七年級不等式理解難點(diǎn)——新定義“偏解方程(組)”

七年級不等式理解難點(diǎn)——新定義“偏解方程(組)”

在2022版新課標(biāo)第60頁，對于不等式與不等式組的課程內(nèi)容安排如下：結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)；能用不等式的基本性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形；能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；會(huì)用數(shù)軸確定兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的實(shí)際問題。建立模型觀念。

第62頁：對于方程與不等式的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷對現(xiàn)實(shí)問題中量的分析，借助字母表達(dá)的未知數(shù)，建立兩個(gè)量之間關(guān)系的過程，知道方程或不等式是現(xiàn)實(shí)問題中含有未知數(shù)的等量關(guān)系或不等關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)；

在2025版新人教版教材140頁安排了解集中的整數(shù)解例題，如下圖：

學(xué)生在解不等式相關(guān)習(xí)題的時(shí)候，對于解集的理解深度決定了解題成功率，教材上對于解集的概念敘述比較簡單，在學(xué)習(xí)中學(xué)生需要明確這一章節(jié)的所有數(shù)學(xué)概念，都可以從數(shù)和形兩方面理解，數(shù)軸即最稱手的工具.

題目

解析：

01

(1)解出方程，x=-2；

再分別解下列三個(gè)不等式，結(jié)果為①x<-2；②x≤1；③-3≤x<1

根據(jù)“偏解方程”定義，判斷3c+2=-4是②和③的“偏解方程”；

02

(2)解這個(gè)方程組，用含a的代數(shù)式表示x和y，得x=a-1，y=2a+2；

代入到不等式y(tǒng)-1/2x>7中，解出a>3；

03

(3)首先解這個(gè)含參不等式組，得b-10≤x<2b-9，關(guān)于x的方程x+b=0的解是x=-b，它應(yīng)該在前面求得的解集中，得b-10≤-b<2b-9，解得3

接下來兩種思路：

第一各從數(shù)形結(jié)合角度來理解“恰有5個(gè)整數(shù)解”，借助數(shù)軸，我們先表示出解集b-10≤x<2b-9，如下圖：

對于這個(gè)解集的左端點(diǎn)b-10，由于b的取值范圍被限定在3

通過這兩幅圖對比，我們可以想像這個(gè)解集的左端點(diǎn)從-7移動(dòng)到了-5，同時(shí)右端點(diǎn)從-3移動(dòng)到了1，且兩個(gè)端點(diǎn)移動(dòng)速度并不一致，對于最終狀態(tài)下的解集，可發(fā)現(xiàn)有6個(gè)整數(shù)解，不符合題意，我們需要的解集應(yīng)該位于初始狀態(tài)和最終狀態(tài)之間，不妨從最初開始，將左端點(diǎn)畫在b=3.1的位置，即b-10=-6.9，看大概能框住幾個(gè)整數(shù)，調(diào)整如下圖：

由草圖可知，解集中包含4個(gè)整數(shù)解，于是我們繼續(xù)增大b的值，看能否框住更多整數(shù)解，基于這個(gè)思路，我們需要觀察解集的兩個(gè)端點(diǎn)b-10和2b-9，發(fā)現(xiàn)當(dāng)b=3.5時(shí)，右端點(diǎn)恰好在-2處，如下圖：

請注意右端點(diǎn)是空心點(diǎn)，此時(shí)解集中仍然只有4個(gè)整數(shù)解，但從此之后，左端點(diǎn)抵達(dá)-6前，右端點(diǎn)抵達(dá)-1前，解集中將會(huì)出現(xiàn)5個(gè)整數(shù)解，分別是-6，-5，-4，-3，-2，由此可知b的取值范圍下限，b>3.5；

繼續(xù)增大b的值，至b=4時(shí)，仍然有5個(gè)整數(shù)解，如下圖：

繼續(xù)增大b的值，至b=4.5時(shí)，仍然有5個(gè)整數(shù)解，但不是前面那5個(gè)，新的整數(shù)解為-5，-4，-3，-2，-1，如下圖：

此時(shí)再增大b的值，右端點(diǎn)就會(huì)將0這個(gè)值納入范圍，這樣整數(shù)解就有6個(gè)了，不符合題意，因此我們可得到結(jié)果為3.5

第二種從代數(shù)推理角度，不妨設(shè)這5個(gè)整數(shù)解依次是k，k+1，k+2，k+3，k+4，而解集是b-10

分別解上述兩個(gè)不等式組，得k+9

當(dāng)k=-6時(shí)，代入前面關(guān)于b的兩個(gè)解集，3

當(dāng)k=-5時(shí)，代入前面關(guān)于b的兩個(gè)解集，4

最后這兩種情況都屬于“有5個(gè)整數(shù)解”，取并集，結(jié)果為3.5

解題思考

在學(xué)生講解這道題的時(shí)候，我們可借助幾何畫板、Geogebra等工具動(dòng)態(tài)演示，然而學(xué)生在實(shí)際答題時(shí)，手頭沒有這等利器，所以盡可能還原學(xué)生真實(shí)答題環(huán)境，再來講這道題的思考過程.

利用數(shù)軸表示不等式的解集，是教學(xué)過程中學(xué)生容易做到的，但能表示只是理解的第一層含義，腦子里是否存在解集這個(gè)事物很關(guān)鍵，利用參數(shù)表示解集，屬于較高的要求，由參數(shù)本身的不確定性，解集也會(huì)動(dòng)態(tài)變化，此時(shí)需要利用數(shù)軸工具，在紙上的數(shù)軸工具.課堂上的畫解集，不能僅僅停留在區(qū)分“向左”、“向右”、“空心點(diǎn)”、“實(shí)心點(diǎn)”等這些基本元素上，當(dāng)參數(shù)引入之后，端點(diǎn)可能在哪？解集中可能包含哪些數(shù)？更進(jìn)一步考驗(yàn)了學(xué)生對解集概念的理解.

本題也可以引入函數(shù)觀念，但這顯然超出了七年級學(xué)生的認(rèn)知范疇，經(jīng)過適當(dāng)改編，它可以出現(xiàn)在八年級學(xué)生的練習(xí)中.