自然·物理：復(fù)雜系統(tǒng)的低秩假說(shuō)

導(dǎo)語(yǔ)

復(fù)雜系統(tǒng)通?？山楦呔S非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其宏觀(guān)行為由大量異質(zhì)成分之間的相互作用共同決定。為了獲得可解釋的宏觀(guān)描述，研究中常隱含地假設(shè)：這些相互作用可以由一個(gè)有效低秩的網(wǎng)絡(luò)矩陣來(lái)刻畫(huà)，從而使系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)具備可降維的結(jié)構(gòu)——這一假設(shè)被稱(chēng)為低秩假說(shuō)。

本文系統(tǒng)闡明了低秩假說(shuō)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，并檢驗(yàn)了其在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的適用性?；谄娈愔捣纸猓⊿VD）的基本理論，作者一方面分析了多類(lèi)隨機(jī)圖模型中低秩結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的機(jī)制，另一方面通過(guò)大量真實(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了奇異值的快速衰減現(xiàn)象。進(jìn)一步地，文章評(píng)估了低秩結(jié)構(gòu)對(duì)網(wǎng)絡(luò)上非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)降維的影響，證明了包括循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在內(nèi)的一類(lèi)動(dòng)力系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)精確或近似的低維描述，并揭示了高階相互作用在降維過(guò)程中自然涌現(xiàn)的機(jī)制。

關(guān)鍵詞：低秩假設(shè)（Low-rank hypothesis）、奇異值分解（Singular value decomposition，SVD）、維度約簡(jiǎn)（Dimension reduction）、動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、高階相互作用（Higher-order interactions）

王璇丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：The low-rank hypothesis of complex systems 論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41567-023-02303-0 發(fā)表時(shí)間：2024 年 1 月 10 日 論文來(lái)源：Nature Physics

目錄

引言

網(wǎng)絡(luò)模型假說(shuō)的證據(jù)

真實(shí)網(wǎng)絡(luò)假說(shuō)的驗(yàn)證

誘導(dǎo)的低維假說(shuō)

高階相互作用的涌現(xiàn)

結(jié)論與展望

方法

真實(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集

引言

理解復(fù)雜系統(tǒng)中的涌現(xiàn)行為，關(guān)鍵在于建立微觀(guān)相互作用與宏觀(guān)集體現(xiàn)象之間的聯(lián)系。與其試圖窮盡系統(tǒng)中所有組成成分的細(xì)節(jié)，降維方法關(guān)注的是能否找到一組有限的宏觀(guān)變量，使其既足以描述系統(tǒng)行為，又不會(huì)掩蓋關(guān)鍵動(dòng)力學(xué)機(jī)制。

然而，這一目標(biāo)在復(fù)雜系統(tǒng)中尤為困難?，F(xiàn)實(shí)系統(tǒng)往往具有極高的維度，其動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間隨系統(tǒng)規(guī)模迅速膨脹，這種現(xiàn)象通常被稱(chēng)為維數(shù)災(zāi)難[1-3]。在許多領(lǐng)域中，如何在保留系統(tǒng)本質(zhì)行為的同時(shí)實(shí)現(xiàn)有效降維，仍是一個(gè)懸而未決的問(wèn)題。

在多者異也（More is different）的思想框架下，試圖用簡(jiǎn)潔模型刻畫(huà)復(fù)雜系統(tǒng)，表面上看似矛盾。然而，簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)并不意味著行為簡(jiǎn)單。許多低維或規(guī)則明確的模型，同樣可以展現(xiàn)出混沌、突變等高度復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

這表明，關(guān)鍵不在于系統(tǒng)的形式是否簡(jiǎn)單，而在于所選描述是否抓住了主導(dǎo)動(dòng)力學(xué)的核心自由度。正是在這一意義上，低秩結(jié)構(gòu)為理解復(fù)雜系統(tǒng)提供了一種可能的橋梁。

在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中，復(fù)雜系統(tǒng)組成成分之間相互作用的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通常被簡(jiǎn)化為圖，由一組頂點(diǎn)和一組邊定義 (Figs. 1a-b)。這種表示法有助于提取復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的主導(dǎo)特性，例如其模塊化組織結(jié)構(gòu)[13]。目前正在發(fā)生的一種范式轉(zhuǎn)變是使用超圖或單純復(fù)形（simplicial complex）來(lái)代替圖，以考慮在某些真實(shí)系統(tǒng)中觀(guān)察到的重要高階相互作用[14, 15]。除了尋找描述復(fù)雜系統(tǒng)的合適維度，人們還需要揭示其相互作用的階數(shù)。正如后文所示，這兩個(gè)問(wèn)題是相互交織的。

一個(gè)圖總可以表示為一個(gè)矩陣，這一事實(shí)為利用線(xiàn)性代數(shù)刻畫(huà)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提供了最基本、也最有力的切入點(diǎn)。基于這種表示，譜理論（spectral theory）通過(guò)對(duì)矩陣進(jìn)行分解，使人們能夠識(shí)別網(wǎng)絡(luò)中起主導(dǎo)作用的結(jié)構(gòu)成分。長(zhǎng)期以來(lái)，特征值分解被廣泛用于提取圖的關(guān)鍵性質(zhì)，例如網(wǎng)絡(luò)不變量[16]、模塊化結(jié)構(gòu)[17]、節(jié)點(diǎn)中心性[18]，以及網(wǎng)絡(luò)上動(dòng)力系統(tǒng)的分岔行為[19]。

然而，如何將譜理論有效推廣到有向、加權(quán)以及帶符號(hào)（如興奮–抑制）等更一般的網(wǎng)絡(luò)，仍然是網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的一項(xiàng)關(guān)鍵挑戰(zhàn)。在這些情形下，特征值分解往往會(huì)產(chǎn)生復(fù)特征值和復(fù)特征向量，從而在解釋和應(yīng)用上帶來(lái)困難。更重要的是，從數(shù)學(xué)上講，網(wǎng)絡(luò)的矩陣表示甚至并不總是可對(duì)角化的。例如，僅由一條有向邊連接的最簡(jiǎn)單有向圖，或任何其（實(shí)）矩陣表示W(wǎng)為矩形矩陣的網(wǎng)絡(luò)（如關(guān)聯(lián)矩陣、多層網(wǎng)絡(luò)中的層間耦合矩陣），都不存在特征值分解意義下的對(duì)角化表示。

