陶哲軒力推AlphaEvolve：解決67個(gè)不同數(shù)學(xué)問(wèn)題，多個(gè)難題中超越人類最優(yōu)解

陶哲軒又來(lái)安利AlphaEvolve了。

在與DeepMind高級(jí)工程師Bogdan Georgiev等人合著的新論文中，陶哲軒稱其為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有力新工具。

具體來(lái)說(shuō)，他們用AlphaEvolve研究了67個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，涵蓋組合數(shù)學(xué)、幾何、數(shù)學(xué)分析與數(shù)論等多個(gè)領(lǐng)域。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，AlphaEvolve在可擴(kuò)展性、魯棒性、可解釋性方面均優(yōu)于傳統(tǒng)工具。

更關(guān)鍵的是，AlphaEvolve已經(jīng)可以自主發(fā)現(xiàn)新穎的數(shù)學(xué)構(gòu)造，并在部分問(wèn)題上超越人類已有的最優(yōu)結(jié)果。

AI自主發(fā)現(xiàn)新數(shù)學(xué)構(gòu)造

AlphaEvolve在67個(gè)問(wèn)題的測(cè)試中，不僅復(fù)現(xiàn)了眾多已知最優(yōu)解，更在多個(gè)方面展現(xiàn)了其獨(dú)特的發(fā)現(xiàn)能力。

一個(gè)關(guān)鍵的成就是AlphaEvolve能夠自主發(fā)現(xiàn)人類未曾一窺的新數(shù)學(xué)構(gòu)造。

例如在處理Nikodym集問(wèn)題時(shí)，系統(tǒng)生成的初步構(gòu)造雖然尚未達(dá)到最優(yōu)，但它為人類研究者提供了“一個(gè)極好的人類直覺(jué)跳板” 。

基于AI提供的結(jié)構(gòu)，研究人員通過(guò)人工簡(jiǎn)化和直覺(jué)推演，最終找到了一個(gè)更優(yōu)的構(gòu)造，改進(jìn)了已知的上界，這一人機(jī)協(xié)作的成果將作為一篇獨(dú)立的數(shù)學(xué)論文發(fā)表。

同樣地，在算術(shù)Kakeya猜想中，AlphaEvolve也發(fā)揮了類似作用。

系統(tǒng)不僅將一個(gè)已知的下界從1.61226提升至1.668，其構(gòu)造的解（形態(tài)上類似于離散高斯分布）還啟發(fā)人類數(shù)學(xué)家建立了新的漸近關(guān)系，相關(guān)成果也即將發(fā)表。

這種啟發(fā)人類研究的能力，與AlphaEvolve輸出結(jié)果的可解釋性緊密相關(guān)。

系統(tǒng)在大多數(shù)情況下生成的是結(jié)構(gòu)清晰的程序代碼，而非難以理解的黑盒結(jié)果，這使得人類專家可以方便地分析、歸納其發(fā)現(xiàn)的模式，并提煉出通用的數(shù)學(xué)公式。

積木堆疊問(wèn)題便是這一特性的絕佳體現(xiàn)。

在該問(wèn)題中，系統(tǒng)最初生成了一個(gè)邏輯正確的遞歸程序來(lái)計(jì)算積木的放置。在隨后的演化中，系統(tǒng)內(nèi)部的LLM分析了這段代碼的邏輯，并自主將其重構(gòu)為一個(gè)更簡(jiǎn)潔、高效的顯式程序。

這個(gè)最終程序清晰地揭示了最優(yōu)解與諧波數(shù)（harmonic numbers）之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，這與人類已知的理論公式完全一致，展示了系統(tǒng)從復(fù)雜解法中提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。

除了方案的清晰性，AlphaEvolve在不同類型的問(wèn)題設(shè)置下也表現(xiàn)出了強(qiáng)大的魯棒性。

它能夠有效處理高維度參數(shù)空間、復(fù)雜的幾何約束以及基于蒙特卡洛模擬的近似評(píng)分函數(shù)。

比如這里有一個(gè)最小三角形密度問(wèn)題。

研究人員最初設(shè)計(jì)了一個(gè)樸素的評(píng)分函數(shù)，但系統(tǒng)很快利用了該問(wèn)題空間的非凸性，通過(guò)“欺騙”評(píng)分函數(shù)獲得了超越理論最優(yōu)的不可能分?jǐn)?shù)。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，研究人員設(shè)計(jì)了一個(gè)更魯棒的新評(píng)分函數(shù)，該函數(shù)基于問(wèn)題的利普希茨連續(xù)性（Lipschitz type bounds）構(gòu)造。

