自然 · 計算：求解偏微分方程新革命

導語

偏微分方程（PDEs）是對自然物理定律最普適且簡潔的數學描述，能以緊湊的符號化形式捕捉豐富的多尺度物理現象。本文探討機器學習推動的PDE研究新范式，包括：（1）發現新PDE方程與粗粒度近似——從復雜自然與工程系統中挖掘隱含的控制方程；（2）學習有效坐標系與降階模型——通過坐標變換與維度壓縮提升PDE可分析性；（3）求解算子表示與傳統算法改進——用神經網絡表示解算子并優化數值方法。針對每個方向，我們總結了關鍵進展、現存挑戰與未來機遇。

關鍵詞：偏微分方程（PDEs）、機器學習、方程發現、降階模型、算子學習、數值加速、物理約束

計算模擬大講堂丨來源

論文題目：Promising directions of machine learning for partial differential equations 論文來源：https://www.nature.com/articles/s43588-024-00643-2

簡介

偏微分方程（PDEs）是描述自然規律與工程系統的核心數學工具，從流體力學的納維 - 斯托克斯方程到量子力學的薛定諤方程，從氣候模擬的熱傳導方程到生物領域的反應擴散方程，PDEs 支撐著多學科的基礎研究與工程應用。然而，傳統 PDEs 研究長期面臨兩大瓶頸：一是強非線性、多尺度 PDEs 難以推導解析解，二是有限元、有限差分等數值方法計算成本極高，面對高維或復雜邊界問題時常常 “算力告急”。

由美國華盛頓大學 Steven L. Brunton 與 J. Nathan Kutz 團隊發表于Nature Computational Science（2024 年 7 月，Volume 4，DOI: 10.1038/s43588-024-00643-2）的綜述論文《Promising directions of machine learning for partial differential equations》，系統性梳理了機器學習（ML）為 PDEs 研究帶來的突破。論文核心觀點明確：機器學習并非替代傳統 PDEs 方法，而是通過 “數據驅動 + 物理約束” 的深度融合，從 “發現新 PDEs 與粗粒化閉合模型”“學習有效坐標與降階模型”“優化數值解法與解算子學習” 三大方向，解決傳統方法難以攻克的復雜難題。

研究基于流體、等離子體、神經科學等跨領域數據驗證：ML 驅動的 PDEs 方法可將計算效率提升 1-2 個數量級（如湍流模擬速度加快 86 倍），同時在小數據、高噪聲場景下保持高精度，為 PDEs 研究開辟 “物理機理 + 數據智能” 雙驅動的新范式。

圖 1：機器學習推進 PDEs 研究的三大核心方向總覽

該圖以 “目標 - 方法 - 場景” 三維框架，清晰劃分 ML 在 PDEs 領域的三大應用方向，是整篇論文的核心框架圖：

（a）方程發現（Automated equation discovery）：通過符號回歸技術，從神經科學時空數據（如腦電信號的 u (t,x)）中學習可解釋的 PDEs 與粗粒化描述，解決傳統手動推導無法覆蓋的復雜系統（如神經元群體動力學）；

（b）坐標學習（Uncovering coordinates）：利用自編碼器網絡，從圓柱繞流等高維流場仿真 / 實驗數據中學習 “有效坐標”，將高維數據壓縮至低維 latent 空間，該空間內動力學演化更簡潔（如流場核心運動規律）；

（c）加速計算（Accelerating computations）：通過算子學習實現粗網格數據到高分辨率流場的超分辨預測（上圖流體流場對比），同時融合不同保真度模型（低成本低精度與高成本高精度），構建 “低成本 + 高精度” 的混合模型（下圖成本 - 精度曲線）。

解讀：該圖直觀印證了論文 “ML 針對性解決 PDEs 三大痛點” 的核心邏輯 —— 針對 “未知系統無方程”“高維數據難分析”“數值計算效率低”，分別提供數據驅動發現、低維表征、高效計算的解決方案，為后續細分方向奠定理論框架。

圖 2：稀疏回歸從數據中發現納維 - 斯托克斯方程。以 2D 圓柱繞流為案例，完整展示 “從數據到 PDEs” 的發現流程，是 “方程發現” 方向的關鍵驗證：

（a）數據采集：獲取流場的 x/y 方向速度場（u、v）與渦量（ω，由速度場旋度計算）的快照數據；

（b）候選項構建：計算數值偏導數（如 ω?、ω?、ω??），將狀態變量、偏導數及非線性組合（如 uω?、vω?）整合為候選項矩陣 Θ；

（c）稀疏回歸：通過帶 L0 正則的稀疏回歸（目標函數為最小化預測誤差與系數稀疏性），篩選出非零系數 ξ，剔除冗余候選項；

（d）PDEs 合成：最終得到渦量輸運方程 ω? + 0.9931uω? + 0.9910vω? = 0.0099ω?? + 0.0099ω??，其中雷諾數（Re）識別誤差僅 1%，與理論納維 - 斯托克斯方程高度一致。