然而，矩陣 WW? 和 W?W 總是方陣且對(duì)稱(chēng)，因此是可對(duì)角化的，這為奇異值分解（singular value decomposition, SVD）奠定了基礎(chǔ)。有趣的是，SVD 對(duì)任何矩陣都存在，奇異向量是實(shí)值的，奇異值 σ1,...,σN 是非負(fù)實(shí)數(shù)。值得注意的是，非零奇異值的個(gè)數(shù)等于W的秩。此外，SVD 繼承了特征值分解的許多定理[20]，例如 Weyl 定理[21, 22]，但它也產(chǎn)生新的基本結(jié)果。特別地，SVD 是降維的核心工具：Schmidt-Eckart-Young-Mirsky 定理保證，截?cái)?SVD 能給出一個(gè)矩陣的最佳低秩近似 (Fig. 1c 和引理 S13)。

圖 1：真實(shí)網(wǎng)絡(luò)低秩假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

SVD的顯著特性及其與矩陣（有效）秩之間的密切關(guān)系，在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)和譜圖理論中尚未得到充分的認(rèn)識(shí)，相比之下，它在數(shù)據(jù)科學(xué)（例如矩陣補(bǔ)全[23]、動(dòng)態(tài)模式分解[24]和最優(yōu)奇異值收縮[25]）、控制理論（例如Kalman準(zhǔn)則[26, 27]）、隨機(jī)矩陣?yán)碚摚ɡ鏜arcenko-Pastur's定律[28]）以及線(xiàn)性代數(shù)（例如矩陣范數(shù)[20]）等領(lǐng)域卻極為常見(jiàn)。在許多網(wǎng)絡(luò)科學(xué)或譜圖理論的主要入門(mén)教材中，甚至都沒(méi)有提及SVD。

在整個(gè)論文中，利用SVD的關(guān)鍵屬性來(lái)定義和評(píng)估復(fù)雜系統(tǒng)的低秩假設(shè)的影響。在處理復(fù)雜系統(tǒng)作為高維非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)的情況之前，首先揭示了隨機(jī)圖假設(shè)的理論證據(jù)，然后對(duì)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的假設(shè)進(jìn)行了經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)證。

網(wǎng)絡(luò)模型假說(shuō)的證據(jù)

首先，考慮隨機(jī)圖是頗具啟發(fā)性的。隨機(jī)圖通常由一組頂點(diǎn)及其間連接的概率分布構(gòu)成，這些概率依賴(lài)于諸如頂點(diǎn)度、模塊結(jié)構(gòu)或頂點(diǎn)在度量空間中的距離等屬性。從數(shù)學(xué)上講，任意隨機(jī)圖的權(quán)重矩陣都可以表示為

W=〈W〉+R

其中〈W〉是期望權(quán)重矩陣，R 是均值為 0 的隨機(jī)矩陣。

通過(guò)研究眾多廣泛使用的隨機(jī)圖，發(fā)現(xiàn)其期望矩陣包含低秩矩陣。實(shí)際上，強(qiáng)調(diào)了一個(gè)通常隱含的假設(shè)，即〈W〉等于低秩矩陣L的函數(shù)Φ（圖 2a，方法部分表 I）。在很多情況下，Φ(L)=L，因此很容易看出〈W〉的低秩，因?yàn)樗梢詫?xiě)成秩分解的形式。一個(gè)特定的魏爾不等式已經(jīng)確立了該假設(shè)的一個(gè)預(yù)期但重要的結(jié)果：一個(gè)較小的隨機(jī)部分R確保W的每個(gè)奇異值都接近〈W〉的奇異值，即

對(duì)于所有 i∈{1,...,N}，其中 σi(A) 表示矩陣 A 的第 i 個(gè)奇異值，||·||2 表示譜矩陣范數(shù)（見(jiàn)定理 S10 和推論 S12）。將 W=〈W〉+R，其中 〈W〉=L 且 rank(L)=r 視為一個(gè)帶尖峰的隨機(jī)矩陣[29-33]，能提供一個(gè)更精確的視角。對(duì)于此類(lèi)矩陣，奇異值存在一個(gè)與 R 的奇異值相關(guān)的“主體”，并且奇異值的異常值的產(chǎn)生或消失在漸近意義上由 Baik-Ben Arous-Peche（BBP）相變[34]來(lái)表征。值得注意的是，W中存在 p≤r 個(gè)奇異值異常值僅取決于 W 的主導(dǎo)奇異值的閾值，即 σ1(〈W〉),...,σr(〈W〉）[32]。因此，〈W〉的低秩 r 以及溫和的閾值條件意味著 W 的最大奇異值位于σ1(〈W〉),...,σr(〈W〉）附近，這是低秩假設(shè)的一個(gè)初步指標(biāo)。

然而，〈W〉的低秩并非總是顯而易見(jiàn)的，比如在有向軟配置模型及其加權(quán)版本的情況中。實(shí)際上，它們的預(yù)期權(quán)重矩陣是秩為 1 的矩陣的非線(xiàn)性函數(shù)（見(jiàn)方法部分）。利用Weyl不等式，證明了這兩種模型中〈W〉的奇異值均被一個(gè)指數(shù)遞減項(xiàng)所上界（見(jiàn)方法部分中的定理 1，圖 2e 和 2i）。圖 2b - 2i 展示了在四種不同的加權(quán)隨機(jī)圖和兩種噪聲條件下，W的奇異值如何繼承了〈W〉主奇異值的遞減趨勢(shì)，而次主奇異值則與R相關(guān)。W 的主奇異值的迅速遞減暗示了網(wǎng)絡(luò)的近似低秩，從而構(gòu)成了低秩假設(shè)的第二個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)。

