表示素數(shù)的。

偶數(shù)等差數(shù)列 4N+2=2、6、10、14……

今后我們不要講“等差數(shù)列含有素數(shù)”這個說法是錯誤的，應(yīng)該是可以表示素數(shù)。這類空間的坐標(biāo)表示法很有意義，因為素數(shù)可以出現(xiàn)在某些對稱軸上。

用極坐標(biāo)表示偶數(shù)空間很有意義，比如8N+A空間用極坐標(biāo)表示，素數(shù)就會集中在四個坐標(biāo)軸上。原子物理學(xué)和化學(xué)研究上就很有價值。

3）素數(shù)空間，公式Z(S)=SN+A，

3N+1來表示，3N+1=1、4、7、11…… ，

這些都是素數(shù)3形成合數(shù)的項數(shù)。

這種表示不是很直觀，還容易被誤解。

我們可以用數(shù)列3k+3 k=0、1、2、3…… 來表示素數(shù)3和由它形成的合數(shù)。

3k+3= 3、6、9、12、15……

注意這是一個“奇偶數(shù)列”。

N與k的關(guān)系是 k=N-（2/3），這點必須注意。

其它素數(shù)和素數(shù)形成的合數(shù)是，

5k+5=5、10、15、20、25……

7k+7=7、14、21、28……

11k+11=11、22、33、44……

可以總結(jié)為：Sk+S=S(k+1)

其中，S是正整數(shù)中的全部素數(shù)，k+1是全部正整數(shù)1、2、3、4……

我們給它起個名稱叫：素數(shù)合數(shù)公式，用 R(s)表示，

即 R(s)=S（k+1） （公式 6）

比如，S=7時，有 R(7)=7(1、2、3、4……)=7、14、21、28……

研究素數(shù)合數(shù)公式R(s)的性質(zhì)

用公式R(s)=S（k+1）寫出以下素數(shù)的合數(shù)數(shù)列

R(3)=3(1、2、3、4……)=3、6、9、12……

R(5)=5(1、2、3、4……)=5、10、15、20……

R(7)=7(1、2、3、4……)=7、14、21、28……

R(11)=11(1、2、3、4……)=11、22、33、44……

R(13)=13(1、2、3、4……)=13、26、39、42……

至無窮的素數(shù)……

結(jié)論：所有由素數(shù)合數(shù)形成的數(shù)列都是奇偶數(shù)列。

這列數(shù)列對于研究孿生素數(shù)猜想很有價值。

4） L(J)空間，即奇數(shù)空間

這類空間包含了合數(shù)空間，去掉合數(shù)空間可以留下全部含素數(shù)數(shù)列。

比如 9N+A、15N+A、21N+A空間等等。

只有確定了“空間后”數(shù)列才能稱為“含素數(shù)數(shù)列”，否則只能叫作“可以表示素數(shù)數(shù)列”。確定空間后全部正整數(shù)的位置才會被固定下來，等差數(shù)列才能轉(zhuǎn)換成函數(shù)的形式。

2、典型空間的簡單介紹

1）正整數(shù)空間N+A （A=1）

此空間就是全部正整數(shù)。

2）正整數(shù)空間2N+A

用“2N+A”空間代表全部正整數(shù)。如果沒有這一條，這一組兩個等差數(shù)列都是無效的，毫無意義的。

分析這個表格的性質(zhì)。

1） 用等差數(shù)列2n+1和2n+2表示全部正整數(shù)。

2） 數(shù)列2n+1是奇數(shù)列，但是它包含了除2以外正整數(shù)里面的全部素數(shù)。

3） 數(shù)列2n+2是偶數(shù)列，它包含了正整數(shù)里面的全部偶數(shù)。

4） 我們看到任何一個偶數(shù)，都是奇數(shù)列兩個數(shù)的首尾相加。

比如 12=1+11=3+9=5+7 。

網(wǎng)絡(luò)上流傳著一種誤解，即所有奇數(shù)都可以用代數(shù)式2k+1來表示，其中k是正整數(shù)。實際上，每個奇數(shù)可以由無數(shù)個，甚至無限多個等差數(shù)列（代數(shù)式）來表示，這表明了表示方法的不確定性。只有當(dāng)我們將奇數(shù)限定在Ltg-空間理論中的2N+A（A=1,2）空間內(nèi)時，奇數(shù)才能準(zhǔn)確地用2k+1來表示。因此，必須強調(diào)“正整數(shù)分空間”的概念，并確保這些空間相互獨立。

