PRL：非平衡漲落的“天花板”——逆熱力學(xué)不確定性關(guān)系與熵產(chǎn)生的深層關(guān)聯(lián)

導(dǎo)語(yǔ)

非平衡電流漲落是非平衡物理學(xué)的核心議題之一。熱力學(xué)不確定性關(guān)系（TUR）因嚴(yán)格建立了電流漲落的下界而廣受贊譽(yù)，該下界用熵產(chǎn)生率和平均電流表示。本文關(guān)注的是漲落上界，稱之為逆熱力學(xué)不確定性關(guān)系（iTUR）。針對(duì)由過(guò)阻尼朗之萬(wàn)方程控制的連續(xù)變量系統(tǒng)，以及由馬爾可夫跳躍過(guò)程描述的離散變量系統(tǒng)，推導(dǎo)出了一個(gè)用熵產(chǎn)生率表示的通用iTUR表達(dá)式。iTUR建立了一個(gè)不可行定理，禁止在具有有限熵產(chǎn)生率和有限譜間隙的系統(tǒng)中出現(xiàn)永久的超擴(kuò)散。任何電流方差的發(fā)散只有在對(duì)稱化時(shí)間演化算子的譜間隙閉合或熵產(chǎn)生率發(fā)散時(shí)才成為可能。本文將iTUR應(yīng)用于巨擴(kuò)散現(xiàn)象，強(qiáng)調(diào)了譜間隙和熵產(chǎn)生的關(guān)鍵作用。

關(guān)鍵詞：非平衡統(tǒng)計(jì)物理，電流漲落，熱力學(xué)不確定性關(guān)系（Thermodynamic Uncertainty Relation，TUR），逆熱力學(xué)不確定性關(guān)系（inverse thermodynamic uncertainty relation，iTUR），熵產(chǎn)生，譜間隙（spectral gap），巨擴(kuò)散（giant diffusion）、超擴(kuò)散（superdiffusion）

彭晨丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Inverse Thermodynamic Uncertainty Relation and Entropy Production 論文鏈接：https://doi.org/10.1103/mf9f-nf7g 發(fā)表時(shí)間：2025年12月5日 發(fā)表期刊：Physical Review Letters

引言：尋找非平衡世界的邊界

在統(tǒng)計(jì)物理的浩瀚版圖中，理解非平衡漲落一直是基石般的課題。在過(guò)去的十年里，隨機(jī)熱力學(xué)領(lǐng)域見(jiàn)證了無(wú)數(shù)突破，其中最引人注目的里程碑莫過(guò)于熱力學(xué)不確定性關(guān)系（Thermodynamic Uncertainty Relation，TUR）。TUR揭示了一個(gè)深刻的物理事實(shí)：在非平衡穩(wěn)態(tài)中，電流的精度（即漲落的倒數(shù)）是有代價(jià)的，這個(gè)代價(jià)就是熱力學(xué)成本——熵產(chǎn)生。它為非平衡漲落設(shè)定了一個(gè)嚴(yán)格的下界，告訴我們?yōu)榱司S持一定的傳輸精度，系統(tǒng)必須耗散多少能量。

然而，物理學(xué)的探索從未止步于單一視角的觀察。如果說(shuō)TUR告訴了我們漲落“至少”是多少，那么一個(gè)自然而緊迫的問(wèn)題隨之而來(lái)：漲落“至多”能達(dá)到多少？我們能否找到一個(gè)依賴于熱力學(xué)成本的漲落上界？近期，雖然已有關(guān)于逆熱力學(xué)不確定性關(guān)系（inverse thermodynamic uncertainty relation，iTUR）的研究提出了一些僅依賴于瞬時(shí)漲落和譜間隙的約束，但這些結(jié)果并未明確包含熱力學(xué)成本的角色。這是一個(gè)明顯的缺失，因?yàn)榉瞧胶怛?qū)動(dòng)不僅維持系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡，更是主動(dòng)增強(qiáng)漲落的源頭。這種增強(qiáng)必然伴隨著能量的耗散，與熵產(chǎn)生有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。