然而，“迅速下降”和“接近低秩”這兩個(gè)屬性仍需進(jìn)行量化。為此，本文引入了有效秩的概念。例如，穩(wěn)定秩衡量了平方奇異值相對(duì)于 的相對(duì)重要性（見(jiàn)方法部分，表 II）。在圖 2j - 2m 中，展示了其隨著噪聲水平的增加在四個(gè)隨機(jī)圖中的持續(xù)性。通過(guò) N→ ∞ 時(shí)的有效秩的漸近行為，可以更好地理解一個(gè)隨機(jī)圖的有效秩“低”的程度（見(jiàn)方法部分）。不同的奇異值下降會(huì)導(dǎo)致有效秩的漸近行為不同，從常數(shù) O(1) 和次線(xiàn)性增長(zhǎng) O(N1-?)（其中?∈ (0，1]）到線(xiàn)性增長(zhǎng) O(N)。值得注意的是，次線(xiàn)性增長(zhǎng)意味著有效秩與維度的比率在漸近情況下會(huì)下降到 O(N-?) 的形式：因此，研究者將說(shuō)一個(gè)有效秩如果其增長(zhǎng)最多是次線(xiàn)性的，那么這個(gè)有效秩就是低的。例如，文章證明了任何具有指數(shù)遞減特征值的擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)模型（例如軟配置模型）都會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)定秩以及另外兩個(gè)有效秩的漸近行為達(dá)到最低值 O(1)（見(jiàn)方法部分，推論 2）。然而，在處理隨機(jī)圖的單個(gè)實(shí)例或真實(shí)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，應(yīng)保持 N 的值不變，上述漸近觀(guān)點(diǎn)就不適用了。不過(guò)，可以針對(duì)“到底低到什么程度？”這一問(wèn)題給出一個(gè)更微妙、分級(jí)的回應(yīng)，即通過(guò)有效秩與維度比值來(lái)回答：比值遠(yuǎn)小于 1 的值表明在 SVD 中只有少數(shù)特征值有顯著貢獻(xiàn)，這意味著 W 可以很好地近似為低秩矩陣。因此，具有較小的有效秩與維度比值是低秩假設(shè)的第三個(gè)指標(biāo)，這次是定量的。綜上所述，對(duì)于隨機(jī)圖，低秩假設(shè)已通過(guò)三個(gè)指標(biāo)進(jìn)行了描述。第二個(gè)指標(biāo)，即特征值的快速遞減，是該假設(shè)的核心指標(biāo)：第一個(gè)指標(biāo)是導(dǎo)致遞減的理論原因，第三個(gè)指標(biāo)是其結(jié)果。第二和第三個(gè)指標(biāo)并不依賴(lài)于任何理論模型，可以應(yīng)用于任何類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)。因此，本文采用了以下通用且可行的低秩假設(shè)定義：即假設(shè)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重矩陣的奇異值迅速降低，這意味著其有效秩較低。現(xiàn)在將這一假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證。

綜上所述，低秩假設(shè)在隨機(jī)圖中用三個(gè)指標(biāo)進(jìn)行了描述。第二個(gè)指標(biāo)，即奇異值的迅速下降，是該假設(shè)的核心指標(biāo)：第一個(gè)指標(biāo)是導(dǎo)致其下降的理論原因，第三個(gè)指標(biāo)則是其結(jié)果。第二個(gè)和第三個(gè)指標(biāo)與任何類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)，并且可以應(yīng)用于此類(lèi)數(shù)據(jù)中。因此，研究者采用了以下關(guān)于低秩假設(shè)的一般且可行的定義：它是假設(shè)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重矩陣的奇異值迅速下降，這意味著有效秩較低?，F(xiàn)在研究者將對(duì)這一假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。

真實(shí)網(wǎng)絡(luò)假說(shuō)的驗(yàn)證

盡管低秩假說(shuō)經(jīng)常被使用——通常是隱含的，但有時(shí)也非常明確[35, 36]——但對(duì)于各種類(lèi)型的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)，仍需通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)表明，真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中奇異值的快速衰減是普遍現(xiàn)象。作為一個(gè)例子，在圖 1d 中展示了黑腹果蠅連接組的奇異值分布圖。圖 1e 展示了來(lái)自 10 個(gè)不同來(lái)源的 679 個(gè)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的奇異值分布的綜合視圖。為了幫助理解衰減趨勢(shì)，繪制了一條通用的奇異值包絡(luò)線(xiàn)，所有網(wǎng)絡(luò) 95% 的奇異值都位于該包絡(luò)線(xiàn)之下。

有了奇異值包絡(luò)線(xiàn)的顯式形式，就可以將穩(wěn)定秩解釋為曲線(xiàn)下的面積，進(jìn)而找到一個(gè)理論界限，大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定秩都低于此界限（見(jiàn)方法部分，定理3）。在圖 1f 中，展示了真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定秩以及高于 96% 網(wǎng)絡(luò)的理論界限，這表明穩(wěn)定秩通常預(yù)期小于頂點(diǎn)數(shù)N的 10%。

為了確保這一觀(guān)察結(jié)果不僅限于穩(wěn)定秩，在圖 1g - 1m 中報(bào)告了其他有效秩的類(lèi)似觀(guān)察結(jié)果（見(jiàn)方法部分）。對(duì)于 m 均值秩和 e 均值秩而言，其值大于 frank 是意料之中的事。實(shí)際上，很容易證明 frank≤nrank≤erank≤rank（見(jiàn)方法部分）。與有效秩不同的是，實(shí)網(wǎng)絡(luò)的秩通常與其維度相當(dāng)（圖 1n）。這一觀(guān)察結(jié)果是合理的，特別是對(duì)于具有真實(shí)權(quán)重的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)而言，因?yàn)椴豢赡婢仃嚇?gòu)成了測(cè)度為 0 的集合。

所考慮的數(shù)據(jù)集均為具有固定節(jié)點(diǎn)數(shù) N 的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)，但這些網(wǎng)絡(luò)的有效秩的漸近行為仍可以像存在一個(gè)相關(guān)的不斷增長(zhǎng)的圖那樣進(jìn)行評(píng)估，即當(dāng) N 增大時(shí)，該圖的奇異值仍處于實(shí)驗(yàn)奇異值范圍之內(nèi)。通過(guò)這種方法，研究者證明了如圖 1e 中所示的奇異值范圍對(duì)于 Frank、nrank 和 crank 來(lái)說(shuō)具有恒定和次線(xiàn)性增長(zhǎng)（見(jiàn)方法部分）。

總之，研究者表明許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的奇異值呈迅速遞減趨勢(shì)，從而導(dǎo)致有效秩較低。有趣的是，這種觀(guān)察結(jié)果似乎在大數(shù)據(jù)矩陣中普遍存在[37-39]，但這一現(xiàn)象仍令人困惑。特別是，這些觀(guān)察結(jié)果對(duì)于網(wǎng)絡(luò)上的高維非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)的影響尚待厘清，這將在下一節(jié)中進(jìn)行探討。

圖 2：隨機(jī)圖低秩假設(shè)的三個(gè)指標(biāo)。

誘導(dǎo)的低維假說(shuō)