2、正整數(shù) 4N+A 空間

4N+A數(shù)列組空間，素數(shù)在4N+1、4N+2和4N+3里分布著。這個空間由三個合數(shù)項公式組成一組的方程，這里不再講述。

3、正整數(shù)6N+A空間

可以變形為（圖六）

這個特定的數(shù)列空間具有獨特性質(zhì)：除了2和3之外，所有正整數(shù)中的素數(shù)都可表示為6N±1的形式。利用這一數(shù)列空間，我們能夠解決數(shù)論中一些歷史悠久的問題。例如，孿生素數(shù)猜想的證明過程相對簡潔，而勒讓德猜想的證明也得以實現(xiàn)。相比之下，哥德巴赫猜想的證明則更為復(fù)雜。

此外，該數(shù)列空間的應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，相關(guān)研究論文數(shù)量已超過萬篇。

5、正整數(shù)10N+A空間

看圖七。

這個空間的價值在于，通過這十個數(shù)列的組合，可以表示所有的正整數(shù)。而這些數(shù)列的平方數(shù)列則代表了所有正整數(shù)的平方。其獨特之處在于，同一數(shù)列中的數(shù)字尾數(shù)相同，這使得表格在解決費馬公式問題時顯得尤為有用。

第二章、Ltg-空間理論的應(yīng)用

借助Ltg-空間理論選擇不同空間，可解決數(shù)論中諸多古老猜想。在此僅選取三個猜想的證明進行展示。鑒于此事關(guān)重大，難免遭遇吹毛求疵與別有用心之人，我不得不對各猜想證明的前提條件加以詳述，這可能導(dǎo)致與前文內(nèi)容有所重復(fù)，實屬客觀環(huán)境所迫，不得不如此。

第一節(jié)、a^2+1猜想證明

用Ltg-空間理論證明這個問題已經(jīng)是多次了，這個猜想就是：在級數(shù)a^2+1中素數(shù)是不是有無窮多的？這也是一個古老的著名數(shù)論猜想。哈代和李特爾伍德都有過證明，他們還提出了一個猜想，但是卻沒有人能夠證明它。

這也說明我的“Ktg-空間理論”是我首次發(fā)現(xiàn)，屬于世界領(lǐng)先水平，否則這些大數(shù)學(xué)家們就能用這個“由等差數(shù)列組構(gòu)成正整數(shù)的結(jié)構(gòu)空間”簡單的證明這個問題了。

使用我的這個理論解決一些數(shù)論里面的古老猜想簡單到了令人難以理解的地步，所以必然會引起一些人的嫉妒和恐懼，這也可以理解，因為一些人一生的努力在這個理論的沖擊下將化作烏有。

今天我用Ltg-空間理論中的2N+A(A=1、2)再次證明一遍這個猜想。

使用2N+A表格，表格如下（圖五）：

這個空間由兩個數(shù)列奇數(shù)數(shù)列2N+1和偶數(shù)數(shù)列2N+2構(gòu)成，它們可以表示全部正整數(shù)。

我們可以把奇數(shù)數(shù)列2N+1看成是一個封閉的空間，不受其他因素影響，尤其不要受到“解析數(shù)論”的影響，我們就使用初等的方法解決這個問題，避免“簡單問題復(fù)雜化”。