這篇2025年12月發(fā)表在Physical Review Letters上的研究正是為了填補(bǔ)這一空白。研究團(tuán)隊(duì)不僅將iTUR擴(kuò)展到了由朗之萬(wàn)動(dòng)力學(xué)控制的連續(xù)變量系統(tǒng)，更重要的是，他們成功地將熵產(chǎn)生率引入到漲落的上界表達(dá)中，揭示了驅(qū)動(dòng)力、耗散與動(dòng)力學(xué)弛豫之間微妙的制衡關(guān)系。

理論框架：變分原理與新的通用界限

研究團(tuán)隊(duì)首先構(gòu)建了一個(gè)處理連續(xù)變量的通用框架。考慮一個(gè)在n維空間中進(jìn)行過(guò)阻尼朗之萬(wàn)動(dòng)力學(xué)的粒子系統(tǒng)，該系統(tǒng)處于均勻溫度下，受到漂移場(chǎng)和高斯白噪聲的影響。系統(tǒng)的概率密度函數(shù)隨時(shí)間的演化遵循福克-普朗克方程（Fokker-Planck equation）。在非平衡穩(wěn)態(tài)下，盡管概率分布不再隨時(shí)間變化，但由于非平衡條件的存在，系統(tǒng)內(nèi)部仍可能維持著持續(xù)的電流。

為了量化這些電流的漲落，研究人員關(guān)注電流在長(zhǎng)時(shí)間尺度上的擴(kuò)散系數(shù)D∞。這一物理量描述了累積電流的方差隨時(shí)間的增長(zhǎng)率。與之相對(duì)的是瞬時(shí)漲落D0，它反映了在極短時(shí)間尺度下的局部噪聲強(qiáng)度。在平衡態(tài)系統(tǒng)中，長(zhǎng)時(shí)間的擴(kuò)散行為通常受到愛(ài)因斯坦關(guān)系的約束，但在遠(yuǎn)離平衡的系統(tǒng)中，情況變得極其復(fù)雜。

為了推導(dǎo)上界，作者們巧妙地利用了電流累積生成函數(shù)的變分原理（variational principle）。這一數(shù)學(xué)工具允許他們通過(guò)引入輔助場(chǎng)來(lái)估算擴(kuò)散系數(shù)的極值。推導(dǎo)的核心在于引入了“對(duì)稱化福克-普朗克算子”（symmetrized Fokker-Planck operator）的概念。這一算子的譜間隙λ（spectral gap）對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)弛豫到穩(wěn)態(tài)的最慢時(shí)間尺度。

通過(guò)一系列嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，研究團(tuán)隊(duì)得到了一個(gè)形式簡(jiǎn)潔卻物理意義深遠(yuǎn)的iTUR表達(dá)式：

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的擴(kuò)散過(guò)程，長(zhǎng)時(shí)間擴(kuò)散系數(shù)D∞被嚴(yán)格限制在瞬時(shí)漲落D0加上一個(gè)修正項(xiàng)之下。這個(gè)修正項(xiàng)由兩部分決定：一是剩余的熵產(chǎn)生能力（），二是系統(tǒng)的弛豫速率（即譜間隙λ）。

這一結(jié)果不僅在數(shù)學(xué)上是嚴(yán)格的，而且在物理上極具洞察力。它表明，如果一個(gè)系統(tǒng)想要表現(xiàn)出巨大的長(zhǎng)時(shí)間擴(kuò)散（即D∞遠(yuǎn)大于D0），它必須滿足兩個(gè)條件之一：要么具有極高的熵產(chǎn)生率σst，這意味著系統(tǒng)必須劇烈地耗散能量以驅(qū)動(dòng)粒子；要么具有極小的譜間隙λ，這意味著系統(tǒng)的弛豫動(dòng)力學(xué)非常緩慢，允許關(guān)聯(lián)在很長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)持續(xù)存在。