從直覺(jué)上講，認(rèn)為具有低（有效）秩的網(wǎng)絡(luò)使得這些網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)態(tài)過(guò)程能夠進(jìn)行維度縮減?？紤]完整的動(dòng)態(tài)方程，其中 11是在時(shí)間 t 時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)，是一個(gè)連續(xù)可微的向量場(chǎng)，而 W 是一個(gè) N×N 的權(quán)重矩陣描述了該網(wǎng)絡(luò)（圖 3a - 3b）。更具體地說(shuō)，給定和 W （此時(shí)x(t)未知），研究動(dòng)態(tài)方程的子類(lèi)，其中 y=W。

考慮這個(gè)動(dòng)力學(xué)子類(lèi)已經(jīng)突出了低秩假說(shuō)的一個(gè)重要含義。g 中的線(xiàn)性函數(shù) 具有非常特殊的作用：即使 x 屬于一個(gè)N維流形，當(dāng) W 的秩較低時(shí)，其像空間中的向量也將屬于一個(gè)低維子流形。即使 W 是滿(mǎn)秩的，研究者在圖 1 中的實(shí)驗(yàn)觀(guān)察表明，它很可能具有低的有效秩。因此，研究者可以說(shuō) Wx 將屬于一個(gè)有效低維的子流形。

正如一些隨機(jī)圖模型是由低秩矩陣L的非線(xiàn)性函數(shù)Φ構(gòu)造而成一樣，向量場(chǎng) g 非線(xiàn)性地依賴(lài)于 Wx，這使得評(píng)估 g(x,y) 的低維性具有挑戰(zhàn)性。盡管最近有所進(jìn)展[40, 41]，但對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)，如何選擇降維后的維度以及如何量化降維誤差仍然不清楚。

對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的降維處理可以理解為將低維向量場(chǎng)與高維對(duì)應(yīng)場(chǎng)進(jìn)行對(duì)齊的問(wèn)題（圖 3c ）。這涉及選擇一個(gè) n×N的降維矩陣 M，它將整個(gè)系統(tǒng)的元素映射到降維系統(tǒng)中，同時(shí)還需要一個(gè)向量場(chǎng) F，用于描述一組可觀(guān)測(cè)量 在 中的演化過(guò)程。在 中，對(duì)于 x∈處的對(duì)齊誤差，記為 ，可以定義為向量場(chǎng) M o f 與 F o M 之間的誤差（見(jiàn)方法部分）。

通常情況下，要將對(duì)齊誤差降至最低以找到最優(yōu)的配對(duì)方案 (M,F) 是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)性的任務(wù)（參見(jiàn)附錄 III.1），而最佳選擇則取決于建模者的具體目標(biāo)。例如，選擇 M 以確保 F 的時(shí)間演變?cè)谌魏螘r(shí)候都具有可解釋性（例如，同步可觀(guān)測(cè)量 [41]），這可能會(huì)使優(yōu)化問(wèn)題變得更加復(fù)雜。

圖 3：復(fù)雜系統(tǒng)的低秩假設(shè)以及更高階相互作用的出現(xiàn)。

先專(zhuān)注于確定 F 的值，暫時(shí)不考慮 M 。通過(guò)最小二乘法，證明了 在中能最小化一種對(duì)齊誤差，其中 +$ 表示偽逆（見(jiàn)方法部分）。這樣做能夠證明，對(duì)于 ，由最小二乘向量場(chǎng)引起的對(duì)齊誤差 滿(mǎn)足

其中 和是雅可比矩陣 (方法)。

有趣的是，上述不等式提出了一種非任意選擇降維矩陣的方法。實(shí)際上，

該方法將與系統(tǒng)中相互作用相關(guān)的因子 ||W(I-M+M)||2 降至最低，從而通常能使每個(gè)可觀(guān)測(cè)量 Xμ 成為全局量，即包含關(guān)于大多數(shù)頂點(diǎn)的信息（見(jiàn)方法部分說(shuō)明）。

在式（3）中所做出的選擇促使研究者推導(dǎo)出另一個(gè)不等式，該不等式揭示了網(wǎng)絡(luò)奇異值對(duì)對(duì)齊誤差的貢獻(xiàn)（見(jiàn)方法部分，定理 4）：

其中 。值得注意的是，該不等式為精確的維度縮減提供了一個(gè)判據(jù)：若（其中 且 n = rank(W），則上界會(huì)趨于零，此時(shí)維度縮減就是精確的（見(jiàn)方法部分）。

圖 4：在真實(shí)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)分析時(shí)的維度縮減誤差與它們的奇異值和有效秩的關(guān)系。

因此，一類(lèi)通用的動(dòng)力學(xué)模型，包括RNN和Wilson-Cowan神經(jīng)動(dòng)力學(xué)模型，都可以被精確地簡(jiǎn)化（見(jiàn)方法部分部分）。上限（4）旨在具有直觀(guān)性（不一定嚴(yán)格）：它將網(wǎng)絡(luò)奇異值的迅速衰減與維度縮減誤差聯(lián)系起來(lái)。作為一個(gè)基本的例子，對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng) ，相對(duì)對(duì)齊誤差 只能簡(jiǎn)單地用 來(lái)上界表示，這意味著網(wǎng)絡(luò)矩陣 W 的奇異值的迅速減?。o(wú)論其權(quán)重如何）都會(huì)直接導(dǎo)致對(duì)齊誤差的迅速減小。

圖 4a - d 展示了隨著參數(shù) n 的變化，對(duì)齊誤差的降低情況——后者與上界值和奇異值的迅速衰減相一致——在四個(gè)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中均有體現(xiàn)。研究者展示了如何通過(guò)調(diào)整 n 來(lái)預(yù)測(cè)流行病在流行病學(xué)動(dòng)態(tài)中的情況（圖 4e）、神經(jīng)元?jiǎng)討B(tài)中的滯后現(xiàn)象（圖 4f）、微生物動(dòng)態(tài)中的穩(wěn)定分支（圖 4g）或RNN中的極限循環(huán)（圖 4h）。雖然有效秩有助于選擇合適的維度 n 來(lái)描述集體現(xiàn)象，但僅將其用作一種指示： n 應(yīng)根據(jù)模型者對(duì)定性（例如，滯后現(xiàn)象是否保持不變？）或定量（例如，預(yù)測(cè)的轉(zhuǎn)變是否準(zhǔn)確？）誤差的容忍度來(lái)選擇。因此，很明顯，描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的低（有效）秩矩陣為這些網(wǎng)絡(luò)上的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)的降維提供了基礎(chǔ)。