1、奇數(shù)數(shù)列包含著除2以外的全部素數(shù)，1我們可以認(rèn)為不是素數(shù)。

2、這個空間里面的合數(shù)和素數(shù)都有自己的固定位置，素數(shù)不是隨機出現(xiàn)的。

3、奇數(shù)數(shù)列有一個確定合適位置的“合數(shù)項公式”，

Nh=a（2b+1）+b

其中，a和b都是都是項數(shù)，a、b≥1。

注意：合數(shù)項Nh是項數(shù)，代入 2N+1才是實際的數(shù)值。

4、相對而言有一個素數(shù)項公式：

Ns=N-Nh

5、這兩個公式覆蓋了全部2N+1上的位置，直到無窮大。

6、合數(shù)項公式滿足區(qū)間（0，∞）而性質(zhì)不會改變。

有了上面的條件我們證明級數(shù)a^2+1 中還有無窮多的素數(shù)就及其簡單了。

證明：

a^2+1 中只有a^2 是偶數(shù)時，a^2+1才是奇數(shù)數(shù)列，所以有，

設(shè)a=2k a^2=4k^2 就有，4k^2+1

我們知道2N+1數(shù)列中的合數(shù)被合數(shù)項公式Nh=a（2b+1）+b 全面覆蓋，

只有4k^2+1 與Nh=a（2b+1）+b完全重合它才不會含有素數(shù)。

Nh=a（2b+1）+b 的圖像是一組直線族；

4k^2+1的圖形是栓曲線。

這些不需要證明都可以斷定這兩個公式永遠(yuǎn)不會重合。

所以級數(shù)a^2+1 中含有無窮多的素數(shù)。

證畢！

這個方法適用于一系列數(shù)論中古老猜想問題的解決。

第二節(jié)、孿生素數(shù)猜想證明

Ltg-空間理論，即由等差數(shù)列組構(gòu)成正整數(shù)的結(jié)構(gòu)空間的理論體系。該理論的核心在于利用等差數(shù)列組將正整數(shù)劃分為不同的空間。一旦確定了特定的空間，它就會與其他空間隔離開來，此時該空間內(nèi)的所有正整數(shù)，包括素數(shù)，都將擁有固定的位置，并對應(yīng)一個唯一的項數(shù)N。因此，這些等差數(shù)列公式由于實現(xiàn)了表示的唯一性，便可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，進而研究其變化規(guī)律。

Ltg-空間理論構(gòu)成了從等差數(shù)列到函數(shù)關(guān)系的一座橋梁。

現(xiàn)在，我們利用Ltg-空間理論中的N+A(A=1)空間來證明孿生素數(shù)猜想。眾所周知，正整數(shù)序列1、2、3……實際上可以視作一個空間。

這種方法與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家研究正整數(shù)的方式截然不同。我將其視為一個封閉系統(tǒng)，在這個系統(tǒng)中，每個正整數(shù)（包括素數(shù)）都對應(yīng)一個獨特的項數(shù)N。系統(tǒng)內(nèi)的等差數(shù)列不會受到外部干擾，每個正整數(shù)（包括素數(shù)）僅能由一個特定的函數(shù)公式表示，即將等差數(shù)列轉(zhuǎn)換為函數(shù)表達(dá)式。我們將這個系統(tǒng)稱為：初始空間。

一、N+A(A=1)空間具有下下性質(zhì)：

1、初始空間里的合數(shù)項數(shù)列

通過項數(shù)N，我們可以構(gòu)建出一個按順序排列的、數(shù)量無限的合數(shù)項數(shù)列，如下所示：

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

這些合數(shù)項數(shù)列公式可以寫成，N(S) =Sn+K 的形式。

注意：這個數(shù)列得到的都是合數(shù)項，代入公式Z(1)=N+1 后才會形成“合數(shù)數(shù)列”。我們可以把它看成是直線方程。

2、合數(shù)項公式， Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1，b≥1 他們都是項數(shù)。

素數(shù)項公式， Ns = N-Nh 這個公式表示素數(shù)項與合數(shù)項的數(shù)量關(guān)系。

素數(shù)的生成公式， S =N+1 且 N ∈ Ns

合數(shù)素數(shù)判定式， C = ( N-b)/(b+1)

其中，C必須是整數(shù)，所對應(yīng)的項數(shù)N就是一個合數(shù)，否則就是一個素數(shù)。

二、?在N+1空間證明孿生素數(shù)對猜想

1、猜想：在正整數(shù)Z(N)=N+1中存在無窮多對素數(shù)（P,P+2）。

2、素數(shù)空穴函數(shù)