物理機(jī)制：熵產(chǎn)生與譜間隙的博弈

新的iTUR關(guān)系式不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)不等式，它實(shí)際上闡明了非平衡驅(qū)動(dòng)如何增強(qiáng)擴(kuò)散的物理機(jī)制。在平衡態(tài)，由于沒(méi)有凈電流和熵產(chǎn)生，iTUR退化為一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論：長(zhǎng)時(shí)間擴(kuò)散系數(shù)永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)瞬時(shí)漲落（D∞≤ D0）。這與我們對(duì)平衡態(tài)受限擴(kuò)散的直觀理解一致。

然而，一旦引入非平衡驅(qū)動(dòng)，情況就發(fā)生了質(zhì)的變化。熵產(chǎn)生率σst作為熱力學(xué)成本的量度，出現(xiàn)在不等式的分子上，直接提高了擴(kuò)散系數(shù)的上限。這意味著，通過(guò)增加外部驅(qū)動(dòng)力使系統(tǒng)進(jìn)一步遠(yuǎn)離平衡，原則上可以“解鎖”更大的漲落空間。但是，這種增強(qiáng)并非無(wú)限制的，它受到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)——譜間隙的強(qiáng)烈制約。

譜間隙λ出現(xiàn)在分母上，扮演著“阻尼器”或“過(guò)濾器”的角色。當(dāng)譜間隙很大時(shí)，系統(tǒng)能夠快速弛豫，任何由非平衡驅(qū)動(dòng)引起的局部擾動(dòng)都會(huì)被迅速抹平，從而抑制了長(zhǎng)時(shí)間尺度上的巨大漲落。相反，如果譜間隙很小，系統(tǒng)的記憶效應(yīng)顯著，漲落得以在時(shí)間上積累，從而可能導(dǎo)致擴(kuò)散（superdiffusion）行為——即粒子或電流跑得比正常情況快得多，比如在相同時(shí)間內(nèi)走過(guò)的平均距離遠(yuǎn)超普通擴(kuò)散。

基于此，研究團(tuán)隊(duì)提出了一個(gè)關(guān)于“永久超擴(kuò)散”的不可行定理（no-go theorem）。只要系統(tǒng)的熵產(chǎn)生率是有限的，且譜間隙不為零（即系統(tǒng)最終會(huì)弛豫），那么電流的方差就不可能無(wú)限發(fā)散。這為理解反常擴(kuò)散現(xiàn)象提供了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的理論邊界：真正的發(fā)散行為只能發(fā)生在相變點(diǎn)（譜間隙閉合）或者能量輸入無(wú)限大的極端情況下。

此外，將iTUR與傳統(tǒng)的TUR結(jié)合起來(lái)，我們首次得到了非平衡電流漲落的完整雙側(cè)界限：

這一組不等式像兩道護(hù)欄，將任意時(shí)間間隔τ內(nèi)的非平衡漲落嚴(yán)格限制在一個(gè)特定的通道內(nèi)。TUR限制了亞擴(kuò)散（subdiffusion，即粒子因?yàn)楸豢ㄗ　⒗@路或頻繁停頓，導(dǎo)致移動(dòng)比正常還慢）的結(jié)束時(shí)間，而iTUR則限制了超擴(kuò)散的持續(xù)時(shí)間。

案例分析：巨擴(kuò)散現(xiàn)象中的理論驗(yàn)證

為了展示iTUR的實(shí)際威力，文章深入分析了“巨擴(kuò)散”（giant diffusion）現(xiàn)象。這是一個(gè)在傾斜周期勢(shì)系統(tǒng)中廣泛觀察到的現(xiàn)象：當(dāng)粒子受到非保守力（如恒定外力）驅(qū)動(dòng)越過(guò)周期性勢(shì)壘時(shí)，在特定的臨界力Fc附近，粒子的有效擴(kuò)散系數(shù)會(huì)急劇增加，甚至超過(guò)自由擴(kuò)散系數(shù)數(shù)倍。這種現(xiàn)象在生物分子馬達(dá)（如F1-ATPase）和膠體粒子實(shí)驗(yàn)中都已被觀測(cè)到。