簡(jiǎn)化后的系統(tǒng)類(lèi)似于發(fā)生在一個(gè)更小結(jié)構(gòu)上的低維動(dòng)力學(xué)，該結(jié)構(gòu)的性質(zhì)仍有待明確（見(jiàn)圖 3c ）。將在下一節(jié)展示，降維最終導(dǎo)致了高階相互作用的涌現(xiàn)，如圖 3d 所示。

高階相互作用的涌現(xiàn)

關(guān)于各種復(fù)雜系統(tǒng)中存在更高階相互作用的理論和實(shí)驗(yàn)證據(jù)已有報(bào)道，其結(jié)果——例如對(duì)爆發(fā)性轉(zhuǎn)變[42]或介觀(guān)定位[43]的影響——也已得到了廣泛研究[44]。然而，這些相互作用的起源仍在積極研究之中，特別是對(duì)于振蕩系統(tǒng)[45，46]。

使用研究者的框架，一個(gè)簡(jiǎn)單的例子很容易提供對(duì)高階交互出現(xiàn)的見(jiàn)解。用i∈{1,...,N}考慮流行病學(xué)動(dòng)態(tài)，其中xi為頂點(diǎn)i被感染的概率，y=Wx而di和γ分別為頂點(diǎn)i的恢復(fù)率和感染率。簡(jiǎn)化后的動(dòng)力學(xué)由

對(duì)于所有 μ∈{1,...,n}，其中 是一個(gè)具有 n×n 規(guī)模的簡(jiǎn)化恢復(fù)率矩陣，其 D = diag(d1，...，dN}，而 是一個(gè)具有 n×n 規(guī)模的簡(jiǎn)化權(quán)重矩陣。

讓研究者更仔細(xì)地研究一下式（5）中的最后一項(xiàng)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè) M+=M?，即 M 的各行是正交的。那么，Mμi 表示頂點(diǎn) i 對(duì)第 μ 個(gè)可觀(guān)測(cè)值的影響，是第 ν 個(gè)可觀(guān)測(cè)值對(duì)其在頂點(diǎn) i 上的依賴(lài)程度的加權(quán)影響，而 是第 κ 個(gè)可觀(guān)測(cè)值對(duì)其連接到頂點(diǎn) i 的頂點(diǎn)的依賴(lài)程度的加權(quán)影響?？傊?，這些因素形成了可觀(guān)測(cè)值 Xμ、Xν 和 Xκ 之間的三階相互作用，通過(guò)將式（5）重新排列可以更清晰地體現(xiàn)這一點(diǎn)：

其中三階相互作用被編碼在一個(gè)三階張量 中，其元素為

對(duì)于所有 μ, ν, κ ∈ {1,...,n} 。因此，簡(jiǎn)化系統(tǒng)所形成的結(jié)構(gòu)是一個(gè)具有 n 個(gè)頂點(diǎn)的超圖（圖 3c-d），該超圖通常是有向的[47]、加權(quán)的、帶符號(hào)的，并由 和 構(gòu)成。

除了諸如權(quán)重矩陣W 等動(dòng)態(tài)參數(shù)的影響之外，式（7）還強(qiáng)調(diào)了縮減矩陣 M 在塑造高階相互作用方面所起的關(guān)鍵作用。實(shí)際上， M部分決定了超圖的有向、加權(quán)和有符號(hào)性質(zhì)。此外，如果可觀(guān)測(cè)量分別取決于不相交的頂點(diǎn)組，即 ，其中δ是克羅內(nèi)克符號(hào)， s 將每個(gè)頂點(diǎn) i 映射到其所屬的組，那么式（7）中元素構(gòu)成的張量可以精確地映射為一個(gè)矩陣。換句話(huà)說(shuō)，在流行病學(xué)動(dòng)態(tài)中，高階相互作用源自取決于頂點(diǎn)重疊組的可觀(guān)測(cè)量（例如，一般情況下）。有趣的是，這種重疊是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（如社交網(wǎng)絡(luò)）中非常常見(jiàn)的特征[48]。

這些觀(guān)察結(jié)果促使研究者去探尋這種涌現(xiàn)現(xiàn)象的通用條件。對(duì)于 （其中 對(duì)于所有 i∈{1,...，N} 都是一個(gè)解析標(biāo)量場(chǎng)），證明了最小二乘最優(yōu)向量場(chǎng)取決于可觀(guān)測(cè)量 X1，...，Xn 之間的高階相互作用（見(jiàn)方法部分，命題 5）。然后推導(dǎo)出了兩個(gè)富有啟發(fā)性的結(jié)論。首先，如果標(biāo)量場(chǎng)在 xi 和 yi上是 xi 和 yi 的總次數(shù)為 δ 的多項(xiàng)式，那么簡(jiǎn)化系統(tǒng)的超圖具有最高階 δ+1 的相互作用（見(jiàn)方法部分，推論 S70）。其次，具有分別依賴(lài)于不同組頂點(diǎn)的可觀(guān)測(cè)量并不足以避免一般情況下的高階相互作用： yi 中的非線(xiàn)性也起到了作用（見(jiàn)方法部分，推論 S71）。微生物和振蕩器動(dòng)力學(xué)的其他計(jì)算示例在擴(kuò)展數(shù)據(jù)表 1 中給出，以補(bǔ)充之前關(guān)于流行病學(xué)動(dòng)力學(xué)的觀(guān)察結(jié)果。

總之，研究者的研究結(jié)果表明，許多高階相互作用的情況可能是由于選擇了低維（宏觀(guān)）表示來(lái)模擬各種復(fù)雜系統(tǒng)所導(dǎo)致的副產(chǎn)品。這些結(jié)果闡明了描述維度以及原始系統(tǒng)的非線(xiàn)性在塑造后續(xù)簡(jiǎn)化系統(tǒng)中的相互作用方面所起的關(guān)鍵作用。

