清華校友王志涵與合作者在高維普拉托問題上取得關鍵突破，證實十一維空間中肥皂膜曲面普遍光滑

在數學與物理學中，肥皂膜形成的極小曲面一直是引人入勝的研究對象。19世紀，比利時物理學家約瑟夫·普拉托通過將金屬絲框架浸入肥皂水觀察薄膜形成，提出了經典的普拉托問題：對于任意閉合曲線，是否存在以該曲線為邊界且表面積最小的曲面？直到20世紀30年代，數學家杰西·道格拉斯與蒂博爾·拉多才獨立證明這一問題的存在性，道格拉斯也因此成為首位菲爾茲獎得主。

然而，隨著研究深入，數學家發現當問題進入更高維空間時，極小曲面可能出現奇點——即曲面發生折疊、收縮或自交的非光滑點。1968年，吉姆·西蒙斯在八維空間中構造出帶奇點的極小曲面，打破了“極小曲面必光滑”的認知。盡管1985年數學家羅伯特·哈特與萊昂·西蒙證明八維空間中的奇點可通過微調邊界消除（即“通用正則性”），但更高維度的進展在此后近40年間陷入停滯。

這一僵局于2023年被打破。斯坦福大學奧蒂斯·喬多什、萊斯大學克里斯托斯·曼圖利迪斯與華威大學費利克斯·舒爾茨合作，首次證明在九維和十維空間中，光滑極小曲面仍是普遍現象。2025年，團隊進一步與康奈爾大學博士后研究員王志涵合作，將結論推進至十一維空間。

王志涵是一名優秀的青年數學家，他于2014年從山東省實驗中學考入清華大學數學科學系，2018年本科畢業后赴普林斯頓大學攻讀博士學位，師從著名微分幾何學家費爾南多·科達·馬奎斯。在2023年獲得博士學位后，他先后于芝加哥大學、康奈爾大學從事博士后研究，主要研究方向為微分幾何與幾何分析。

團隊在十一維空間中的證明面臨獨特挑戰。曼圖利迪斯指出：“高維空間中的奇點類型復雜多樣，就像一個奇點動物園，任何成功的論證必須足夠廣泛以覆蓋所有情況。”王志涵的專長正是處理高維奇點的分析，他與團隊合作改進了名為“分離函數”的工具，通過量化奇點間距離，證明適當擾動邊界可使奇點消失。這一方法克服了此前技術在十一維空間中對特定三維奇點無效的局限。

這項成果被學界視為幾何分析領域的重要突破。斯坦福大學教授布萊恩·懷特評價：“他們將我們的理解拓展了幾個維度，這真是太棒了。”該結論不僅解決了普拉托問題在高維情形的懸疑，更為其他數學領域提供了工具，例如廣義相對論中的正質量定理——其證明曾依賴極小曲面的光滑性，此前僅適用于七維及以下空間。

在數學物理領域，這項突破具有深遠意義。正能量定理是廣義相對論中的核心結論，斷言宇宙的總能量必為正。1970年代，Richard Schoen與丘成桐利用最小化曲面在七維及以下給出了證明；2017年，他們又把結果推廣到所有維度。如今，關于普拉托問題的新進展為九、十、十一維提供了另一條驗證正質量定理的途徑，為理解宇宙的基本規律提供了新的數學工具。

盡管十一維空間的突破標志著巨大進步，但更高維度的普拉托問題仍待探索。舒爾茨坦言：“要進入十二維及以上空間，我們需要全新的數學工具和思路。”數學家們期待，這一突破性方法還能應用于材料科學、相變理論等更多領域，比如解釋冰的融化過程或其他物理系統中的界面現象。

無論未來結果如何，這項研究已為數學與物理學的交叉領域打開新的可能性，展示了基礎數學研究在解釋自然現象中的持久生命力。

文章來源：水木TsinghuaCent。