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導(dǎo)語
當(dāng)我們從“形狀的變形”和“洞的計(jì)數(shù)”轉(zhuǎn)入其中的代數(shù)結(jié)構(gòu),拓?fù)鋵W(xué)就進(jìn)入了代數(shù)時(shí)代。本講承接上一講,介紹同調(diào)的核心思想——用代數(shù)對(duì)象(如群與正合列)去描述空間的結(jié)構(gòu)。通過MV序列等例子,我們學(xué)習(xí)如何計(jì)算同調(diào)群,并理解歐拉數(shù)的代數(shù)拓?fù)湟饬x和范疇論內(nèi)涵。更重要的是,我們將從哲學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)角度,探討“拓?fù)涞膶蛹?jí)結(jié)構(gòu)”:一個(gè)系統(tǒng)的“洞”與“約束”,往往正是其結(jié)構(gòu)的靈魂。
主題:同倫與同調(diào)簡介(二)
課程簡介
目標(biāo):掌握同調(diào)的基本概念與計(jì)算方法,進(jìn)一步理解代數(shù)結(jié)構(gòu)如何表達(dá)空間特征。
本講承接上一講的同倫思想,引入同調(diào)論的核心觀念:用一系列代數(shù)對(duì)象(群、鏈復(fù)形與長正合序列)來系統(tǒng)刻畫空間的結(jié)構(gòu)。同調(diào)不再僅僅關(guān)心“是否存在某種繞行”,而是將空間拆解為由點(diǎn)、邊、面及其高維類似物構(gòu)成的整體,通過“邊界”與“循環(huán)”的代數(shù)關(guān)系,精確描述不同維度上的洞與結(jié)構(gòu)層級(jí)。
課程首先會(huì)將以上的拓?fù)鋵?duì)象代數(shù)化,構(gòu)建必要的代數(shù)工具:單純同調(diào)、奇異同調(diào)和胞腔同調(diào)群。之后將系統(tǒng)地展示同調(diào)論中的幾個(gè)核心要素:第一,以Mayer–Vietoris(MV)序列為例,展示拓?fù)鋵W(xué)如何通過“分解—拼合”的方式計(jì)算同調(diào)群;第二,從范疇論視角看待同調(diào)論,并由此理解歐拉示性數(shù)的代數(shù)拓?fù)湟饬x,以及為什么同調(diào)理論可以看作歐拉示性數(shù)的范疇化;第三,講解Hurewicz定理,說明同調(diào)理論與同倫理論的深刻聯(lián)系。在這一過程中,大家將體會(huì)到:拓?fù)洳蛔兞坎⒎橇闵⒌臄?shù)值,而是被組織在一整套相互制約、彼此關(guān)聯(lián)的代數(shù)結(jié)構(gòu)之中。
更進(jìn)一步,本講將從哲學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)的視角審視同調(diào)思想。并展示其在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)(曲面分類與映射度)、拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析/機(jī)器學(xué)習(xí)和精神分析中的應(yīng)用。我們將看到,“洞”并不僅是缺失,更是一種約束與可能性的來源:在復(fù)雜系統(tǒng)中,正是這些不可消除的結(jié)構(gòu),刻畫了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、演化路徑與可達(dá)性邊界。從這一意義上說,同調(diào)論不僅是拓?fù)鋵W(xué)的技術(shù)工具,也是理解復(fù)雜結(jié)構(gòu)層級(jí)與組織方式的重要思想模型。
課程大綱
同調(diào)概述:洞的數(shù)量與空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)
同調(diào)思想:洞的數(shù)量與結(jié)構(gòu),“邊緣”的代數(shù)刻畫
同調(diào)群與正合列
同調(diào)論的基本計(jì)算方法:Mayer-Vietoris(MV)序列及例子
同倫與同調(diào)的關(guān)系——Hurewicz定理簡介
代數(shù)拓?fù)涞幕舅枷耄ㄓ么鷶?shù)結(jié)構(gòu)研究拓?fù)淇臻g);范疇化思想(續(xù),同調(diào)群作為歐拉數(shù)的范疇化)
持續(xù)同調(diào)及其應(yīng)用簡介
曲面分類與拉康的精神分析(主體)拓?fù)鋵W(xué)
關(guān)鍵詞
同調(diào)、虧格、正合列、單純同調(diào)、奇異同調(diào)、胞腔同調(diào)、MV序列、Hurewicz定理、歐拉示性數(shù)、代數(shù)拓?fù)洹⒎懂牷嫾尤R同調(diào)球、映射度、結(jié)構(gòu)層級(jí)
課程信息
課程主題:勘玄府眾竅由辨,布算譜諸群序列——同倫與同調(diào)簡介(二)
課程時(shí)間:1月4日(周日)晚19:00-21:00
課程形式:騰訊會(huì)議(會(huì)議信息見群內(nèi)通知);集智學(xué)園網(wǎng)站錄播(3個(gè)工作日內(nèi)上線)
課程主講人
金威,北京大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士,博士后。主要研究方向?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理。現(xiàn)從事人工智能的基礎(chǔ)理論和算法研發(fā),并致力于數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)方面的教育/科研和科普活動(dòng)。《基本粒子:數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)》一書中文版譯者,《返樸》公眾號(hào)作者。研究興趣:屬性論和屬性數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理、系統(tǒng)科學(xué)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、中醫(yī)等。
課程適用對(duì)象
理工科領(lǐng)域研究者及高年級(jí)學(xué)生:適合具備基礎(chǔ)數(shù)學(xué)背景(微積分、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程)的理工科高年級(jí)本科生、研究生及科研人員。尤其適合關(guān)注復(fù)雜系統(tǒng)、非線性動(dòng)力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、信息科學(xué)等方向,或希望將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于物理、工程、生命與智能/認(rèn)知系統(tǒng)的學(xué)習(xí)者。
喜愛探索和創(chuàng)新學(xué)習(xí)者:面向?qū)Τ橄笏季S、系統(tǒng)建模與跨學(xué)科分析有興趣的學(xué)生與研究者。鼓勵(lì)具備問題意識(shí)、善于邏輯推理與思維開放的學(xué)習(xí)者,通過拓?fù)鋵W(xué)培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化與整體化的科學(xué)思維。
報(bào)名須知
課程形式:騰訊會(huì)議,前兩課線上同步直播,集智學(xué)園網(wǎng)站錄播,部分課程設(shè)置線下課。
課程周期:2025年11月23日-2026年1月,線上課程每周日19:00-21:00進(jìn)行。
課程定價(jià):前兩節(jié)課程免費(fèi),全部課程原價(jià)599
付費(fèi)流程
https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat
可開發(fā)票
課程頁面添加學(xué)員登記表,添加助教微信入群;
課程可開發(fā)票。
課程群內(nèi)討論交流
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拓?fù)鋵W(xué)課程:從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)
你是否曾思考過:為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈?為什么混沌系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式?為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu),都可以從“拓?fù)洹苯嵌壤斫猓?/p>
拓?fù)鋵W(xué)不僅是數(shù)學(xué)的抽象分支,更提供了系統(tǒng)的思維方式,讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié),從量子場論到思維科學(xué)與腦科學(xué),拓?fù)鋵W(xué)思想正在各學(xué)科中普遍而深刻地重塑著我們的認(rèn)知方式。
集智學(xué)園聯(lián)合北京大學(xué)博士金威老師開設(shè),課程于11月23日開啟,歡迎感興趣的讀者加入。
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詳情請(qǐng)見:
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