結(jié)論與展望

在本文中，闡述了低秩假設(shè)在復(fù)雜系統(tǒng)中的普遍性及其所產(chǎn)生的影響，涵蓋了從網(wǎng)絡(luò)上高維非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)的降維處理到更高階相互作用的產(chǎn)生等方面的內(nèi)容。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，低秩假設(shè)或許不僅是一種假設(shè)，而且可能是許多真實(shí)復(fù)雜系統(tǒng)所固有的特性。發(fā)現(xiàn)暗示了某些涌現(xiàn)的集體現(xiàn)象可能是由遠(yuǎn)少于先驗(yàn)預(yù)期的變量所導(dǎo)致的，這得益于其復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的低秩特性。然而，低秩假設(shè)的使用應(yīng)當(dāng)非常謹(jǐn)慎：實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的有效秩通常在 N 的相當(dāng)大的比例范圍內(nèi)，若不加留意地采用低秩假設(shè)，可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)給定復(fù)雜系統(tǒng)的一種過(guò)于簡(jiǎn)化的模型。因此，基于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的觀(guān)測(cè)奇異值來(lái)設(shè)計(jì)新的隨機(jī)圖似乎是很有意義的。網(wǎng)絡(luò)的奇異值并非僅僅是譜理論的抽象：就像度、聚類(lèi)系數(shù)或互惠性一樣，它們具有直觀(guān)的解釋?zhuān)勺鳛閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)/系統(tǒng)的有效維度的指標(biāo)。

理論框架還表明，從較粗粒度分辨率下觀(guān)測(cè)到的時(shí)間序列中推斷復(fù)雜系統(tǒng)中的相互關(guān)系（例如，大腦中的局部場(chǎng)電位[49] 或植物群落中的豐度[50]），很可能會(huì)揭示出顯著的高階相互作用。研究者推測(cè)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)在不同尺度上監(jiān)測(cè)復(fù)雜系統(tǒng)將有助于闡明測(cè)量所處維度對(duì)高階相互作用出現(xiàn)的作用。對(duì)高階網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)態(tài)進(jìn)行維度縮減[14, 51] 也是值得探索的方向，或許可以通過(guò)塔克分解[52] 來(lái)實(shí)現(xiàn)。

然而，確定驅(qū)動(dòng)復(fù)雜系統(tǒng)行為的主要可觀(guān)測(cè)量的確切形式仍是一個(gè)未解決的問(wèn)題。盡管關(guān)注的是線(xiàn)性可觀(guān)測(cè)量，但可能存在一組適用于特定高維動(dòng)態(tài)的少量非線(xiàn)性可觀(guān)測(cè)量[53]。然而，找到合適的、直觀(guān)的非線(xiàn)性可觀(guān)測(cè)量要困難得多[54]。研究者對(duì)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的有效秩的觀(guān)察也促使研究者進(jìn)一步研究從時(shí)間序列中推斷出可解釋的低秩模型的課題[55]。

最后，尚未探討的復(fù)雜系統(tǒng)的一個(gè)關(guān)鍵特性是其適應(yīng)能力[56]。研究者的初步研究結(jié)果表明，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的低有效秩在控制[57, 58]以及評(píng)估復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)的恢復(fù)能力方面起著核心作用[59]。此外，有跡象表明成熟或?qū)W習(xí)能夠降低網(wǎng)絡(luò)的有效秩[60]。

方法

隨機(jī)圖

一個(gè)隨機(jī)圖可以用一個(gè)隨機(jī)矩陣描述為

其中 〈W〉 是期望權(quán)重矩陣，R 是零均值隨機(jī)矩陣。即使在典型模型中，單個(gè)實(shí)例通常是滿(mǎn)秩 N 的，期望權(quán)重矩陣〈W〉也常被定義為一個(gè)低秩矩陣 L 的逐元素函數(shù)，即

其中 φ 是一個(gè)實(shí)變量的實(shí)值函數(shù)。這是對(duì)正文中 〈W〉=Φ(L) 的另一種等價(jià)寫(xiě)法。在表 1 中，研究者列出了一些經(jīng)典隨機(jī)圖的例子及其對(duì)應(yīng)的低秩矩陣。

表 I：低秩矩陣 L，其表征了具有 N 個(gè)頂點(diǎn)的不同隨機(jī)圖的預(yù)期鄰接矩陣。SBM：隨機(jī)塊模型，CL：鐘-盧模型，MD：元度模型，DSCM：有向軟配置模型，RDPG：隨機(jī)點(diǎn)積圖，RGM：隨機(jī)幾何模型，RPG：秩擾動(dòng)高斯模型，DCSBM：度校正隨機(jī)塊模型，縮寫(xiě)前的“W”表示“加權(quán)”。對(duì)于 SD RGM，L 的秩更確切地說(shuō)是 D、D + 1 或 D + 2，這是由參考文獻(xiàn) [61， 定理 7] 以及不等式 rank(A o B) ≤ rank(A) rank(B) 所導(dǎo)致的。參數(shù)q、r、d 和 D 通常假定與 N 相比很小。

評(píng)估 L 的低秩是簡(jiǎn)單的，但當(dāng) φ 是非線(xiàn)性時(shí)，評(píng)估〈W〉的低秩則更困難。例如，在有向軟配置模型中，Φ=ΦFD，是一個(gè)費(fèi)米-狄拉克分布；在其加權(quán)版本中，Φ=ΦBE，是一個(gè)Bose-Einstein分布。對(duì)于這兩個(gè)模型，下面的定理表明它們期望權(quán)重矩陣的奇異值被一個(gè)指數(shù)衰減項(xiàng)從上界限制。

在圖 2 中，展示了 RPG、DCSBM、S1 RGM 和 WDSCM 中 W、〈W〉和 R 的奇異值。圖 2e 和 i 中顯示的上界由公式 (10) 給出，該公式通過(guò)累加常數(shù) n_{i+1}>..."},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">ni>ni+1>.. 直到 ni 小于 10-12 來(lái)計(jì)算。對(duì)于 RPG，向量 mμ 和 nμ 是不同高斯分布的實(shí)例，且 r=5。使用截?cái)嗯晾弁蟹植嫉膶?shí)例來(lái)生成期望度（DCSBM 和 S1 RGM）以及 （WDSCM）。DCSBM 的塊數(shù) q 設(shè)為 5，并且定義期望邊數(shù)的塊矩陣 ∧，使得塊內(nèi)的期望邊數(shù)多于塊間。為了獲得隨機(jī)權(quán)重矩陣中隨機(jī)部分 R 的范數(shù)（RPG 除外，其 R 已設(shè)為均值為 0 的高斯分布），研究者生成了 100 個(gè) W 的實(shí)例，計(jì)算了每個(gè)實(shí)例的 R=W-〈W〉 及其范數(shù)。通過(guò)改變 RPG 中 R 各高斯元素的方差、DCSBM 中的期望邊數(shù)、S1 RGM 中的溫度 1/β 以及 WDSCM 中 和 的最小值，來(lái)增加 R 的譜范數(shù)。