研究人員將導(dǎo)出的iTUR應(yīng)用于描述該系統(tǒng)的過(guò)阻尼朗之萬(wàn)方程。理論預(yù)測(cè)與數(shù)值模擬的對(duì)比結(jié)果令人印象深刻。隨著外力F的增加，歸一化的長(zhǎng)時(shí)間擴(kuò)散系數(shù)在臨界力Fc附近表現(xiàn)出顯著的峰值。iTUR提供的上界（理論曲線）緊密地跟隨這一趨勢(shì)，不僅捕捉到了擴(kuò)散增強(qiáng)的數(shù)量級(jí)，還準(zhǔn)確反映了其隨外力變化的形態(tài)。

圖 1. 擴(kuò)散系數(shù)，iTUR和TUR作為外力F在傾斜周期勢(shì)中的函數(shù)。

通過(guò)分析iTUR公式中的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)——熵產(chǎn)生率σst和譜間隙λ，這種增強(qiáng)的物理根源變得清晰可見(jiàn)。當(dāng)外力接近臨界值Fc時(shí)，勢(shì)壘的有效高度降低，導(dǎo)致譜間隙λ顯著減小。這種動(dòng)力學(xué)上的變慢意味著粒子在勢(shì)阱之間的躍遷變得極具關(guān)聯(lián)性，允許漲落長(zhǎng)時(shí)間存在。與此同時(shí)，熵產(chǎn)生率σst在這一區(qū)域開(kāi)始增加。較小的譜間隙（分母減小）和較高的熵產(chǎn)生（分子增加）共同作用，極大地抬高了iTUR的上界，從而允許了巨擴(kuò)散的發(fā)生。

圖 2. 固定譜間隙（λ = 5, 10, 100）下擴(kuò)散系數(shù)D∞和iTUR上界對(duì)熵產(chǎn)率σst的依賴關(guān)系。

值得注意的是，在遠(yuǎn)離開(kāi)關(guān)力的極限下（F→∞），傳統(tǒng)的TUR下界和實(shí)際擴(kuò)散系數(shù)都收斂于瞬時(shí)擴(kuò)散系數(shù)D0，而iTUR上界則收斂于一個(gè)大于D0的有限值。這表明在極端非平衡條件下，雖然系統(tǒng)不得不耗散大量能量，但快速的輸運(yùn)過(guò)程（由高漂移速度主導(dǎo)）實(shí)際上抑制了相對(duì)漲落的無(wú)限增長(zhǎng)。圖表分析顯示，iTUR不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上的約束，更是一個(gè)物理上的解釋器。它成功地將復(fù)雜的非平衡輸運(yùn)現(xiàn)象解構(gòu)為熱力學(xué)成本與動(dòng)力學(xué)弛豫這兩個(gè)基本物理量的競(jìng)爭(zhēng)與合作。

離散系統(tǒng)的推廣與比較

除了連續(xù)變量系統(tǒng)，文章還探討了由馬爾可夫跳躍過(guò)程描述的離散狀態(tài)系統(tǒng)。在生物化學(xué)反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)和量子點(diǎn)輸運(yùn)中，這類模型極為常見(jiàn)。研究團(tuán)隊(duì)同樣為這類系統(tǒng)推導(dǎo)出了包含熵產(chǎn)生率的iTUR表達(dá)式。

通過(guò)與之前Bakewell-Smith等人提出的不含熵產(chǎn)生的iTUR進(jìn)行對(duì)比，新結(jié)果的優(yōu)勢(shì)顯而易見(jiàn)。舊的界限在時(shí)間趨于零或系統(tǒng)趨于平衡時(shí)，往往給出非物理的有限增強(qiáng)預(yù)測(cè)。而本文提出的新iTUR通過(guò)引入輔助場(chǎng)和熵產(chǎn)生項(xiàng)，正確地復(fù)現(xiàn)了短時(shí)間極限（Dτ→D0）和近平衡極限（Dτ≤D0）。這表明，將熱力學(xué)成本顯式納入理論框架，對(duì)于構(gòu)建自洽且物理意義明確的漲落界限是至關(guān)重要的。