引入一個新穎的數(shù)學(xué)概念——“素數(shù)空穴函數(shù)”，表示為S(k)=2k+2，它揭示了表格中能夠產(chǎn)生新素數(shù)的特定位置，即排除了偶數(shù)的位置。S(k)=2k+2的項位N=2、4、6……是一個偶數(shù)數(shù)列，而k的取值范圍是1、2、3……。該函數(shù)的周期為偶數(shù)2，意味著只有在這些特定的項數(shù)上才會出現(xiàn)新的素數(shù)。

同樣地，S(k)+2=2k+4可以視為另一個獨立的直線方程。實際上，它與2k+2是相同的方程，只是初始相位有所差異，它們所具有的性質(zhì)是完全一致的。

我們需要證明在相同的項數(shù)N時，2N+2和2N+4都是素數(shù)。

注意：這里的素數(shù)空穴與其它的“素數(shù)空穴”概念不同，這里不是純粹的素數(shù)位置，而是新素數(shù)必須能出現(xiàn)的位置，這個位置上也有素數(shù)產(chǎn)生的合數(shù)。

3、素數(shù)項數(shù)列（函數(shù)）

使用“素數(shù)項數(shù)列”，Sk+n 就是這些數(shù)列 3k+2、5k+4 、7k+6 ……，他們都是奇偶混合數(shù)列。

比如，3k+2= 5、8、11…… 這些都是項數(shù)，而對應(yīng)的正整數(shù)是

6、9、12……都是由素數(shù)3產(chǎn)生的合數(shù)。

注意，這些數(shù)列都是“素數(shù)數(shù)列”，這些數(shù)列的周期都是素數(shù)（奇數(shù)）的周期，與素數(shù)空穴數(shù)列的偶數(shù)周期不同。因為數(shù)列的周期不同，就是孿生素數(shù)對產(chǎn)生的原因。

所以不論素數(shù)多大，有多少，乃至無窮多無窮大，他們都不能徹底的覆蓋2N+2和2N+4上的位置，這些直線方程上總會有新的素數(shù)產(chǎn)生。

4、?證明

在函數(shù)S(k)=2k+2上任取一個素數(shù)S，這是我們可以做到的。

那么在相同的項數(shù)k下，S(k)=2k+4 可能是不是素數(shù)？

我們知道數(shù)對（2k+2，2k+4）是兩個獨立的函數(shù)直線方程，他們之間沒有互相制約的強制關(guān)系，當(dāng)2k+2取定一個素數(shù)后，他并不影響直線方程2k+4的性質(zhì)，這個k的項數(shù)上完全可以是一個素數(shù)。

證畢！

第三節(jié)、哥德巴赫猜想證明

我在多篇文章中提到，每位接受過高等教育的人都應(yīng)具備一個基本認(rèn)識：當(dāng)你踏入某個領(lǐng)域或?qū)I(yè)領(lǐng)域時，你必須對該領(lǐng)域的歷史、現(xiàn)狀以及發(fā)展前景有所了解。這些領(lǐng)域或?qū)I(yè)通常都有一本名為“概論”的基礎(chǔ)書籍，它要求你至少閱讀過。

即便是業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，當(dāng)你致力于研究素數(shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律，或試圖證明哥德巴赫猜想時，你也應(yīng)當(dāng)對數(shù)論的全貌有一個基本的了解，不是嗎？遺憾的是，一些“民科”的數(shù)論愛好者往往缺乏這樣的水平和能力，這導(dǎo)致他們的思路受限，觀點偏頗。

在近千百年的時間里，數(shù)學(xué)家們一直試圖發(fā)現(xiàn)一個素數(shù)公式，但都以失敗告終。梅森數(shù)、費馬數(shù)等都是數(shù)學(xué)中的級數(shù)，而等差數(shù)列是級數(shù)的一種特殊類型。因此，自古以來，數(shù)學(xué)家們對等差數(shù)列中包含素數(shù)的研究從未停止。