表 II: 維度為 N×N、秩為 r 的矩陣的不同有效秩，以其奇異值 σ1≥ ... ≥σN 表示。對(duì)于 energy，常數(shù) Τ 是一個(gè)需在 0 到 1 之間設(shè)置的閾值。對(duì)于 thrank，σmed 是中位數(shù)奇異值，μmed 是 Mar?enko-Pastur 概率密度函數(shù)的中位數(shù) [62]。對(duì)于 shrank，s* 表示一個(gè)最優(yōu)奇異值收縮函數(shù) [25, 63]。

有效秩

從矩陣分解中提取顯著分量數(shù)量這一想法是一個(gè)古老的主題（例如，在因子分析[64,65]或主成分分析[66-71]中），但仍在隨機(jī)矩陣?yán)碚?、?shù)據(jù)科學(xué)[29,62]以及網(wǎng)絡(luò)科學(xué)（其中超幾何幾何[57]和信息理論[68]被使用）等領(lǐng)域有著新的有趣發(fā)展。由于SVD與秩有著密切的關(guān)系，許多有效的秩是通過(guò)奇異值來(lái)定義的。直觀(guān)地說(shuō)，這些有效的秩是表示在分解矩陣時(shí)哪些奇異值是顯著的數(shù)字。表 2 展示了所整理的不同有效秩的列表。有效秩 thrank 和 shrink 是從諸如 Refs. [65,66,25] 中介紹的矩陣去噪技術(shù)中定義的，這些技術(shù)依賴(lài)于無(wú)限隨機(jī)矩陣的譜理論[32]來(lái)確定收縮奇異值的最優(yōu)方法。在圖 11 中，使用了弗羅貝尼烏斯范數(shù)來(lái)獲得收縮，并且在圖 1j 中使用了能量比的閾值為 0.9 。

動(dòng)力系統(tǒng)的降維

高維非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)的降維是獲得復(fù)雜系統(tǒng)分析和數(shù)值見(jiàn)解的基本方法。低維動(dòng)力學(xué)可以通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題獲得，在一組約束下最小化某種誤差，以保留原始系統(tǒng)的顯著特性。對(duì)于動(dòng)力系統(tǒng)，一個(gè)自然的優(yōu)化變量是簡(jiǎn)化向量場(chǎng) F 本身，它被選擇來(lái)近似表示完整的向量場(chǎng) f。然而，找出不同向量場(chǎng)誤差之間的關(guān)系以及哪一個(gè)可以解析地最小化是相當(dāng)令人困惑的。

動(dòng)力學(xué)的積分與性質(zhì)

圖 4 中展示的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)軌跡是使用 scipy.integrate 的 solve_ivp 獲得的。使用了后向微分公式（BDF），這是一種具有可變步長(zhǎng)和階數(shù)的隱式方法，已知非常適合剛性問(wèn)題，例如腸道微生物組上的微生物動(dòng)力學(xué)。研究者觀(guān)察到，對(duì)于完整的微生物動(dòng)力學(xué)，相對(duì)容差 rtol=10-8 和絕對(duì)容差 atol=10-12（對(duì)于簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)為 rtol=10-6 和 atol=10-10）在合理的積分時(shí)間內(nèi)給出了可靠的結(jié)果，并且與最近的基準(zhǔn)測(cè)試結(jié)果一致。此外，研究者按照 solve_ivp 文檔對(duì) BDF 方法的建議，向積分器提供了完整和簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)的雅可比矩陣。研究者還使用相對(duì)容差 10-8 和絕對(duì)容差 10-12 的 BDF 方法積分了其他動(dòng)力學(xué)。

對(duì)于流行病學(xué)動(dòng)力學(xué)，出現(xiàn)了臨界慢化現(xiàn)象，但可以通過(guò)在跨臨界分岔點(diǎn)附近增加時(shí)間步數(shù)來(lái)輕松處理，正如在圖 4e 插圖中所做的那樣。注意，增加維度可以提高對(duì)更高感染率的預(yù)測(cè)。在圖 4f 中，觀(guān)察到神經(jīng)元?jiǎng)恿W(xué)的全局可觀(guān)測(cè)量相對(duì)于突觸權(quán)重存在滯回現(xiàn)象。在圖 4e-f 中，均方根誤差（RMSE）簡(jiǎn)單地計(jì)算為完整動(dòng)力學(xué)和簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)在不同 n 下的全局平衡點(diǎn)之間的誤差。

如圖 4g 所示，微生物動(dòng)力學(xué)的全局可觀(guān)測(cè)量出現(xiàn)了多個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)分支。按照以下步驟進(jìn)行，以獲得一個(gè)僅涉及部分平衡點(diǎn)分支的簡(jiǎn)化圖景。專(zhuān)注于使用從 0 到 1 的均勻分布中采樣的初始條件 x0 獲得的一個(gè)前向分支，并在圖 4g 中展示了當(dāng)逐漸增加微生物相互作用權(quán)重時(shí)其穩(wěn)定性的喪失。為了獲得一個(gè)后向分支，從 0 到 z 的均勻分布中采樣初始條件 x0，其中 z 是 1 到 15 之間的隨機(jī)整數(shù)，然后積分動(dòng)力學(xué)以獲得平衡點(diǎn)，接著降低微生物相互作用權(quán)重，并將最后一個(gè)平衡點(diǎn)用作下一次積分的初始條件，重復(fù)最后這兩個(gè)步驟，直到達(dá)到最小耦合值。重復(fù)所有這些步驟 100 次以生成不同的初始條件和穩(wěn)定分支。在每次迭代中，確保在平衡點(diǎn)處評(píng)估的向量場(chǎng)得到的向量其元素低于容差 10-7，并且平衡點(diǎn)是正的。在這種情況下，RMSE 計(jì)算為完整動(dòng)力學(xué)和簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)的平均上分支和下分支之間的誤差。

對(duì)于（有限尺寸的）RNN，與參考文獻(xiàn)[71]結(jié)論中的觀(guān)察類(lèi)似，在較低耦合時(shí)零點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，增加耦合最終會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜性增加的極限環(huán)。研究者展示了當(dāng)維度n 接近學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的秩時(shí)，完整動(dòng)力學(xué)中這個(gè)高維極限環(huán)的 3 維投影，以及簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)中的極限環(huán)。RMSE 計(jì)算為完整循環(huán)神經(jīng)動(dòng)力學(xué)的極限環(huán)上的點(diǎn)與簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)極限環(huán)上最近點(diǎn)之間的誤差。