總結(jié)與展望：熱力學(xué)推斷的新工具

這項(xiàng)研究通過(guò)整合熵產(chǎn)生率和譜間隙，為穩(wěn)態(tài)電流漲落推導(dǎo)出了嚴(yán)格的上界。如果說(shuō)TUR告訴我們“天下沒(méi)有免費(fèi)的午餐”（高精度需要高耗散），那么iTUR則告訴我們“無(wú)限制的自由是不存在的”（漲落的幅度受限于耗散和弛豫）。

這一理論成果具有廣泛的應(yīng)用潛力。首先，它為熱力學(xué)推斷（thermodynamic inference）提供了新的工具。在許多實(shí)驗(yàn)中，直接測(cè)量熵產(chǎn)生是困難的。傳統(tǒng)的TUR允許利用測(cè)量的漲落來(lái)下限估算熵產(chǎn)生。而在巨擴(kuò)散等漲落增強(qiáng)的體系中，標(biāo)準(zhǔn)TUR往往變得失效，此時(shí)iTUR可以反過(guò)來(lái)被利用，基于觀測(cè)到的漲落上限來(lái)推斷熵產(chǎn)生率的下限或動(dòng)力學(xué)譜間隙的大小。其次，對(duì)于納米技術(shù)和合成生物學(xué)而言，iTUR提供了設(shè)計(jì)指南。在設(shè)計(jì)微型馬達(dá)或人工輸運(yùn)系統(tǒng)時(shí)，如果目標(biāo)是利用非平衡條件增強(qiáng)某種輸運(yùn)的漲落（例如為了跨越勢(shì)壘或探索空間），iTUR給出了設(shè)計(jì)參數(shù)的定量限制：必須權(quán)衡能量輸入的增加與系統(tǒng)弛豫速率的降低。

雖然直接在實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證iTUR面臨挑戰(zhàn)，因?yàn)樗枰P(guān)于系統(tǒng)全局最大漲落和對(duì)稱化譜間隙的信息，但作者指出，利用軌跡數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷方法可以有效估算這些量。這使得在光鑷膠體、微流控設(shè)備和單分子馬達(dá)等可控實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上的驗(yàn)證成為可能。未來(lái)，這一框架有望擴(kuò)展到隨時(shí)間變化的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，甚至是非馬爾可夫系統(tǒng)。同時(shí)，考慮到量子系統(tǒng)中相干性與耗散的獨(dú)特關(guān)系，建立包含量子修正的量子iTUR也將是一個(gè)激動(dòng)人心的方向。

非平衡統(tǒng)計(jì)物理讀書(shū)會(huì)

2024年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這是一場(chǎng)統(tǒng)計(jì)物理引發(fā)的機(jī)器學(xué)習(xí)革命。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)不僅能解釋熱學(xué)現(xiàn)象，還能幫助我們理解從微觀粒子到宏觀宇宙的各個(gè)層級(jí)如何聯(lián)系起來(lái)，復(fù)雜現(xiàn)象如何涌現(xiàn)。它通過(guò)研究大量粒子的集體行為，成功地將微觀世界的隨機(jī)性與宏觀世界的確定性聯(lián)系起來(lái)，為我們理解自然界提供了強(qiáng)大的工具，也為機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能領(lǐng)域的發(fā)展提供了重要推動(dòng)力。

為了深入探索統(tǒng)計(jì)物理前沿進(jìn)展，集智俱樂(lè)部聯(lián)合西湖大學(xué)理學(xué)院及交叉科學(xué)中心講席教授湯雷翰、紐約州立大學(xué)石溪分校化學(xué)和物理學(xué)系教授汪勁、德累斯頓系統(tǒng)生物學(xué)中心博士后研究員梁師翎、香港浸會(huì)大學(xué)物理系助理教授唐乾元，以及多位國(guó)內(nèi)外知名學(xué)者共同發(fā)起。讀書(shū)會(huì)旨在探討統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的最新理論突破，統(tǒng)計(jì)物理在復(fù)雜系統(tǒng)和生命科學(xué)中的應(yīng)用，以及與機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域的交叉研究。讀書(shū)會(huì)已完結(jié)，現(xiàn)在報(bào)名可加入社群并解鎖回放視頻權(quán)限。

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