解讀：證明 “數據驅動發現 PDEs” 的可行性 —— 無需依賴第一性原理假設，僅通過數據與稀疏回歸即可還原經典 PDEs，且保留物理可解釋性（如對流項、擴散項的系數符合理論預期）。這為神經科學、流行病學等 “缺乏成熟理論模型” 的領域提供了新研究工具。

圖 3：稀疏貝葉斯方法構建海洋模型的 LES 閉合項

聚焦 “粗粒化閉合模型” 方向，以大尺度海洋中尺度模擬為場景，展示 ML 解決多尺度 PDEs 難題的能力：

（a）輸入數據：高分辨率海洋流場模擬的速度場（u、v），從中診斷亞網格渦動量強迫項 S（傳統大渦模擬 LES 難以直接計算的核心量）；

（b）候選函數庫：基于流體力學機理，構建含散度（σ=??u）、渦量（ζ=?×u）、剪切形變（D=?u/?y+?v/?x）等物理意義明確的候選函數庫；

（c）稀疏貝葉斯學習：采用相關向量機（RVM）進行迭代稀疏回歸，逐步剔除冗余函數，最終得到 S 的解析表達式（基于 resolved 變量的線性組合）；

（d）性能驗證：學習得到的閉合模型預測值（??）與真實值（S?）的均值、標準差高度吻合，且精度優于深度學習黑箱模型。

解讀：解決 PDEs “多尺度耦合” 的傳統痛點 —— 大尺度系統（如海洋、氣候）的 PDEs 需考慮亞網格過程（如小尺度渦旋），傳統方法需手動設計閉合項，而 ML 可自動從數據中學習物理可解釋的閉合模型，且適配性更強（如不同海域的流場特征）。

圖 4：神經網絡學習 Koopman 線性化坐標變換。以非線性伯格斯方程（Burgers’ equation）為對象，展示 “坐標學習” 方向的核心技術 —— 通過 ML 實現非線性 PDEs 的線性化：

（a）網絡架構：包含編碼器 φ?、線性動力學算子 K、解碼器 φ_d 三部分；輸入為原始狀態 u（服從非線性伯格斯方程），編碼器將 u 映射至低維 latent 空間變量 v；

（b）線性化過程：在 v 空間中，動力學演化呈線性（v???=Kv?，K 為線性算子），規避了原始空間的非線性復雜度；解碼器再將 v 映射回 u 空間，得到下一時刻的狀態 u???；

（c）物理意義：該網絡自動學習到 Cole–Hopf 變換，成功將非線性伯格斯方程轉化為線性熱方程，實現 “非線性問題線性化求解” 的突破。

解讀：突破 “非線性 PDEs 難分析” 的傳統瓶頸 ——Koopman 理論雖能將非線性系統線性化，但傳統方法難以找到坐標變換；ML 通過神經網絡自動學習變換關系，使復雜系統可通過成熟的線性工具（如譜分析）分析，大幅降低計算與理論推導成本。

圖 5：機器學習插值加速高分辨率流場計算。聚焦 “加速計算” 方向，以 2D 柯爾莫哥洛夫流為案例，驗證 ML 提升 PDEs 數值計算效率的能力：

（a）效率 - 精度對比：左側圖展示不同網格分辨率下的計算時間與精度（相關性 > 0.95 的時間），ML 插值方法（橙色虛線）比直接高分辨率模擬（藍色實線）快 86 倍，且精度損失極小；

（b）泛化性測試：右側上圖對比訓練數據（強迫湍流）與驗證數據（更大域、衰減湍流、更高湍流強度）的流場，ML 模型在未見過的場景中仍保持高精度；

（c）模型架構：右側下圖為 CNN-based 架構，輸入為當前時刻速度場 v (t)、外強迫 F (t)、對流通量 φ??，通過卷積層與插值模塊，輸出下一時刻高分辨率速度場 v (t+Δt)，實現端到端的粗→高分辨率映射。

解讀：印證 “ML 顛覆性提升計算效率” 的核心結論 —— 傳統高分辨率流場模擬需依賴超算（如 8192×8192 網格），而 ML 通過數據驅動的插值策略，在普通計算設備上即可實現高精度結果，為工程設計（如飛行器氣動模擬、氣候快速預測）降本提效。

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