真實(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集

本節(jié)列出本文使用的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)，并給出兩幅補(bǔ)充圖。 表中所有網(wǎng)絡(luò)都來(lái)自 Netzschleuder，只有其中 31 個(gè)例外，列在下面。

? ‘celegans signed’：該網(wǎng)絡(luò)由開(kāi)源數(shù)據(jù)庫(kù) EleganSign [284] 的連接組 NT+R 方法預(yù)測(cè)結(jié)果補(bǔ)全得到，補(bǔ)全時(shí)遵循 Dale 原則（見(jiàn) GitHub 倉(cāng)庫(kù)中的 graphs/get real networks.py，函數(shù) get connectome weight matrix）。

? ‘drosophila’：取自文獻(xiàn) [12]。

? ‘cintestinalis’：Ciona intestinalis 的連接組來(lái)自文獻(xiàn) [285]，并保存在研究者的 Github 倉(cāng)庫(kù)：graphs/graph data/connectome/ciona intestinalis lavaire elife-16962-fig16-data1-v1 modified.xlsx。

? ‘pdumerilii neuronal’：Platynereis dumerilii 的神經(jīng)連接組來(lái)自文獻(xiàn) [286]。 該版本為更新版，由作者 G. Jékely 私下分享給 V. Thibeault。 連接組文件在研究者的 Github 倉(cāng)庫(kù)：graphs/graph data/connectome/pdumerilii neuronal.xml。

? ‘pdumerilii desmosomal’：Platynereis dumerilii 的橋粒（desmosomal）連接組來(lái)自文獻(xiàn) [287]。 該版本為更新版，由作者 G. Jékely 私下分享給 V. Thibeault。 連接組文件在研究者的 Github 倉(cāng)庫(kù)：graphs/graph data/connectome/pdumerilii desmosomal.xml。

? ‘mouse meso’：小鼠介觀(guān)（mesoscopic）連接組來(lái)自文獻(xiàn) [288]，并保存在研究者的 Github 倉(cāng)庫(kù)：graphs/graph data/connectome/mouse connectome-Oh Nature 2014.csv。

? ‘zebrafish meso’：斑馬魚(yú)介觀(guān)連接組由文獻(xiàn) [202] 改編得到，處理過(guò)程見(jiàn)本文 GitHub 倉(cāng)庫(kù) low-rank-hypothesis-complex-systems。

? ‘mouse voxel’：體素（voxel）尺度的小鼠連接組可在 Mendeley 數(shù)據(jù)集 mouse connectome voxelwise [289] 獲取。

? ‘mouse control rnn’、‘mouse rnn’、‘zebrafish rnn’：來(lái)自 Hadjiabadi 等人 [281] 的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

? ‘fully connected layer cnn XXXXX’（其中 XXXXX ∈ {00100, 00200, ..., 01000}）：來(lái)自倉(cāng)庫(kù) NWS [183] 中卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全連接層[183]。

? ‘gut’：人類(lèi)腸道微生物組網(wǎng)絡(luò)來(lái)自文獻(xiàn) [282]，其構(gòu)造方式與文獻(xiàn) [58] 的補(bǔ)充材料一致（見(jiàn) GitHub 倉(cāng)庫(kù) graphs/get real networks.py 中的函數(shù) get microbiome weight matrix）。

? ‘AT 2008’、‘CY 2015’、‘EE 2010’、‘PT 2009’、‘SI 2016’：來(lái)自文獻(xiàn) [290] 的經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)。

? ‘financial institution07-Apr-1999’、‘non financial institution04-Jan-2001’、‘households 04-Sep-1998’、‘households 09-Jan-2002’：Dryad 上文獻(xiàn) [291] 的經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)。

從 Github 提取各網(wǎng)絡(luò)的代碼在 graphs/get real networks 中。 關(guān)于數(shù)據(jù)集里真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的更多信息，也可在 Github 倉(cāng)庫(kù) low-rank-hypothesis-complex-systems 中找到。 具體來(lái)說(shuō)，可以查看 graphs/graph data 中的 real networks and their effective ranks.pdf，以獲得每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的來(lái)源信息；或等價(jià)地查看補(bǔ)充表 1（supplementary table 1 real networks.pdf）。 需要說(shuō)明的是，在計(jì)算有效秩之前，研究者做過(guò)一次預(yù)處理：為避免某些網(wǎng)絡(luò)類(lèi)型被過(guò)度代表，研究者從包含 1145 個(gè)網(wǎng)絡(luò)的更大數(shù)據(jù)集中刪去了許多 Netzschleuder 網(wǎng)絡(luò)（例如 ‘board directors net1m...’、‘edit wikibooks...’、‘ego social gplus...’）。

研究者針對(duì)不同的奇異值衰減形式，給出了圖模型有效秩的漸近結(jié)果。 這些結(jié)果展示了多種可能行為：從常數(shù)增長(zhǎng) O(1），到次線(xiàn)性增長(zhǎng) O(N1-?}（其中 0 <?<1< pan> ），再到線(xiàn)性增長(zhǎng) O(N）（當(dāng) N→∞）。 雖然研究者并不期望用單一圖模型來(lái)描述數(shù)據(jù)集中所有網(wǎng)絡(luò)（否則就能做統(tǒng)一的漸近分析），但研究者仍然可以問(wèn)：有效秩如何隨網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 N 分布。 在圖 S11 中，研究者給出了這樣的分布并做了非線(xiàn)性回歸。 回歸結(jié)果提示：隨著 N 增大，有效秩呈現(xiàn)次線(xiàn)性上升。 正如 II E 小節(jié)所說(shuō)，進(jìn)一步研究增長(zhǎng)圖與真實(shí)增長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)中的有效秩行為，將有助于驗(yàn)證這種次線(xiàn)性增長(zhǎng)是否普遍存在。

此外，許多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)與合成網(wǎng)絡(luò)都呈現(xiàn)稀疏矩陣結(jié)構(gòu)。 在 II C 小節(jié)研究者也指出，稀疏矩陣模型會(huì)給出較低的穩(wěn)定秩。 但是圖 S12 表明：真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的有效秩與權(quán)重矩陣的密度反而呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)。 這暗示，研究者在圖 1 中觀(guān)察到的有效秩現(xiàn)象，更關(guān)鍵的原因可能是奇異值的快速衰減，而不是單純的稀疏性。

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