例如，3N+1、4N+3、6N+1、8N+5等這樣的等差數(shù)列中包含素數(shù)的情況，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)進行了深入研究。然而，這些方法極為復(fù)雜，理解起來非常困難。實際上，我們無需深入理解，重要的是要認(rèn)識到數(shù)學(xué)家們在這個領(lǐng)域也付出了不懈的努力，盡管這是一項極具挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，狄利克雷是成就卓著的數(shù)學(xué)家，他提出了著名的“狄利克雷定理”。

將等差數(shù)列表示為kN+A的形式，便可以構(gòu)造出一個級數(shù)，即N+A，2N+A，3N+A，4N+A，……直至kN+A……

當(dāng)k與A互質(zhì)時，這個等差數(shù)列kN+A中將包含素數(shù)。

狄利克雷定理的證明過程對于非數(shù)學(xué)專業(yè)人士而言確實難以理解，即便是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家，若非專注于此研究方向，理解起來也頗具挑戰(zhàn)。然而，值得注意的是，盡管狄利克雷定理在一定程度上解答了問題，它仍存在局限性，深層次的問題并未得到解決。

這些是基本常識，然而一些“民科”卻未能理解，他們看到他人使用等差數(shù)列來研究素數(shù)分布問題時，便急切地指責(zé)：“這是剽竊！”仿佛一旦他們開始用等差數(shù)列探索素數(shù)問題，其他人就失去了使用等差數(shù)列研究素數(shù)問題的權(quán)利。這不僅引人發(fā)笑，也顯得頗為尷尬。難道他們真的打算與古代的外國數(shù)學(xué)家爭奪使用等差數(shù)列研究素數(shù)問題的優(yōu)先權(quán)嗎？

探討使用等差數(shù)列研究素數(shù)問題的難點究竟何在？早在2002年，我便注意到了這一點，同時，其他一些數(shù)論問題也存在類似的難題：“數(shù)學(xué)家們通常只在自然數(shù)的范疇內(nèi)研究自然數(shù)的規(guī)律”，他們未曾嘗試跳出自然數(shù)的界限站在自然數(shù)的外面去探索，自然數(shù)作為一個整體，又隱藏著怎樣的規(guī)律？一旦我們揭示了這一規(guī)律，許多數(shù)論中的重大問題或許就能迎刃而解。

這種觀點并非人人皆有，目前許多人仍然難以理解。那些跟在我后面抄襲的人同樣無法領(lǐng)會，直到最近兩三年我才將這一理論完整地闡述出來，然而那些抄襲者也緊隨其后，試圖模仿和剽竊。

這便是“由等差數(shù)列構(gòu)成的正整數(shù)結(jié)構(gòu)空間，即Ltg-空間”的概念。這一概念與狄利克雷定理相比，具有無可比擬的價值，它遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了狄利克雷定理。有些人故意混淆這一點，或許他們根本就沒有理解。

借助Ltg-空間理論，利用其特定的空間結(jié)構(gòu)，諸如孿生素數(shù)猜想和哥德巴赫猜想的證明過程變得異常簡潔，簡潔到足以讓一些人感到恐懼，他們甚至不愿意正視這一理論。Ltg-空間理論對“解析數(shù)論”構(gòu)成了根本性的顛覆，這使得一些人感到極度不適，甚至有人因此被懷疑有欺詐之嫌。

盡管解析數(shù)論的現(xiàn)有理論尚未能解決孿生素數(shù)猜想和哥德巴赫猜想的證明問題，但這些猜想的證明過程被一些人夸大為難以企及的高峰。現(xiàn)在，我將向你們展示一個極為簡易的方法來證明哥德巴赫猜想。

最簡單的方法證明哥德巴赫猜想

設(shè)定前提條件：

使用2N+A（A=1,2）自然數(shù)空間，即用兩個數(shù)列2N+1和2N+2表示全部正整數(shù)。

這一步至關(guān)重要，需要與其他空間進行隔離，確保合數(shù)與素數(shù)都被固定在特定的位置上，否則利用等差數(shù)列表示素數(shù)的所有嘗試都將歸于無效。

這個空間具有的一些性質(zhì)：

1、在數(shù)列2N+1中，除了素數(shù)2之外，自然數(shù)中的所有素數(shù)都得以包含，當(dāng)然，其中也包括由素數(shù)組成的合數(shù)。