在切換到這個(gè)更復(fù)雜的連續(xù)評(píng)分函數(shù)后，AlphaEvolve不再受局部陷阱的迷惑，迅速收斂到了已知的、正確的理論最優(yōu)解。

并且AlphaEvolve具備了出色的泛化能力，來(lái)看IMO 2025的第6題。

研究人員只在輸入n為完全平方數(shù)時(shí)才對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)分。這種“信息限制”反而迫使AlphaEvolve去尋找這些稀疏實(shí)例背后的共同結(jié)構(gòu)模式，而不是對(duì)每個(gè)n進(jìn)行“過(guò)擬合”。

最終，系統(tǒng)成功發(fā)現(xiàn)并輸出了在所有完全平方數(shù)n上均達(dá)到最優(yōu)的通用構(gòu)造，展現(xiàn)出了歸納能力。

在實(shí)際應(yīng)用中，AlphaEvolve的效率極高，僅需少量高質(zhì)量提示即可驅(qū)動(dòng)。論文指出，來(lái)自領(lǐng)域?qū)＜业奶崾荆╡xpert guidance）往往能顯著提升最終構(gòu)造的質(zhì)量，表明系統(tǒng)對(duì)人類輸入具有高度的敏感性。

同時(shí)，該系統(tǒng)在架構(gòu)上支持并行化，允許研究人員在多個(gè)問(wèn)題實(shí)例或同一問(wèn)題的不同參數(shù)設(shè)置上同時(shí)運(yùn)行探索，并能自動(dòng)遷移成功的搜索策略，這在處理多參數(shù)的幾何類問(wèn)題時(shí)尤其高效。

AlphaEvolve工作模式

AlphaEvolve并非一個(gè)單一流程的系統(tǒng)，而是通過(guò)不同“工作模式”適應(yīng)不同類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題探索任務(wù)。

該系統(tǒng)主要在兩種不同的模式下運(yùn)行——“搜索模式”（search mode）和“泛化模式”（generalizer mode）。

“搜索模式”是系統(tǒng)最常用的模式，其目標(biāo)是高效地發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的數(shù)學(xué)構(gòu)造，而不必關(guān)心構(gòu)造過(guò)程是否具有可解釋性或普適性。在這種模式下，AlphaEvolve演化的不是直接生成構(gòu)造的程序，而是演化用于搜索構(gòu)造的程序。

每一個(gè)被演化的程序本身就是一個(gè)“搜索啟發(fā)式算法”（search heuristic）。

評(píng)估器會(huì)給予這些啟發(fā)式算法一個(gè)固定的時(shí)間預(yù)算，算法的得分取決于它在此預(yù)算內(nèi)能找到的最佳構(gòu)造的質(zhì)量。

這種方式解決了LLM調(diào)用（緩慢且昂貴）與傳統(tǒng)局部搜索（快速且廉價(jià)）之間的速度差異——一次緩慢的LLM調(diào)用用于生成一個(gè)高效的搜索策略，該策略隨后可以觸發(fā)大規(guī)模的廉價(jià)計(jì)算，自主探索數(shù)百萬(wàn)個(gè)候選構(gòu)造。

系統(tǒng)演化的是一系列“改進(jìn)器”（improver）函數(shù)，它們動(dòng)態(tài)地適應(yīng)搜索進(jìn)程，早期可能偏好進(jìn)行廣泛探索的啟發(fā)式算法，而當(dāng)接近最優(yōu)解時(shí)，則會(huì)演化出更精細(xì)的、針對(duì)特定問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化的算法。

“泛化模式”則更具挑戰(zhàn)性 。

其目標(biāo)是讓AlphaEvolve編寫一個(gè)能夠解決任意給定參數(shù)n的問(wèn)題的通用程序 。系統(tǒng)的評(píng)估方式是考察該程序在一系列不同n值上的綜合表現(xiàn)。

這種模式的期望是，通過(guò)讓系統(tǒng)觀察自己在小規(guī)模n上找到的最優(yōu)解，它能夠自主“發(fā)現(xiàn)模式”，并將其歸納推廣為一個(gè)適用于所有n的通用公式或算法 。

總之，AlphaEvolve展示了AI引導(dǎo)的演化搜索如何補(bǔ)充人類的直覺(jué)，為數(shù)學(xué)研究提供了一個(gè)強(qiáng)大的新范式。

論文地址：
https://arxiv.org/abs/2511.02864

文章來(lái)源：量子位。