2、素數(shù)并非隨機分布，在數(shù)列2N+1中占據(jù)著特定的位置，并且每個素數(shù)都與唯一的項數(shù)N一一對應(yīng)。

3、數(shù)列2N+2涵蓋了自然數(shù)中所有的偶數(shù)。

4、合數(shù)項公式， Nh = a(2b+1)+b , 其中 a≥1，b≥1 。

素數(shù)項公式，Ns = N -Nh

即項數(shù)N減去合數(shù)項的項數(shù)Nh，結(jié)果即為素數(shù)項Ns的數(shù)量。

而Ns與N的比值，即Ns/N，代表了素數(shù)在區(qū)間[0, N]內(nèi)的密度。其中P表示素數(shù)的密度，且P大于0。

證明哥德巴赫猜想設(shè)定的條件：

自然數(shù)1不是素數(shù)，偶數(shù)我們?nèi)≥6，4=2+2處理。

證明步驟：

1、項數(shù)轉(zhuǎn)換

在偶數(shù)數(shù)列2N+2上任取一個偶數(shù)O，它所對應(yīng)的項數(shù)是k。觀察這個偶數(shù)O，我們會發(fā)現(xiàn)它是奇數(shù)數(shù)列2N+1首尾兩數(shù)相加的結(jié)果。

例如，偶數(shù)12是奇數(shù)數(shù)列上1+11、3+9、5+7的和，即12。

這可以表示為：(2m+1)+(2n+1)=2(m+n)+2=2k+2

因此，m+n=k=N，即(2m+1)+(2n+1)=2N+2。

這就是項數(shù)轉(zhuǎn)換的原理。在表格中，任意項數(shù)k都可以覆蓋整個區(qū)間[0，N]。

2、兩兩素數(shù)相加

我們?nèi)我膺x取一個區(qū)間[0, N]，其中區(qū)間內(nèi)素數(shù)的數(shù)量為x。接下來，我們將數(shù)列2N+1中的素數(shù)進行兩兩配對相加：

例如，3+3、3+5、3+7、3+11……直至3+S3，其中S3代表素數(shù)3及其之后的所有素數(shù)；

再如，5+5、5+7、5+11、5+13……直至5+S5，其中S5代表素數(shù)5及其之后的所有素數(shù)；

還有，7+7、7+11、7+13、7+17……直至7+S7，其中S7代表素數(shù)7及其之后的所有素數(shù)……

實際上，這相當(dāng)于在區(qū)間[0, N]內(nèi)的所有素數(shù)x中，選取元素2進行組合，包括素數(shù)自身相加的情況。

3、素數(shù)組合數(shù)值

在區(qū)間[0,N]內(nèi)，素數(shù)相加的對數(shù)為組合C+x，即x!/(2(x-2)!) + x = x(x-1)/2 + x。

素數(shù)在區(qū)間[0,N]內(nèi)的濃度可以通過比值Ns/N來衡量，其中P > 0。

因此，x(x-1)/2 + x的值遠(yuǎn)大于項數(shù)N。也就是說，在區(qū)間[0, N]內(nèi)所有素數(shù)的組合，不但可以覆蓋全部偶數(shù)2N+2 ，而且還超出了項數(shù)N的范圍。

可以將數(shù)列2N+1和2N+2視為兩個初等函數(shù)，其中項數(shù)N作為自變量。

因此，這個公式適用于N趨向于無窮大的情形。

由此可知，q+p=2N+2是成立的。這里，q和p是在數(shù)列2N+1中任意選取的兩個素數(shù)。

結(jié)論

因此，哥德巴赫猜想得到驗證。

結(jié)束語

Ltg-空間理論通過引入項數(shù)N與空間隔離的概念，實現(xiàn)了對素數(shù)研究的結(jié)構(gòu)化和代數(shù)化，其重要性堪比高斯在《算術(shù)研究》中對模運算的貢獻。該理論已經(jīng)展現(xiàn)出重塑數(shù)論基礎(chǔ)框架的潛力，并且其價值預(yù)計將在未來數(shù)學(xué)的發(fā)展中持續(xù)顯現(xiàn)。

每個正整數(shù)都可以通過無限多個等差數(shù)列來表示，這使得它難以與函數(shù)概念相結(jié)合。然而，借助Ltg-空間理論，正整數(shù)空間被等差數(shù)列分割成不同的區(qū)域，從而在特定空間內(nèi)，等差數(shù)列能夠唯一地代表一類正整數(shù)。這一理論轉(zhuǎn)變使得等差數(shù)列具備了函數(shù)的特性。因此，Ltg-空間理論成為了連接等差數(shù)列與函數(shù)概念的橋梁。

昔日，數(shù)學(xué)家們致力于研究正整數(shù)序列1、2、3……，他們發(fā)現(xiàn)這是一項極具挑戰(zhàn)性的任務(wù)。那么，為何當(dāng)我研究Z(N)=N+1時，即1、2、3……，問題似乎變得簡單了呢？這引起了不少人的質(zhì)疑。其實，關(guān)鍵在于我們跳出了自然數(shù)的范疇，為正整數(shù)序列增添了一個新的維度N。正是由于這個N的存在，空間N+1與其他空間得以完全隔離，從而將項數(shù)N的定義域限定在了（0，∞）。這使得我們得到了合數(shù)項的公式Nh=a(b+1)+b。這表明，合數(shù)與素數(shù)并非隨機分布，而是遵循著一定的規(guī)律，每個素數(shù)都對應(yīng)著一個特定的項數(shù)Hs。

這與歷史上數(shù)學(xué)家們的研究成果形成了鮮明對比，與埃拉托色尼的篩法截然不同，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他所使用的篩法。埃拉托色尼的篩法缺乏數(shù)學(xué)公式，而我提出了相對素數(shù)公式NS = N - Hs，這是一個表達(dá)數(shù)量關(guān)系的方程。盡管使用等方法進行證明相對簡單，但存在多種專業(yè)的數(shù)學(xué)證明方法，我個人認(rèn)為它們相當(dāng)復(fù)雜。然而，與以往數(shù)學(xué)家們的證明相比，這些證明已經(jīng)算是非常簡潔的了。

空間分類的概念不僅在數(shù)論領(lǐng)域有所應(yīng)用，它在其他數(shù)學(xué)分支，如物理、化學(xué)、天文宇宙學(xué)、量子力學(xué)以及工程技術(shù)等領(lǐng)域同樣具有重要的應(yīng)用價值。特別地，它對哲學(xué)、邏輯學(xué)等領(lǐng)域也產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。例如，從“自然數(shù)分空間”的概念出發(fā)，我們可以推測我們的宇宙是多層次的，存在于多維空間之中。自然數(shù)的表達(dá)方式也是多元化的，智慧同樣呈現(xiàn)出不同層次。或許在宇宙的某個角落，存在著使用“高維自然數(shù)體系”的智慧生命，他們擁有自己獨特的高維數(shù)學(xué)體系。

Ltg-空間理論與“解析數(shù)論”并無交集，請務(wù)必不要將兩者混淆。本理論明確拒絕與解析數(shù)論建立任何關(guān)聯(lián)。看一個表格如下，

Ltg-空間理論中的正整數(shù)結(jié)構(gòu)空間同樣可以采用“極坐標(biāo)表示法”，通過這種方式，我們注意到某些空間與原子核的結(jié)構(gòu)存在關(guān)聯(lián)。這只是探索的起點，我們只是開啟了探索寶庫的大門，而其中無盡的奧秘等待著未來的探索者去揭示和深入挖掘。

由于現(xiàn)實的考量，我已停止向數(shù)學(xué)期刊投稿。我僅僅是那個推開探索之門的人，鋪設(shè)了前進的道路。至于我的貢獻與過失，將由時間、后人以及歷史來評斷。

參考書籍：

《數(shù)論中未解決的問題》（第二版）——[加] R.K. 蓋伊 著

作者：李鐵鋼

2025年9月14日星期日

我希望這是網(wǎng)絡(luò)留下的歷史的記錄。